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贵州省遵义市航天高中2015届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷



贵州省遵义市航天高中 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集为 R,函数 A.[﹣1,1] ∪(1,+∞) B. (﹣1,1) 的定义域为 M,则?RM 为( )

C. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)

2.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则

z 的虚部为( A.﹣4 B. C .4

) D.

3.在数列{an}中,若 a1=1,a2= , A.an= B.an=

=

+

(n∈N ) ,则该数列的通项公式为( C.an= D.an=

*

)

4.设 α 表示平面,a,b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③a⊥α,a⊥b?b∥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b. 其中正确的是( ) A.①② B.②④ C.③④ D.②③ 5.在由 y=0,y=1,x=0,x=π 四条直线围成的区域内任取一点,这点没有落在 y=sinx 和 x 轴所围成区域内的概率是( ) A. B. C. D.

6.在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B.

=2



=

,则 λ=( D.﹣

)

C.﹣

7.下面方框中为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

)

A.i=20

B.i<20

C.i>=20

D.i>20

8.设变量 x,y 满足约束条件

,则 s=

的取值范围是(

)

A.[1, ]

B.[ ,1]

C.[1,2]
2

D.[ ,2]

9.已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A. B.2 C. D.3

10.设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列{ 是( A. ) B. C.

m

}(n∈N )的前 n 项和

*

D.

11.设 a,b,m 为整数(m>0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余, 1 2 2 20 20 记作 a≡b (modm) , 已知 a=1+2C20 +2 C20 +…+2 C20 , 且 a≡( b mod10) , 则 b 的值可为( ) A.2011 B.2012 C.2009 D.2010 12.函数 f(x)=cosπx 与函数 g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( A.2 B.4 C .6 D.8 )

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 三棱锥 D﹣ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示, 则棱 BD 的长为__________.

14.当 x>1 时,不等式

恒成立,则实数 a 的最大值是__________.

15.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1) (x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是__________. 16.直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 值范围是__________.
2 2

,则 k 的取

三、解答题(17~21 题每小题 12 分,共 60 分) 17.已知函数 (1)求 (2)若 , 的值; ,求 . ,x∈R.

18.某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失败 即结束, 后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会. 已知某人前三关每关 通过的概率都是 ,后两关每关通过的概率都是 . (1)求该人获得奖金的概率; (2)设该人通过的关数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 19.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长

为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切.过点(m,0)作圆的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)将△ OAB 的面积表示为 m 的函数,并求出面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直,函数 g(x)=f(x)+ x ﹣bx. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b≥ ,求 g(x1)﹣g(x2)的最 小值.
2

四、选做题(从 22~24 题中任选一题,在答题卡相应的位置涂上标志,多涂、少涂以 22 题计分)[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知△ ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60°,F 在 AC 上, 且 AE=AF. (1)证明:B,D,H,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C1:

(t 为参数)距离的最小值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

贵州省遵义市航天高中 2015 届高考数学二模试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集为 R,函数 A.[﹣1,1] ∪(1,+∞) B. (﹣1,1) 的定义域为 M,则?RM 为( C. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ) D. (﹣∞,﹣1)

考点:函数的定义域及其求法;补集及其运算. 分析:求出函数 f(x)的定义域得到集合 M,然后直接利用补集概念求解. 解答: 解:由 1﹣x ≥0,得﹣1≤x≤1,即 M=[﹣1,1],又全集为 R, 所以?RM=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 故选 D. 点评:本题考查了函数的定义域及其求法,考查了补集及其运算,是基础题. 2.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B. C .4 ) D.
2

考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由题意可得 z= + i,由此可得 z 的虚部. 解答: 解:∵复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z= 故 z 的虚部等于 , 故选:D. 点评: 本题主要考查复数的基本概念, 两个复数代数形式的乘除法法则的应用, 属于基础题. = = = + i, = ,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为

3.在数列{an}中,若 a1=1,a2= , A.an= B.an=

=

+ C.an=

(n∈N ) ,则该数列的通项公式为( D.an=

*

)

考点:数列递推式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 = + = ,确定数列{ + , }是等差数列,即可求出数列的通项公式.

解答: 解:∵ ∴数列{

}是等差数列,

∵a1=1,a2= , ∴ =n,

∴an= , 故选:A. 点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项公式,确定数列{ }是等差数列是关键.

4.设 α 表示平面,a,b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③a⊥α,a⊥b?b∥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b. 其中正确的是( ) A.①② B.②④ C.③④ D.②③ 考点:命题的真假判断与应用. 专题:空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析:对于①与③,可以利用长方体中的线(棱)与面(表面、或对角面)间的关系进行 判断; 对于②与④,根据线面垂直的性质定理判断. 解答: 解: 如图在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 令直线 A1B1=a, B1C1=b, 底面 ABCD=α, 显然 a∥α,a⊥b,但 b∥α,故①假命题; 类似的令 AA1=a,AD=b,底面 ABCD=α,显然满足 a⊥α,a⊥b,但 b?α,故③假命题;

对于②④,根据两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这样平面;以及 垂直于同一个平面的两条直线互相平行.知②④都是真命题. 故选 B. 点评:以命题的真假判断为载体考查空间线与面的位置关系是 2015 届高考中的常考题型, 要结合图形熟练掌握这些定理、推论等,有时候要借助于特殊的几何体辅助判断. 5.在由 y=0,y=1,x=0,x=π 四条直线围成的区域内任取一点,这点没有落在 y=sinx 和 x 轴所围成区域内的概率是( ) A. B. C. D.

考点:定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题:导数的概念及应用. 分析:设 y=sinx 和 x 轴所围成区域面积为 S1,由 y=0,y=1,x=0,x=π 四条直线围成的区 域面积为 S2,则所求概率 p= ,由定积分可求得 S1,又 S2 易求. sinxdx=﹣cosx =2.

解答: 解:设 y=sinx 和 x 轴所围成区域面积为 S1.则 S1=

设由 y=0,y=1,x=0,x=π 四条直线围成的区域面积为 S2,则 S2=π 所以这点没有落在 y=sinx 和 x 轴所围成区域内的概率是:p= =1﹣ .

故选 A. 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用及几何概型, 掌握定积分的几何意义及几何概型计 算公式是解题关键. 6.在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 A. B. C.﹣

=2



= D.﹣

,则 λ=(

)

考点:向量加减混合运算及其几何意义.

分析:本题要求字母系数,办法是把 致,即用 和

表示出来,表示时所用的基底要和题目中所给的一

表示,画图观察,从要求向量的起点出发,沿着三角形的边走到终点,把

求出的结果和给的条件比较,写出 λ. 解答: 解:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点 ∵ ∴ ∴λ= , 故选 A. 点评:经历平面向量分解定理的探求过程,培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想, 基底给定时,分解形式唯一,字母系数是被基底唯一确定的数量. 7.下面方框中为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( ) =2 , = , = ,

A.i=20

B.i<20

C.i>=20

D.i>20

考点:循环结构. 专题:操作型. 分析:由程序的功能是求 20 个数的平均数,则循环体共需要执行 20 次,由循环变量的初值 为 1,步长为 1,故当循环 20 次时,此时循环变量的值为 21 应退出循环,又由直到型循环 是满足条件退出循环,故易得结论. 解答: 解:由程序的功能是求 20 个数的平均数, 则循环体共需要执行 20 次, 由循环变量的初值为 1,步长为 1, 故当循环 20 次时, 此时循环变量的值为 21 应退出循环, 又因直到型循环是满足条件退出循环, i>20 时退出循环. 故选 D

点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度重 视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③ 变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准 确理解流程图的含义而导致错误.

8.设变量 x,y 满足约束条件

,则 s=

的取值范围是(

)

A.[1, ]

B.[ ,1]

C.[1,2]

D.[ ,2]

考点:简单线性规划. 专题:计算题.

分析:先根据已知中,变量 x,y 满足约束条件

,画出满足约束条件的可行

域,进而分析 s=

的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案.

解答: 解:满足约束条件

的可行域如下图所示:

根据题意,s=

可以看作是可行域中的一点与点(﹣1,﹣1)连线的斜率, 取最小值

由图分析易得:当 x=1,y=O 时,其斜率最小,即 s= 当 x=0,y=1 时,其斜率最大,即 s= 故 s= 故选 D 的取值范围是[ ,2] 取最大值 2

点评:本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域, “角点法”是解答此类问题的常用方法. 9.已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A. B.2 C. D.3
2

考点:点到直线的距离公式. 专题:计算题. 分析:设出抛物线上一点 P 的坐标,然后利用点到直线的距离公式分别求出 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离 d1 和 d2,求出 d1+d2,利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小 值. 2 2 解答: 解: 设抛物线上的一点 P 的坐标为 (a , 2a) , 则 P 到直线 l2: x=﹣1 的距离 d2=a +1; P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 的距离 d1=

则 d1+d2=a +1

2

=

当 a= 时,P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题, 灵活运用点到直线的距离公 式化简求值,是一道中档题 10.设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列{ 是( A. ) B. C. D.
m

}(n∈N )的前 n 项和

*

考点:数列的求和;导数的运算. 专题:计算题. m 分析:函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,先求原函数的导数,两个导数进行比较 即可求出 m,a,然后利用裂项法求出 解答: 解:f′(x)=mx +a=2x+1, ∴a=1,m=2,∴f(x)=x(x+1) , = 用裂项法求和得 Sn= 故选 A = ﹣ . ,
m﹣1

的前 n 项和,即可.

点评: 本题考查数列的求和运算, 导数的运算法则, 数列求和时注意裂项法的应用, 是好题, 常考题,基础题. 11.设 a,b,m 为整数(m>0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余, 1 2 2 20 20 记作 a≡b (modm) , 已知 a=1+2C20 +2 C20 +…+2 C20 , 且 a≡( b mod10) , 则 b 的值可为( ) A.2011 B.2012 C.2009 D.2010 考点:整除的基本性质;同余的性质. 专题:算法和程序框图. 20 5 分析:利用二项式定理可得 a=(1+2) =(80+1) ,要满足 a≡b(mod10) ,则 b 的个位必 须为 1. 解答: 解:a=1+2 +2
2

+…+2

20

=(1+2) =3 =(80+1) ,

20

20

5

∵a≡b(mod10) ,∴b 的个位必须为 1. 故选:A. 点评:本题考查了二项式定理、同余关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.函数 f(x)=cosπx 与函数 g(x)=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( A.2 B.4 C .6 D.8 考点:函数的零点;函数的图象. 专题:作图题. 分析:由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象,由对称性可得答案. 解答: 解:由图象变化的法则可知: y=log2x 的图象作关于 y 轴的对称后和原来的一起构成 y=log2|x|的图象, 在向右平移 1 个单位得到 y=log2|x﹣1|的图象,再把 x 轴上方的不动,下方的对折上去 可得 g(x)=|log2|x﹣1||的图象; 又 f(x)=cosπx 的周期为 =2,如图所示: )

两图象都关于直线 x=1 对称,且共有 ABCD4 个交点, 由中点坐标公式可得:xA+xD=2,xB+xC=2 故所有交点的横坐标之和为 4, 故选 B

点评:本题考查函数图象的作法,熟练作出函数的图象是解决问题的关键,属中档题. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.三棱锥 D﹣ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱 BD 的长为 4



考点:点、线、面间的距离计算;简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由主视图知 CD⊥平面 ABC、B 点在 AC 上的射影为 AC 中点及 AC 长,由左视图可 知 CD 长及△ ABC 中变 AC 的高,利用勾股定理即可求出棱 BD 的长. 解答: 解:由主视图知 CD⊥平面 ABC,设 AC 中点为 E,则 BE⊥AC,且 AE=CE=2; 由左视图知 CD=4,BE=2 , 在 Rt△ BCE 中,BC= BD= = =4 = . =4,在 Rt△ BCD 中,

故答案为:4 . 点评:本题考查点、线、面间的距离计算,考查空间图形的三视图,考查学生的空间想象能 力,考查学生分析解决问题的能力. 14.当 x>1 时,不等式 恒成立,则实数 a 的最大值是 3.

考点:基本不等式;函数恒成立问题. 专题:计算题;转化思想. 分析:由已知,只需 a 小于或等于 形式,可用基本不等式求出. 解答: 解:由已知,只需 a 小于或等于 当 x>1 时,x﹣1>0, = ≥ 的最小值 =3,当且仅当 的最小值,转化为求不等式的最小值,根据结构

,x=2 时取到等号,所以应有 a≤3, 所以实数 a 的最大值是 3 故答案为:3 点评:本题考查含参数不等式恒成立,基本不等式求最值,属于基础题. 15.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1) (x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是(﹣1,0) .

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:讨论 a 的正负,以及 a 与﹣1 的大小,分别判定在 x=a 处的导数符号,从而确定是否 在 x=a 处取到极大值,从而求出所求. 解答: 解: (1)当 a>0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)<0,当 x>a 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; (2)当 a=0 时,函数 f(x)无极值,不符合题意; (3)当﹣1<a<0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)>0,当 x>a 时,f′(x)<0, 则 f(x)在 x=a 处取到极大值,符合题意; (4)当 a=﹣1 时,f′(x)≤0,函数 f(x)无极值,不符合题意; (5)当 a<﹣1 时, 当 x<a 时,f′(x)<0,当 a<x<﹣1 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; 综上所述﹣1<a<0, 故答案为 (﹣1,0) . 点评:本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,解题的关键是分类讨论的数学思想,属 于中档题. 16.直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 值范围是[﹣ ,0].
2 2

,则 k 的取

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:由圆的方程找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距 离 d,利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|,列出关于 k 的不等式,求出不等式的解集 即可得到 k 的范围. 解答: 解:由圆的方程得:圆心(3,2) ,半径 r=2, ∵圆心到直线 y=kx+3 的距离 d= ,|MN|≥2 ,

∴2

=2

≥2



变形得:4﹣ 解得:﹣ ≤k≤0,

≥3,即 8k +6k≤0,

2

则 k 的取值范围是[﹣ ,0].

故答案为:[﹣ ,0] 点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公 式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 三、解答题(17~21 题每小题 12 分,共 60 分) 17.已知函数 (1)求 (2)若 , 的值; ,求 . ,x∈R.

考点:二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)把 x=﹣ 直接代入函数解析式求解. 代入函数解

(2)先由同角三角函数的基本关系求出 sinθ 的值以及 sin2θ,然后将 x=2θ+ 析式,并利用两角和与差公式求得结果. 解答: 解: (1) (2)因为 所以 所以 , ,

所以 =

点评:本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的 简单综合,要注意角的范围. 18.某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失败 即结束, 后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会. 已知某人前三关每关 通过的概率都是 ,后两关每关通过的概率都是 . (1)求该人获得奖金的概率; (2)设该人通过的关数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.

考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)设 An(n=1,2,3,4,5)表示该人通过第 n 关,则该人获得奖金的概率为 P=P (A1A2A3A4A5)+P( )+P( ) ,即可求得结论;

(2)确定变量的取值,求出相应的概率,即可求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 解答: 解: (1)设 An(n=1,2,3,4,5)表示该人通过第 n 关,则 An(n=1,2,3,4, 5)相互独立,且 P(An)= (n=1,2,3) ,P(A4)=P(A5)= ∴该人获得奖金的概率为 P=P (A1A2A3A4A5) +P ( = +2× = ; ) +P ( )

(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,则 P (ξ=0) = ; P (ξ=1) = P(ξ=4)= ξ 的分布列为 ξ 0 P ∴Eξ=1× +2× +3× +4× +5× = . = ; P (ξ=2) = = = ; P (ξ=3) = , = ;

;P(ξ=5)=

1

2

3

4

5

点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,考查学生的计算能 力,属于中档题. 19.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

考点:用空间向量求直线与平面的夹角;异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定; 直线与平面所成的角. 专题:计算题;证明题. 分析:解法一: (Ⅰ)证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. (Ⅱ)先证明 A1C⊥B1C1.再证明 A1C⊥平面 AB1C1,推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角 为 90°. (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,通过 平面 AA1B1 所成角的正弦值 . ,求出 A1C1 与

解法二:如图建系 O﹣xyz,求出 A,A1,E,C1,B1,C 的坐标 (Ⅰ)通过计算 (Ⅱ)通过 ,证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. ,证明 AB1⊥A1C,推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°.

(Ⅲ) 设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ, 设平面 AA1B1 的一个法向量是

利用

推出

,通过

,求出 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值. 解答: 解法一: (Ⅰ)证明:∵点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点, ∴OE∥AC1,又∵EO?平面 AB1C1,AC1?平面 AB1C1, ∴OE∥平面 AB1C1. (Ⅱ)∵AO⊥平面 A1B1C1,∴AO⊥B1C1,又∵A1C1⊥B1C1,且 A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面 A1C1CA,∴A1C⊥B1C1. 又∵AA1=AC,∴四边形 A1C1CA 为菱形, ∴A1C⊥AC1,且 B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面 AB1C1, ∴AB1⊥A1C,即异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,∵ 即 又∵在△ AA1B1 中, ∴ ?d. ,∴S△ AA1B1= . . ,

,∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值 ,

解法二:如图建系 O﹣xyz,

, C1 (0, 1, 0) , B1 (2, 1, 0) ,



(Ⅰ)∵

=



,∴

,即

OE∥AC1, 又∵EO?平面 AB1C1,AC1?平面 AB1C1,∴OE∥平面 AB1C1. (Ⅱ)∵ , ,∴ ,即

∴AB1⊥A1C, ∴异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (Ⅲ)设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为 θ,∵ ,

设平面 AA1B1 的一个法向量是





不妨令 x=1,可得 ∴

, ,

∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值



点评:本题考查直线与平面平行,异面直线所成的角,直线与平面所成的角的求法,考查空 间想象能力,计算能力.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长

为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切.过点(m,0)作圆的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)将△ OAB 的面积表示为 m 的函数,并求出面积的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题;压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切求出 a,b,从而 得到椭圆的方程; (2)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出|AB|的距离,表示出△ OAB 的面积,利用基本 不等式求最值. 解答: 解: (1)由题意,e = 则 a =2b ; 又∵b=
2 2 2 2 2

=

= ,

=1,

∴b =1,a =2; ∴椭圆 C 的方程为 ;

(2)由题意,设直线 l 的方程为 x=ky+m, (|m|≥1) ,


2 2

消去 x 得,
2

(k +2)y +2kmy+m ﹣2=0. 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2) , 则 y1+y2=﹣ ,y1y2= ;

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m =k +1, ∴|AB|= ?|y1﹣y2|
2 2

2

2

=1,

= 又∵原点到直线 l 的距离 d=1, ∴S△ OAB= |AB|?d=

=



(m≥1) .

又∵

=





(当且仅当 m=±1 时,等号成立) .

∴m=±1 时,△ OAB 的面积最大,最大值为



点评:本题考查了圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线内的面积问题,化简比较复杂,做题要细 心.属于难题.
2

21.已知函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直,函数 g(x)=f(x)+ x ﹣bx. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

(3)设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b≥ ,求 g(x1)﹣g(x2)的最 小值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)求导数,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值. (2) ) ,由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解,即 x+ +1﹣b<0 有解,由此能求出实数 b 的取值范围. (3)g(x1)﹣g(x2)=ln ﹣ ( ﹣ ) ,由此利用构造成法和导数性质能求出 g(x1)

﹣g(x2)的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)=x+alnx, ∴f′(x)=1+ , ∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直, ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2, 解得 a=1. (2)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)=

,x>0,

由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解, 即 x+ +1﹣b<0 有解, ∵定义域 x>0, ∴x+ ≥2, x+ <b﹣1 有解,

只需要 x+ 的最小值小于 b﹣1, ∴2<b﹣1,解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}. (3)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)=

=0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1

∴g(x1)﹣g(x2)=ln ∵0<x1<x2, ∴设 t= ,0<t<1,

﹣ (





令 h(t)=lnt﹣ (t﹣ ) ,0<t<1,

则 h′(t)=﹣

<0,

∴h(t)在(0,1)上单调递减, 又∵b≥ ,∴(b﹣1) ≥
2 2



∵0<t<1,∴4t ﹣17t+4≥0, ∴0<t≤ ,h(t)≥h( )= 故所求的最小值为 ﹣2ln2. ﹣2ln2,

点评:本题考查实数值的求法,考查函数的最大值的求法,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用. 四、选做题(从 22~24 题中任选一题,在答题卡相应的位置涂上标志,多涂、少涂以 22 题计分)[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知△ ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60°,F 在 AC 上, 且 AE=AF. (1)证明:B,D,H,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF.

考点:三角形中的几何计算. 专题:证明题;综合题. 分析: (I) ,要证明 B,D,H,E 四点共圆,根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180° 即可 (II) 由 (I) 知 B, D, H, E 四点共圆可得∠CED=30°, 要证 CE 平分∠DEF, 只要证明∠CEF=30° 即可 解答: 解: (I)在△ ABC 中,因为∠B=60° 所以∠BAC+∠BCA=120° 因为 AD,CE 是角平分线 所以∠AHC=120° 于是∠EHD=∠AHC=120° 因为∠EBD+∠EHD=180°,所以 B,D,H,E 四点共圆 (II)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(I)知 B,D,H,E 四点共圆 所以∠CED=∠HBD=30°又∠AHE=∠EBD=60° 由已知可得,EF⊥AD,可得∠CEF=30° 所以 CE 平分∠DEF.

点评: 本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用, 解决此类问题的 关键是灵活利用平面几何的定理,属于基本定理的简单运用. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C1:

(t 为参数)距离的最小值.

考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式;直线的参数方程. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析: (1)分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程,即可得到曲线 C1 表 示一个圆;曲线 C2 表示一个椭圆; (2) 把 t 的值代入曲线 C1 的参数方程得点 P 的坐标, 然后把直线的参数方程化为普通方程, 根据曲线 C2 的参数方程设出 Q 的坐标,利用中点坐标公式表示出 M 的坐标,利用点到直

线的距离公式表示出 M 到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦 函数的值域即可得到距离的最小值. 解答: 解: (1)把曲线 C1:
2

(t 为参数)化为普通方程得: (x+4) +(y

2

﹣3) =1, 所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3) ,半径 1 的圆; 把 C2: (θ 为参数)化为普通方程得: + =1,所以此曲线方程表述的曲线

为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴为 8,短半轴为 3 的椭圆; (2)把 t= 代入到曲线 C1 的参数方程得:P(﹣4,4) ,

把直线 C3:

(t 为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,

设 Q 的坐标为 Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M(﹣2+4cosθ,2+ sinθ) 所以 M 到直线的距离 d= sinα= ,cosα= ) 从而当 cosθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 . = , (其中

点评: 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题, 灵活运用点到直线的距 离公式及中点坐标公式化简求值,是一道综合题. [选修 4-5:不等式选讲] 24.如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

考点:函数解析式的求解及常用方法;函数的定义域及其求法. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)由题设描述 CO=x,CA=|10﹣x|,CB=|20﹣x|,由 y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和,直接建立函数关系即可,由于解析式含有绝对值号,故可以将解析 式转换成分段函数. (2)对(1)中的函数进行研究利用其单调性与值域探讨 x 的取值范围即可. 解答: 解: (1)由题设,CO=x,CA=|10﹣x|,CB=|20﹣x|, 故 y=4×|10﹣x|+6×|20﹣x|,x∈[0,30]

即 y=

(2)令 y≤70, 当 x∈[0,10]时,由 160﹣10x≤70 得 x≥9,故 x∈[9,10] 当 x∈(10,20]时,由 80﹣2x≤70 得 x≥5,故 x∈(10,20] 当 x∈(20,30]时,由 10x﹣160≤70 得 x≤23,故 x∈(20,23] 综上知,x∈[9,23] 点评: 本题考点是函数解析式的求解及常用方法, 本题考查根据题设条件所给的关系建立函 数解析式,然后再根据解析式解不等式,由于本题的解析式是一个分段型的,所以在解不等 式时要分段求解,解出每一段上的不等式的解集,最后再将它们并起来.



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