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山西省忻州一中、康杰中学、长治二中、临汾一中2015届高三第三次四校联考数学(文)试题 Word版含解析



2015 年山西省四校联考高考数学三模试卷(文科)
一、选择题( 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选 项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. (5 分)设全集为 R,集合 A={x∈R|x2 <4},B={x|﹣1<x≤4},则 A∩ (?R B)=( A. (﹣1,2) B. (﹣2,﹣1) C. (﹣2,﹣1]

D. (﹣2,2) 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据集合的基本运算,进行计算即可. 【解析】 : 解:由 A={x∈R|x2 <4}={x|﹣2<x<2}, ∵B={x|﹣1<x≤4},∴?R B={x|x>4 或 x≤﹣1}, 则 A∩ (?R B)={x|﹣2<x≤﹣1}, 故选:C 【点评】 : 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. )

2. (5 分)已知复数 z=

(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数是(



A. i B. 1+i C. ﹣i D. 1﹣i 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解析】 : 解:∵复数 z= = = =﹣i,

则 z 的共轭复数 i. 故选:A. 【点评】 : 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3. (5 分)若等比数列{an }满足 a1 +a3 =20,a2+a4 =40,则公比 q=( A. 1 B. 2 C. ﹣2 D. 4 【考点】 : 等比数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 直接利用等比数列的通项公式化简求解即可. 【解析】 : 解:等比数列{an }满足 a1 +a3=20,a2 +a4=40, 可得 = =q= =2. )

故选:B. 【点评】 : 本题考查等比数列的通项公式的应用,基本知识的考查.

-1-

4. (5 分)若椭圆 ( ) A. y=±

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线



=1 的渐近线方程为

x B. y=±

x C. y=± x D. y=±x

【考点】 : 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 通过椭圆的离心率,得到 ab 的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程. 【解析】 : 解:椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,

可得

,可得

,解得



∴双曲线



=1 的渐近线方程为:y=±

x.

故选:A. 【点评】 : 本题考查双曲线的简单性质的应用,椭圆的基本性质,考查计算能力. 5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,使 2x >3x ;命题 q:?x(0, 是( )

) ,tanx>sinx 下列是真命题的

A. (﹣p)∧q B. (﹣p)∨(﹣q) C. p∧(﹣q) D. p∨(﹣q) 【考点】 : 复合命题的真假. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 对于命题 p,容易发现 x=﹣1 时,2x >3x 成立,所以命题 p 是真命题;对于 ?x∈ , ,所以便可得到 tanx>sinx,所以命题 q 是真命题,

然后根据¬p,p∧q,p∨q 的真假和 p,q 真假的关系即可找出正确选项. 【解析】 : 解:x=﹣1 时,2x >3x ,∴命题 p 是真命题; ,x ∴0<cosx<1,sinx>0; ∴ , ; ;

即 tanx>sinx,∴命题 q 是真命题; ∴¬p 是假命题, (¬p)∧q 是假命题,¬q 是假命题, (¬p)∨(¬q)是假命题,p∧(¬q) 是假命题,p∨(¬q)为真命题. 故选 D.

-2-

【点评】 : 考查指数函数的值域,指数函数的图象,正弦函数、余弦函数的值域,切化弦公 式,以及真假命题的概念,¬p,p∧q,p∨q 真假和 p,q 真假的关系. 6. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C. 8π D.

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 几何体是圆柱挖去等高的圆锥,根据三视图知圆锥的底面为圆柱的底面,圆柱和 圆柱高相等,进而可得答案. 【解析】 : 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个圆柱挖去同底同高的一个圆锥所得的 组合体, 根据三视图可得:圆柱和圆锥的底面半径 r=2,高 h=2, 故组合体的体积 V=πr2 h πr2 h= πr2 h= ,

故选:B. 【点评】 : 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,根据三视图分析出几何体的形状 是解答的关键. 7. (5 分)在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率为( A. B. C. D.



【考点】 : 几何概型. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 在三角形 ABC 内部取一点 P,要满足得到的三角形 PBC 的面积是原三角形面积的 ,P 点应位于图中 DE 的下方,然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案 【解析】 : 解:记事件 A={△PBC 的面积超过 },基本事件是三角形 ABC 的面积, (如图) 事件 A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥ BC 并且 AD: AB=3:4) , 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的( )2 = 所以 P(A)= . ,

-3-

故选:D.

【点评】 : 本题考查了几何概型,解答此题的关键在于明确测度比是面积比,是基础的计算 题. 8. (5 分)如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( )

A. 2016 B. 2 C.

D. ﹣1

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 算法和程序框图. 【分析】 : 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=2016 时,不满足条件 k <2016,退出循环,输出 S 的值为 2. 【解析】 : 解:执行程序框图,可得 S=2,k=0 满足条件 k<2016,S=﹣1,k=1 满足条件 k<2016,S= ,k=2 满足条件 k<2016,S=2,k=3 满足条件 k<2016,S=﹣1,k=4 …

-4-

观察可知 S 的取值周期为 3,由 2016=672×3 满足条件 k<2016,S= ,k=2015 满足条件 k<2016,S=2,k=2016 不满足条件 k<2016,退出循环,输出 S 的值为 2. 故选:B. 【点评】 : 本题主要考察了程序框图和算法,观察取值规律得 S 的取值周期为 3 是解题的关 键,属于基础题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,则函数 y=f(1﹣x)的大致图象(



A.

B.

C.

D.

【考点】 : 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 【专题】 : 数形结合. 【分析】 : 排除法,观察选项,当 x=0 时 y=3,故排除 A,D;判断此函数在 x>0 时函数值 的符号,可知排除 B,从而得出正确选项. 【解析】 : 解:∵当 x=0 时 y=3,故排除 A,D; ∵1﹣x≤1 时,即 x≥0 时,∴f(1﹣x)=3 1 x >0, ∴此函数在 x>0 时函数值为正,排除 B, 故选 C.


【点评】 : 利用函数的性质分析本题,本题有助于使学生更好的掌握分析函数图象的一般方 法. 10. (5 分)在半径为 10cm 的球面上有 A,B,C 三点,如果 AB=8 O 到平面 ABC 的距离为( ) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【考点】 : 点、线、面间的距离计算. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 设 A、B、C 三点所在圆的半径为 r,在△ABC 中,由正弦定理可求得其外接圆的 直径,由此几何体的结构特征知,用勾股定理求球心 O 到平面 ABC 的距离即可. 【解析】 : 解: 设 A、 B、 C 三点所在圆的半径为 r, 由题意在△ABC 中, AB=8 cm, ∠ACB=60°, 由正弦定理可求得其外接圆的直径为 =16,即半径为 r=8cm ,∠ACB=60°,则球心

又球心在面 ABC 上的射影是△ ABC 外心, 故球心到面的距离,求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形 设球面距为 d,球半径为 10cm,

-5-

故有 d2 =102 ﹣82 =36, 解得 d=6cm. 故选 C. 【点评】 : 本题考点是点、线、面间的距离的计算,考查球中球面距的计算,此类问题建立 方程的通常是根据由球面距、球半径、截面圆的半径三者构成的直角三角形,由勾股定理建 立函数模型求值

11. (5 分) 已知函数 f(x) =sin (ωx+φ) (ω>0, |φ|< 取得最小值时 x 的集合为( )

) 的部分图象如图所示, 则 y=f (x+



A. {x|x=kπ﹣ C. {x|x=2kπ﹣

,k∈z} B. {x|x=kπ﹣ ,k∈z} D. {x|x=2kπ﹣

,k∈z} ,k∈z}

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由图象求出四分之一周期,进一步得到周期,再由 第二点求得 φ, 则函数解析式可求, 由 x+ 取得最小值时 x 的集合. 【解析】 : 解:由图可知, ∴ . φ= , ,则 T=π. 求得 ω,由五点作图的 )

的终边落在 y 轴负半轴上求得 x, 得到 y=f (x+

由五点作图的第二点知, ∴φ=﹣ . ) .

∴f(x)=sin(2x﹣ 则 y=f(x+ 由

)=sin[2(x+

)﹣

]=sin(2x+

) .

,得: .

-6-

∴y=f(x+

)取得最小值时 x 的集合为{x|x=kπ﹣

,k∈z}.

故选:B. 【点评】 : 本题考查 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,考查了由 y=As in(ωx+φ)的部 分图象求函数解析式,解答的关键是由五点作图的某一点求 φ,是中档题. 12. (5 分)已知点 A 是抛物线 x =4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛 物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为( ) A. B. C. +1 D. ﹣1
2

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 过 P 作准线的垂线, 垂足为 N, 则由抛物线的定义, 结合|PA|=m|PB|, 可得 = ,

设 PA 的倾斜角为 α,则当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,求出 P 的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论. 【解析】 : 解:过 P 作准线的垂线,垂足为 N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|, ∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN| ∴ = 设 PA 的倾斜角为 α,则 sinα= , 当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切, 设直线 PM 的方程为 y=kx﹣1,代入 x2=4y,可得 x2 =4(kx﹣1) , 2 即 x ﹣4kx+4=0, ∴△=16k2 ﹣16=0, ∴k=±1, ∴P(2,2 ) , ﹣1) = +1. ∴双曲线的实轴长为 PA﹣PB=2( ∴双曲线的离心率为 故选 C.

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【点评】 : 本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的 能力,当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,是解题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. (5 分)已知向量 =(1,x) , =(x﹣1,2) ,若 【考点】 : 平行向量与共线向量. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 利用向量平行的坐标关系解答. 【解析】 : 解:因为 ,所以 1×2=x(x﹣1) ,解得 x=2 或者﹣1; ,则 x= 2 或﹣1 .

故答案为:2 或﹣1. 【点评】 : 本题考查了平面向量平行的坐标关系;属于基础题.

14. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是 1



【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】 : 由约束条件作出可行域,利用 的几何意义结合两点连线的斜率得答案.

【解析】 : 解:由约束条件件

作出可行域如图,

-8-

联立

,解得 A(3,2) ,

的几何意义为可行域内的动点与定点 P(1,0)连线的斜率, 则其最小值为 .

故答案为:1. 【点评】 : 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化 思想方法,是中档题. 15. (5 分)设数列{an }满足 a2 +a4 =10,点 Pn(n,an)对任意的 n∈N+,都有向量 2) ,则数列{an }的前 n 项和 Sn = n2 +n .

=(1,

【考点】 : 数列与向量的综合. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由已知得 an }等差数列,公差 d=2,将 a2 =a1 +2,代入 a2 +a4 =10,中,得 a1 =2,由 此能求出{an }的前 n 项和 Sn . 【解析】 : 解:∵Pn (n,an ) ,∴Pn+1 (n+1,an+1 ) , ∴ =(1,an+1 ﹣an )=(1,2) ,

∴an+1 ﹣an =2, ∴{an }等差数列,公差 d=2,将 a2=a1 +2,a4 =a1 +6 代入 a2 +a4 =10 中, 解得 a1 =2,∴an=2+(n﹣1)×2=2n, ∴S n =
2

=n2 +n.

故答案为:n +n. 【点评】 : 本题考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列 的性质的合理运用.

-9-

16. (5 分)已知函数 f(x)= 个零点,则实数 b 的取值范围是 0<b<

,若函数 g(x)=f(x)﹣ x﹣b 有且仅有两 .

【考点】 : 函数的零点与方程根的关系. 【专题】 : 计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 : 由题意可转化为函数 f(x)= 交点,从而作图求解即可. 【解析】 : 解:∵函数 g(x)=f(x)﹣ x﹣b 有且仅有两个零点, 与函数 y= x+b 的图象有且仅有两个

∴函数 f(x)=

与函数 y= x+b 的图象有且仅有两个交点,

作函数 f(x)=

与函数 y= x+b 的图象如下,

当 b=0 时,有一个交点,是一个临界值, 当直线 y= x+b 与 f(x)= f′ (x)= = ; 相切时,

故切点为(1,1) ; 故 b=1﹣ = ; 结合图象可得,

- 10 -

0<b

; .

故答案为:0<b

【点评】 : 本题考查了导数的应用,函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关 系应用等,同时考查了数形结合的思想应用,属于中档题. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 17. (12 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 4sinAsinB﹣4cos 2 ﹣2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 =4,△ABC 的面积为 8.求边长 c 的值. =

【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (1)由已知等式化简可得 cos(A+B)=﹣ (2)由已知及正弦定理求得 b,又 S△ABC=8,C= 【解析】 : 解: (1)由条件得 4sinAsinB=2(2cos 2 即 4sinAsinB=2cos (A﹣ B)+ 化简得 cos (A+B)=﹣ ∵0<A+B<π, ∴A+B= , ,结合角的范围即可求得 C 的大小.

从而解得 a,由余弦定理即可解得 c 的值. ﹣1)+ , ,…(2 分)

=2(cosAcosB+sinAsinB)+

,…(4 分)

又 A+B+C=π, ∴C= ,…(6 分)

(2)由已知及正弦定理得 b=4,…(8 分) 又 S△ABC=8,C= ,∴ absinC=8,得 a=4 ,…(10 分)

由余弦定理 c2 =a2+b2 ﹣2abcosC 得 c=4.…(12 分) 【点评】 : 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角函数恒等变换的应 用,解题时注意分析角的范围,属于基本知识的考查. 18. (12 分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙 组某个数据的个位数模糊,记为 x,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定; (2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率.

- 11 -

【考点】 : 极差、方差与标准差;茎叶图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)根据两组数据的平均数相等,可得 x 的值,进而求出两组数据的方差,比较 可得哪组学生成绩更稳定; (2)分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于 20 分的取法种数,代入古典概 型概率公式,可得答案. 【解析】 : 解: (1) = (9+9+11+11)=10,

= (8+9+10+x+12)=10, 解得:x=1 又 …(2 分) ,
2 2 2 2

= [(9﹣10) +(9﹣10) +(11﹣10) +(11﹣10) ]=1; = [(8﹣10) +(9﹣10) +(11﹣10) +(12﹣10) ]= ,…(4 分)
2 2 2 2





, …(6 分)

∴甲组成绩比乙组稳定.

(2)记甲组 4 名同学为:A1 ,A2 ,A3 , A4 ;乙组 4 名同学为:B1 ,B2 , B3 ,B4 ; 分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为: (A1 , B1 ) , (A1 , B2 ) , (A1 , B3 ) , ( A1 ,B4 ) (A2 , B1 ) , (A2 , B2 ) , (A2 , B3 ) , ( A2 ,B4 ) , (A3 , B1 ) , (A3 , B2 ) , (A3 , B3 ) , ( A3 ,B4 ) , (A4 , B1 ) , (A4 , B2 ) , (A4 , B3 ) , ( A4 ,B4 ) ,共 16 个基本事件, 其中得分之和低于(20 分)的共 6 个基本事件,…(10 分) ∴得分之和低于(20 分)的概率是:P= = .…(12 分)

【点评】 : 本题考查了古典概型概率计算公式,茎叶图,掌握古典概型概率公式:概率=所求 情况数与总情况数之比是解题的关键. 19. (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,矩形 DCBE 所在的平面垂直于圆 O 所在的平面,AB=4, BE=1. (1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 C﹣ADE 的体积最大时,求点 C 到平面 ADE 的距离.

- 12 -

【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)BC⊥ AC,CD⊥ BC.推出 DE⊥平面 ACD,然后证明平面 ADE⊥平面 ACD. (2)通过 VC﹣ADE=VE﹣ACD,求出棱锥的体积的最大值,求解底面面积,设点 C 到平面 ADE 的距离为 h,利用体积公式求出距离即可, 【解析】 : (1)∵AB 是直径,∴ BC⊥ AC,…(1 分) , 又四边形 DCBE 为矩形, CD⊥DE, BC∥DE,∴CD⊥ BC. ∵CD∩ AC=C,∴ BC⊥平面 ACD, ∴DE⊥平面 ACD 又 DE?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 ACD (2)解:由(1)知 VC﹣ADE=VE﹣ACD= = 当且仅当 AC=BC=2 ∴当 AC=BC=2 此时,AD= 时等号成立 = = ,…(8 分) , …(9 分) , …(10 分) , , …(4 分) …(6 分)

三棱锥 C﹣ADE 体积最大为: ,

设点 C 到平面 ADE 的距离为 h,则 ∴h= …(12 分)

【点评】 : 本题考查几何体的体积的求法,基本不等式在最值中的应用,考查在与平面垂直 的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用,考查转化思想以及计算能力. 20. (12 分)已知点 A(1,0) ,点 P 是圆 C: (x+1) +y =8 上的任意一点,线段 PA 的垂直 平分线与直线 CP 交于点 E. (1)求点 E 的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径的 圆的内部,求实数 m 的取值范围.
2 2

- 13 -

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)利用已知条件推出轨迹方程为椭圆,即可轨迹方程. (2)设 P(x1 ,y1 ) ,Q(x2 ,y2 ) ,则将直线与椭圆的方程联立,消去 y,利用判别式以及韦 达定理,通过数量积小于 0,求出 m、k 的关系式,求出结果即可. 【解析】 : 解: (1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=2 ∴E 的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为: (2)设 P(x1 ,y1 ) ,Q(x2 ,y2 ) ,则将直线与椭圆的方程联立得: 消去 y,得: (2k +1)x +4kmx+2m ﹣2=0,△>0,m <2k +1…① x1 +x2= ,x1 x2 = …(6 分)
2 2 2 2 2

,∴|CE|+|EA|=2

>2=|CA|,

…(4 分) ,

因为 O 在以 PQ 为直径的圆的内部,故

,即 x1 x2 +y1 y2 <0 …(7 分)

而 y1 y2 =(kx1 +m) (kx2+m)=



由 x1 x2 +y1 y2 =

…(9 分)

得:

,∴

,且满足① 式 M 的取值范围是

.…(12 分)

【点评】 : 本题考查轨迹方程的求法,椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆位置关系的综合 应用,考查分析问题解决问题的能力. 21. (12 分)设函数,f(x)=lnx+ ,k∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 f(x)的单调递减 区间和极小值(其中 e 为自然对数的底数) ; (2)若对任意 x1 >x2 >0,f(x1 )﹣f(x2 )<x1 ﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围. 【考点】 : 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】 : 导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 : (1)先利用导数的几何意义求出 k 的值,然后利用导数求该函数单调区间及其极 值; (2)由题意可知,函数 f(x)﹣x 在(0,+∞)上递增,即该函数的导数大于等于零在(0, +∞)恒成立,然后转化为导函数的最值问题来解. 【解析】 : 解: (1)由已知得 .

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,∴此切线的斜率为 0.

- 14 -

即 f′ (e)=0,有

,解得 k=e.



,由 f′ (x)<0 得 0<x<e,由 f′ (x)>0 得 x>e.

∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,当 x=e 时 f(x)取得极小值 . 故 f(x)的单调递减区间为(0,e) ,极小值为 2. (2)条件等价于对任意 x1 >x2 >0,f(x1 )﹣x1 <f(x2 )﹣x2 (*)恒成立. 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ .

∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 得 所以 在(0,+∞)上恒成立, 恒成立. ( 对 k= ,h′ (x)=0 仅在 x= 时成立) ,

故 k 的取值范围是[ ,+∞) . 【点评】 : 本题考查了导数的几何意义(切线问题)以及利用导数如何研究函数单调性、极 值的基本思路,属于基础题型. 22. (10 分)如图,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N, 作割线 NAB,交圆于 A、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连续 PB 交圆 O 于点 D, 若 MC=BC. (1)求证:△APM∽△ ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

【考点】 : 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 【专题】 : 证明题. 【分析】 : (I)由切割线定理,及 N 是 PM 的中点,可得 PN2 =NA?NB,进而 = ,结合

∠PNA=∠ BNP,可得△PNA∽△ BNP,则∠APN=∠PBN,即∠ APM=∠PBA;再由 MC=BC, 可得∠MAC=∠ BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△ APM∽△ ABP

- 15 -

(II)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠ CPM,即 PM∥CD;由△ APM∽△ ABP,PM 是圆 O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即 MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形 PMCD 是平行四边形. 【解析】 : 证明: (Ⅰ)∵PM 是圆 O 的切线,NAB 是圆 O 的割线,N 是 PM 的中点, ∴MN2 =PN2 =NA?NB, ∴ = ,

又∵∠PNA=∠ BNP, ∴△PNA∽△ BNP, ∴∠APN=∠PBN,即∠ APM=∠PBA, . ∵MC=BC, ∴∠MAC=∠ BAC, ∴∠MAP=∠PAB, ∴△APM∽△ ABP…(5 分) (Ⅱ)∵∠ACD=∠PBN, ∴∠ACD=∠PBN=∠ APN,即∠PCD=∠CPM, ∴PM∥CD. ∵△APM∽△ ABP, ∴∠PMA=∠ BPA ∵PM 是圆 O 的切线, ∴∠PMA=∠ MCP, ∴∠PMA=∠ BPA=∠ MCP,即∠MCP=∠DPC, ∴MC∥PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形.…(10 分) 【点评】 : 本题考查的知识点是切割线定理,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,平行 四边形的判定,熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键.

23. (2015?玉林模拟)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 ρ (sinθ+ P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【考点】 : 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : (I) 圆 C 的参数方程 ) =3 , 射线 OM: θ=

(φ 为参数) .以

与圆 C 的交点为 O,

2 2 (φ 为参数) . 消去参数可得: (x﹣1) +y =1. 把

x=ρcos θ,y=ρsinθ 代入化简即可得到此圆的极坐标方程. (II)由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+ 直线 l 公式即可得出. ,射线 OM )=3 ,射线 OM:θ= .可得普通方程:

.分别与圆的方程联立解得交点,再利用两点间的距离

- 16 -

【解析】 : 解: (I) 圆 C 的参数方程

(φ 为参数) . 消去参数可得: (x﹣1 ) +y =1.

2

2

把 x=ρcos θ,y=ρsinθ 代入化简得:ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程. (II)如图所示,由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+ 可得普通方程:直线 l ,射线 OM . )=3 ,射线 OM:θ= .

联立

,解得

,即 Q



联立

,解得





∴P ∴|PQ|=

. =2.

【点评】 : 本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、 两点间的距离公式等基础知识与基本方法,属于中档题. 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R.不等式 f(x)≤6 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:3|a+b|≤|ab+9|. 【考点】 : 绝对值不等式的解法. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : (1)由条件利用绝对值的意义求出不等式 f(x)≤6 的解集 M. (2)用分析法证明此不等式,分析使此不等式成立的充分条件为(a ﹣9) (9﹣b )≤0,而由 2 2 条件 a,b∈M 可得(a ﹣9) (9﹣b )≤0 成立,从而证得要证的不等式. 【解析】 : 解: (1)不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6,而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和, ﹣3 和 3 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和正好等于 6,故不等式的解集为 M=[﹣3,3].
2 2

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(2)要证 3|a+b|≤|ab+9|,只要证 9(a+b)2 ≤(ab+9)2 , 即证:9(a+b) ﹣(ab+9) =9(a +b +2ab)﹣(a ?b +18ab+81)=9a +9b ﹣a ?b ﹣81=(a ﹣9) (9﹣b2 )≤0, 2 2 2 2 而由 a,b∈M,可得﹣3≤a≤3,﹣3≤b≤3 ,∴(a ﹣9)≤0, (3﹣b )≥0,∴(a ﹣9) (9﹣b )≤0 成立, 故要证的不等式 3|a+b|≤|ab+9|成立. 【点评】 : 本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法,用分析法证明不等式,体现 了转化的数学思想,属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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