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1.3 函数的基本性质——单调性第一课时(公开课)



第一章 集合与函数概念

1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
海南中学 唐盛彪 2013年9月18日

创设情境 连线题:
蒸蒸日上
y

每况愈下
y

波澜起伏
y

o

x

o

x

o

x

A

B

C

数学因运用而美丽!

创设情境
案例1:学生听课注意力指标数随时间 变化的近似函数图象如下:
y(注意力指标数) 48

20

0

10

20

40

x(时间:分)

创设情境
案例2:记忆过程中,保持百分数与时间之 间的关系近似图象如下:
100

保 持 百 分 数

80 60 40 20

艾宾浩斯 遗忘曲线

O

0.33

1

8.8

24

48

144

744

时间(小时)

3.5

探索思考

3

请观察下列函数图象:
2.5 2 1.5

y

1

0.5

-4

-3

-2

-1 -0.5

O

1

2

3

x

4

-1

-1.5

-2

探究:从左向右,图象有何变化趋势?
-2.5

3.5

探索思考

3

请观察下列函数图象:
2.5 2 1.5

y

1

0.5

-4

-3

-2

-1 -0.5

O

1

2

3

x

4

-1

-1.5

-2

探究:从左向右,图象有何变化趋势?
-2.5

探索思考
思考1:不同的函数其图象的变化趋势是否相同?
3.5

思考2:同一函数在不同区间上的变化趋势是否相同?
3 2.5

y

2

1.5

1

0.5

-4

-3

-2

-1 -0.5

O

1

2

3

x

4

-1

探索思考
f ( x) ? x

考察函数:

f ( x) ? x 2

探究 2:如何描述函数图象的“上升”“下 降”?

探索思考

发现:
y

y=x2

当x在区间[0,+∞) 上取值时,随着x的 增大,相应的y值也 随着增大.
x

O

y

探索思考
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x增大,y也增大 对区间D内

f(x2)
f(x1) O
N

M

x1,x2 ,
有f(x1)<f(x2)

D x 1

当x1<x2时,

x2

x

y

概念形成
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N
对区间D内任意的 x1,x2 ,

D x 1

都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时,

x2

x

定 义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数,
调增区间.

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),

区间D 称为 f (x)的

探索思考
类比单调增函数,写出单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2

O

x

O

x1

x2

x

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ?I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), 那么就说f(x)在区间 D 上是增函 数,D称为f(x)的单调增区间.

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I. 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有 f (x1 )

> f(x2 ),

那么就说f(x)在区间D上是减函数, D称为f(x)的单调减区间.

概念理解
(1)在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数 的图象是 下降的。 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局 部性质;

判断:1)函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是单调函数吗?
y

y ? x2
o x

例题讲解
例1. 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区 间,以及在每一单调区间上, y=f(x)是增函数 还是减函数。 [1,3) [-5,-2) y
f(x)

[-2,1)
-5
-2 -1

[3,5]
1 3 5

o

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)上是减函 数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数。

概念理解

辨一辨:
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数 f(x)是R上的增函数. ( ) × (2)函数f(x)是R上的增函数,则必有f(2)>f(1).

(

) √

(3)定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1) ,则函数 f(x) 在R上不是减函数. ( ) √

思考探究
1 探究、画出反比例 y ? x 的图象. (1) 这个函数的定义域 I 是什么?

(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的?

思考探究
1 反比例函数 y ? : x
减 函数 在(-∞,0)上是____ 减 函数 在(0,+∞)上是____
-2 -1

y
1
O

f ( x) ? 1 x
-1 1 2 x

1 问:能否说y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x

思考探究 取自变量-1< 1,
-1

y
1
O

1 f ( x) ? x
-1 1

而 f(-1) < f(1)

x

1 ∴不能说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. x

例题讲解
例2.画出函数 f ( x) ??2 x ?3的图象,指出单 调区间及单调性,并尝试用定义进行证明.
证明:设 则 f ( x1)? f ( x2 ) ?(?2x1 ?3)?(?2x2 ?3)

x1 , x 2 是R上任意两个值,且 x1 ? x 2 ,
取值 作差变形

? ?2( x1 ? x2 ) ∵ x1 ? x2 , ∴ x1 ? x2 ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).

定号

?2( x1 ? x2 ) ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
∴函数 f ( x) ??2 x ?3在R上是减函数.

结论
gsp

方法总结

证明函数单调性的步骤:
1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.结论:由定义得出函数的单调性.

例题讲解

1 练习:证明函数f(x)= x 在(-∞,0)是 减函数。
1 x1

证明:设 x1 , x 2 是( ? ?,0)上 的 任 意 两 个 实 数 , x 且 ? x2 , 1 < 则f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ?
x 2 ? x1 x1 x 2

?

1 x2

由x1 , x 2 ? ( ? ?,0), 得x1 x 2 ? 0, 又 由x1 ? x 2 , 得x 2 ? x1 ? 0, 于 是f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x 2 ). 所以, f ( x) ?
1 x

在( ? ?,0)上 是 减 函 数

课堂小结 1.描述函数单调性的三种方法:
图形语言

自然语言

符号语言

2.定义中的几个关键词:
定义域内某个区间
取值

任意
定号

都有
结论

3.证明函数单调性的一般步骤:
作差变形

4.数学思想方法:
数形结合

作业布置
必做题

课本P39 选做题

习题1.3 A组 第1、3题

证明:函数y=x+

(1)在区间[-1,0)是减函数
(2)在区间(1,+ ∞)是增函数

1 x



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