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山西省忻州一中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版



山西省忻州一中 2013-2014 学年高二上学期期中考数学(文)试题
注意事项:1.答题前,考生务必用 0.5mm 黑色中性笔,将学校名称、姓名、班级、准考证 号填写在试题和答题卡上。 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60

分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y= 1-x},集合 B={x|1≤2 ≤4},则(CUA)∪B 等于( A.[1,+?) B. (1,+?) C.[0,+?) D.(0,+?) ( ) 2.若 a>0,b<0,则直线 y=ax+b 必不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 2+1,m, 2-1 成等比数列, 则 m 的值是 1 A.1 B.-1 C.±1 D. 2 4.过点(1,1)且与直线 x-2y-2=0 垂直的直线方程是 A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x+y+3=0 5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是 A.39 B.36 C.33 D.30 6.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( A.3 B.4 C.5 D.6 )
x

)

(

)

(

)

(

)

7 . 已 知 m、n 是 两 条 不 同 的 直 线 , 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ②若 m // ? , m // ? ,则

?、?

? // ? ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ;
其中真命题的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,则 D1E 与 BC 所成角的余弦值为( 1 A. 3 1 B. 9 2 C. 3 2 D. 9

)

9.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积

1

为 A. ? a
2

( B. ? a

)

7 2 11 2 2 C. ? a D. 5? a 3 3 10.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
A.2 B. 1 ? 2 C. 1 ?

)

2 D. 1 ? 2 2 2

11.已知两点 A(-1,2),B(2,1),直线 l: 3x-my-m=0 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率的取值范围是 ( ) A. [?3,??) C.[-3,1] B. [1,??) D. (??,?3] ? [1,??)

12.一棱台两底面周长的比为 1∶5,过侧棱的中点作平行于底面的截面,则该棱台被分成 1 两部分的体积比是(V 棱台= (S′+S+ S′S)h, S′为棱台的上底面,S 为棱台的下底面,h 3 为棱台的高) A.1∶125 B.27∶125 C.13∶62 D.13∶49 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分, 13.直线 l1:3x+4y-2=0 与 l2:6x+8y+3=0 之间的距离是 ( )

.

14.已知 3x ? 4 y ? c ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,则 c = 15.如图是 Δ OAB 用斜二测画法画出的直观图,则 Δ OAB 的面积为 16.给出下列四个命题 ①过平面外一定点有且只有一个平面与已知平面垂直; ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直; ③过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直; ④垂直于同一平面的两个平面可能互相平行,也可能相交; ⑤垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑥平行于同一个平面的两直线不是平行就是相交. 其中正确命题的序号为 . .

8

A'
4

B' O'
2 4

15 题

2

三、解答题:(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学 生成绩样本,得频率分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合 分组 [230,235) [235,240) [240,245) [245,250) [250,255] 计 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

(1)写出表中①②位置的数据;为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组 中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (2)在(1)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名是 第四组的概率.

18. (本小题满分 12)已知三棱锥 A-BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1, AB ⊥平面 BCD,

?ADB ? 60 , E , F 分别是 AC , AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) . AC AD

(Ⅰ)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF ⊥平面 ABC ; 1 (Ⅱ)若?= ,求四棱锥 B-CDFE 的体积 2

19.(本小题满分 12 分)在?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, → → → → 向量 m =(2sinB, 3+1-cos2B), n =(1+sinB,-1),若 m ⊥ n (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 3,a=1,求?ABC 的面积.
3

20. (本小题满分 12 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 ? bn ?

21.(本小题满分 12) 已知圆 C: x +(y-2) =25,直线 L:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R) (1)证明:无论 m 取什么实数,L 与圆 C 恒交于两点. (2)已知直线 L 与圆 D:(x+1) +(y-5) =R (R>0)相切,且使 R 最大,求 m 的值. 22.(本小题满分 12)如图,三块土地的总面积为 30 . 求 S1 的最大值及取得最大值时 x、y 的值. y 1
2 2 2 2 2

x

S1

S3

2

S2

4

答案 1-6:C、B、C、A、D、B 13、7/10 14 -6 或-16 7-12:A、A、B、B、D、D 15、32 16、②④⑤

17.解: (1)①②位置的数据分别为 12、0.3 ???????????(2 分) 第三、四、五各组参加考核人数分别为 3、2、1;???????(4 分) (2)设上述 6 人为 a,b,c,d,e,f(其中第四组的两人分别为 d,e),则从 6 人中任取 2 人的所 有 情 形 为 : { ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef } 共 有 种. ???????(7 分) 记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A,则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种。 9 3 所以 P(A)= = ?????????????????????(10 分) 15 5 18. 15

证(Ⅰ)∵ AB ? 平面 BCD ,∴ AB ? CD , ∵ CD ? BC ,且 AB 又∵

???????(2 分)

BC ? B ,∴ CD ? 平面 ABC ,???(4 分)

AE AF ? ? ? ( 0 ? ? ? 1) , AC AD

∴不论 ? 为何值,恒有 EF // CD ,∴ EF ? 平面 ABC , EF ? 平面 BEF , ∴不论 ? 为何值恒有平面 BEF ⊥平面 ABC .???????(6 分) (Ⅱ)∵ BC ? CD ? 1 , ?BCD ? 90 , ?ADB ? 60 , ∴ BD ? 2, AB ? 2 tan 60 ? 6 , 1 1 1 6 ∴VA-BCD= S?BCD?AB= ? ? 6= 3 3 2 6 1 ∵?= ,∴E 为 AC 的中点,又 EF ? 平面 ABC 2 1 1 1 1 1 6 VB-AFE= S?ABE?EF= S?ABC?EF= ? ?1? 6? = 3 6 6 2 2 24 ∴VB-CDFE= VA-BCD- VB-AFE= 6 8 ?????(10 分) ?? ?????(8 分)

???????(12 分)

19、(1) ∵ m ? n ,∴ m ? n ? 2 sin B ? 2 sin 2 B ? cos2B ? 3 ? 1 ? 0 ??(2 分)

?

?

? ?

5

即, 2 sin B ? 3 ? 0,即sin B ? 即B ?

3 ?????????????????(4 分) 2

2? ????????????????(6 分) 3 3 ? 1 ? ? b a (2) ①若 B ? 时,由 = ,可得 sin A ? , 即A ? , 即C ? ??(7 分) sinB sinA 3 2 6 2

?

??



B?

∴S ?

1 3 ???????????????????????(9 分) ab ? 2 2

2? b a 1 ? ? ②若 B= 时,由 = ,可得 sinA= ,∴A= ,∴C= ????? (10 分) 3 sinB sinA 2 6 6 1 3 ∴S= absinC= ?????????????????????? (12 分) 2 4
2 3 2 20.解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4
2

1 ??(2 分) 9

由条件可知 c>0,故 q ?

1 1 。由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。??(4 分) 3 3 1 。 3n
???????(6 分)

故数列{an}的通项式为 an=

(Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2
?????????(8 分)



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

???????(10 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

所以数列 {

???????(12 分)

21.解: (1)证明: ∵(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R) ∴m(2x+y-7)+x+y-4=0,则直线 L 必过两直线 2x+y-7=0 与 x+y-4=0 的交点,??(2 分)

6

?2x+y-7=0 ?x=3 由? 得? ,∴两直线 2x+y-7=0 与 x+y-4=0 的交点坐标为(3,1).??(4 分) ? x+y-4=0 ?y=1

又∵3 +(1-2) <25,∴点(3,1)在圆 C 内部, ∴过点(3,1)的直线 L 必与圆 C 恒交于两点. ?????????(6 分) (2)∵圆心(-1,5)到直线 L 的距离最大时,直线 L 与圆 D:(x+1) +(y-5) =R (R>0)相 切,且 R 最大。又直线 L 过定点(3,1) , (3)∴当定点(3,1)为切点时,R 最大。 ?????(9 分) 1 =1, 5-4 -1-3 2m+1 此时 L 与过点(3,1) (-1,5)的直线垂直,L 的斜率– = – m+1 2 3
2 2 2

2

2

∴m= –

?????????(12 分)

22.解:∵S1+S2+S3=xy+2y+x=30. ??(2 分) 30-x ∴y= x+2 S1=xy= 分) (x+2)+ 号) ∴S1≤34-16=18 ??(10 分) 64 ≥ 2 64=16( 当且仅当 x=6 时取等 x+2 x (30-x)x 64 =34-[(x+2)+ ]??(6 x+2 x+2

y

1

S1

S3

2

S2

∴当 x=6,y=3 时,S1 最大为 18???(12 分)

7