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高中数学专题研究3-3



高考调研

新课标版 · 数学(理)

专 题 研 究

导 数 的 综 合 应 用

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例1 2 ( 0 1 2 ·

1 新课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y

ln?x+1?-x ( )

=f(x)的图像大致为

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-x 1 【解析】 令 g(x)=n ( l x+1)-x,g′(x)= -1= . x+1 x+1 ∴当-1<x<0 时,g′(x> ) 0 , 当 x>0 时,g′(x< ) 0 . ∴g(x)x ( ) =0. m a =g0 ∴f(x< ) 0 ,排除 A、C,又由定义域可排除 D, 故 选
【答案】 B

B.

探究 1 给 定 解 析 式 求 函 数 的 图 像 是 近 几 年 高 考 重 点 , 并 且 难 度 在 增 大 , 多 数 需 要 利 用 导 数 研 究 单 调 性 知 其 变 化 趋 势 , 利用导数求极值(最值)研究零点.
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思考题 1

2 ( 0 1 3 ·

滨 州 一 模

n |l x| ) 函数 y = 的 图 像 大 致 是 x ( )

【解析】 由 题 意 , 函 数 为 奇 函 数 , 排 除 1 · x-lnx 1-lnx lnx x = ,y′= = 2 , 所 以 当 2 x x x

B;当 x>0 时,y

0<x<e 时,y′>0, 函 数

为增函数;当 x>e 时,y′<0,函数为减函数,故选 C.
【答案】 C
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例2 2 ( 0 1 2 ·

辽宁卷)设 f(x)=n ( l x+1)+ x+1+ax+b(a,b 点相切.

3 ∈R,a,b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 在0 ( ) , 2 1 ( ) 求 a,b 的值; 9x 2 ( ) 证明:当 0<x<2 时,f(x)< . x+6

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【 解 析 】 1 ( ) 由 y=f(x)过0 ) ( , 点 的 切 线 斜 率 为 点 , 得 3 2,

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b= - 1.

由 y=f(x)在0 ( ) ,

1 1 3 又 y′|x=0=( + +a)|x=0= +a, 2 x+1 2 x+1 得 a=0. 2 ( ) 证 法 一 1=x+2, 故 由 均 值 不 等 式 , 当 x x+1< +1. 2 x>0 时 , 2 ?x+1?· 1<x+1+

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9x 记 h(x)=f(x)- , 则 x+6 1 1 54 h′(x)= + - x+1 2 x+1 ?x+6?2 2+ x+1 54 = - 2?x+1? ?x+6?2 x+6 54 < - 4?x+1? ?x+6?2 ?x+6?3-216?x+1? = . 4?x+1??x+6?2 令 g(x)=(x+6)3-216(x+1), 则 当 g′(x)=3(x+6)2-2 1 6 < 0 .

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0<x<2 时 ,

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因此 g(x)在2 0 ( ) ,

内是递减函数,又由 g0 ( ) =0,得

g(x< ) 0 ,所以 h′(x< ) 0 . 因此 h(x)在2 0 ( ) , 内是递减函数, 于是

又 h0 ( ) =0,得 h(x< ) 0 .

9x 当 0<x<2 时,f(x)< . x+6

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证法二 由1 ( ) 知 f(x)=n ( l x+1)+ x+1-1. 由均值不等式,当 x>0 时, x 2 ?x+1?· 1<x+1+1=x+2,故 x+1<2+1. ① -x 1 令 k(x)=n ( l x+1)-x, 则 k0 ( ) =0, k′(x)= -1= < 0 . x+1 x+1 故 k(x< ) 0 ,即 n ( l x+1 < ) x. ② 3 由①②,得当 x>0 时,f(x)<2x.

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高考调研 记 h(x)=(x+6)f(x)-9x, 则 当
h′(x)=f(x)+(x+6)f′(x)-9

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0<x<2 时 ,

3 1 1 <2x+(x+6 ( ) + )-9 x+1 2 x+1 1 = [3x(x+1)+(x+2 6 ( ) 2?x+1? 1 < [3x(x+1)+(x+3 6 ( ) 2?x+1? x = (7x-1 8 < ) 0 . 4?x+1? 因 此 h(x)在2 0 ( ) , 内 单 调 递 减 , 又 h0 ( ) =0, 9x 所 以 h(x< ) 0 , 即 f(x)< . x+6
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+ x+1)-18(x+1 ] ) x + )-18(x+1 ] ) 2

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探究 2 利 用 导 数 工 具 , 证 明 不 等 式 的 关 键 在 于 要 构 造 好 函 数 的 形 式 , 转 化 为 研 究 函 数 的 最 值 或 值 域 问 题 , 有 时 需 用 到 放缩技巧. 求证不等式 f(x)≥g(x), 一 种 常 见 思 路 是 用 图 像 法 来 说 明 函 数 f(x)的图像在函数 g(x)图 像 的 上 方 , 但 通 常 不 易 说 明 . 于 是 通 常构造函数 F(x)=f(x)-g(x),通过导数研究函数 F(x)的性质, 进而证明欲证不等式.

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思考题 2 2 ( 0 1 3 ·

济宁模拟)已知函数 f(x)=ax+xlnx, 且 图 为自然对数的底数).

1 1 像在点( e,f(e))处的切线斜率为 1 e ( 1 ( ) 求实数 a 的值;

f?x?-x 2 ( ) 设 g(x)= ,求 g(x)的单调区间; x-1 n n 3 ( ) 当 m>n> 1 ( m,n∈Z)时,证明: > . m n m m

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【解析】 1 ( ) f(x)=ax+xlnx,f′(x)=a+1+lnx. 1 依题意 f′( e)=a=1,所以 a=1. f?x?-x xlnx x-1-lnx 2 ( ) 因为 g(x)= = ,所以 g′(x)= 2 . x-1 x-1 ?x-1? 1 设 φ(x)=x-1-lnx,则 φ′(x)=1- . x 1 当 x>1 时,φ′(x)=1- >0,φ(x)是增函数. x 对?x>1,φ(x)>φ1 ( ) =0,即当 x>1 时,g′(x> ) 0 . 故 g(x)在(1,+∞)上为增函数.
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1 当 0<x<1 时,φ′(x)=1- <0,φ(x)是减函数. x 对?x∈1 0 ( ) , 故 g(x)在1 0 ( ) , ,φ(x)>φ1 ( ) =0,即当 0<x<1 时,g′(x> ) 0 . 上为增函数. ,(1,+∞).

所以,g(x)的单调增区间为1 0 ( ) ,

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n n lnn lnm 3 ( ) 要证 > ,即证 - > n l n-lnm. m m n n m n-1 m-1 mlnm nlnn 即 lnm> lnn, > . n m m-1 n-1 n n 因为 m>n>1,由2 ( ) 知,g(m)>g(n),所以 > . m n m m

m

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例 3 R).

2 ( 0 1 3 ·

保 定 摸 底 考 试

1 )已知函数 f(x) = x + alnx(a ∈ 2
2

1 ( ) 若 a= - 4, 求 函 数 2 ( ) 设 函 数 不 同 的 自 变 量 的 取 值 等 , 若 存 在 请 求 出 1 g(x)= -c o s 2

f(x)的 单 调 区 间 .
2

x, 试 问 , 在 定 义 域 内 是 否 存 在 三 个 f(xi)-g(xi)的 值 恰 好 相

xi(i=1,2,3), 使 得

a范 围 , 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .

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【 解 析 】

2 a 2 2?x -1? 1 ( ) 由 f′(x)=2x+ =2x- = =0. 2x x x

得 x=1 或 x= - 1.又 x>0,∴x=1. 所 以 当 0<x<1 时 f′(x< ) 0 , 可 得 函 数 f(x)的 减 区 间 为 1 0 ( ) , .

当 x>1 时 f′(x> ) 0 , 可 得 函 数 的 增 区 间 为

(1, + ∞).

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2 ( ) 若 存 在 , 设

f(xi)-g(xi)=m(i=3 2 ) 1 ,

, 则 对 于 某 一 实 数

m

方程 f(x)-g(x)=m 在(0,+∞)上 有 三 个 不 等 的 实 根 . 1 1 设 F(x)=f(x)-g(x)=x +2alnx-( 2-c o s
2 2

1 1 x)=x +2 alnx+2
2

c o 2 s

x, a 则 F′(x)=2x+ -n 2 i s 2x x(x> 0 ) ,

至少有两个不同的零点. 即 a=-(4x2-2xn 2 i s x)(x> 0 ) 至少有两个不同的解.

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设 G(x)=4x2-2xn 2 i s 则 G′(x) = 8 x - n 2 i s c o 2 s x). 设 h(x)=2x-n 2 i s +∞)上 单 调 递 增 , 则 当 x>0 时 h(x)>h0 ( ) =0, 即 2x> n 2 i s 又 1-c o 2 s 数 , 则 a= - (4x2-2xn 2 i s x. x, 则 h′(x)=2-2 c o 2 s x(x> 0 ) , x - 4xc o 2 s

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x =2 ( x -n 2 i s

x) + 4x(1 -

x≥0, 故 h(x)在(0,

x>0,则 G′(x> ) 0 ,故 G(x)在(0,+∞)上 是 增 函

x)(x> 0 ) 至 多 只 有 一 个 解 , 故 不 存 在 .
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探究 3 讨论方程根的个数或函数的零点,关键根据题意, 画出函数图像的走势规律, 标明函数极(最)值 的 位 置 , 通 过 数 形 结合的思想去分析解决.

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思考题 3 1 ( ) 2 ( 0 1 ·

辽宁文)已知函数 f(x)=ex-2x+a 的

零点,则 a 的取值范围是________. 2 ( ) 已知定义域为 R 的奇函数 f(x), 当 x>0 时, f(x)=lnx-ax +1(a∈R). ①求函数 f(x)的解析式; ②若函数 y=f(x)在 R 上恰有 5 个 零 点 , 求 实 数 围 a 的取值范

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【 解 析 】

1 ( ) 由 原 函 数 有 零 点 , 可 将 问 题 转 化 为 方 程 a=2x-ex 有 解.

ex-

2x+a=0 有 解 问 题 , 即 方 程 令 函 数 x=n 2 l , 所 以 减 函 数 , 所 以 围 就 是 函 数

g(x)=2x-ex, 则 g′(x)=2-ex, 令 g′(x)=0, 得 g(x)在(-∞,n 2 l ) g(x)的 最 大 值 为 g(x)的 值 域 , 所 以 , 上 是 增 函 数 , 在 gn 2 l ( ) n 2 l ( ,+∞)上 是

=n 2 l -2.因 此 , a的 取 值 范 -2].

a∈(-∞,n 2 l

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2 ( ) ①设 x<0,则-x> 0 . 因为 f(x)是 奇 函 数 , 所 以 当 x=0 时,f(x)=0. ?lnx-ax+1?x>0?, ? 所以函数 f(x)=?0?x=0?, ?-ln?-x?-ax-1?x<0?. ? f(x)=-f(-x)=-n ( l -x)-ax-1.

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②因 为 函 数 点 对 称 , 由

f(x)是 奇 函 数 , 所 以 函 数

y=f(x)的 零 点 关 于 原 5个 实 数 根 中 有

f(x)=0 恰 有 5个 不 同 的 实 数 根 , 知

两 个 正 根 、 两 个 负 根 、 一 个 零 根 , 且 两 个 正 根 和 两 个 负 根 互 为 相 反 数 . 所 以 要 使 方 程 f(x)=0 恰 有 5个 不 同 的 实 数 根 , 只 要 使 方 程

f(x)=0 在(0, + ∞)上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 即 可 .

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1 因为 f′(x)= -a,所以当 a≤0 时,f′(x> ) 0 ,f(x)在(0, x +∞)上为单调递增函数.所以方程 f(x)=0 在(0,+∞)上不可 能有两个不同的实数根. 1 -a?x- ? a 当 a>0 时,f′(x)= . x 1 令 f′(x)=0,得 x= . a

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1 当 0<x< 时 , f′(x> ) 0 , 函 数 a 1 当 x> 时 , f′(x< ) 0 , 函 数 a 所 以 函 数 所 以 要 使 方 程 根 , 只 要 -

1 f(x)在(0, ]上 单 调 递 增 ; a

1 f(x)在[ , + ∞)单 调 递 减 . a lna.

1 f(x)在 x= 处 取 得 极 大 值 - a

f(x)=0 在(0, + ∞) 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 0<a<1, 故 a的 取 值 范 围 是 1 0 ( ) , .

lna>0, 解 得

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例4 2 ( 0 1 ·

福建)某商场销售某种商品的经验表明, 该商品 /千克)满足

每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单 位 : 元

a 关系式 y= +10(x-6)2.其中 3<x<6,a 为 常 数 . 已 知 销 售 价 x-3 格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. 1 ( ) 求 a 的值; 2 ( ) 若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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2 2 ( ) 由1 ( ) 可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2. x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 2 f(x)=(x-3 [ ) +10(x-6)2]=2+10(x-3 ( ) x-6)2, 3<x< 6 . x-3 从而, f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3 ( ) x-6 ] ) =3 0 ( x-4 ( ) x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 :
x f′(x) f ( x) (3,4) + 4 0 (4,6) -

单调递增

极大值42

单调递减
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由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间6 3 ( ) , 也是最大值点. 所 以 , 当 x=4 时 , 函 数

内 的 极 大 值 点 ,

f(x)取 得 最 大 值 , 且 最 大 值 等 于

42.

答 : 当 销 售 价 格 为 得的利润最大.

4 元/千 克 时 , 商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获

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【答案】 1 2 ( )

2 4 ( )

探究 4 生 活 中 求 利 润 最 大 、 用 料 最 省 、 效 率 最 高 称 之 为 优 化 问 题 . 导 数 是 解 决 生 活 中 优 化 问 题 的 有 力 工 具 , 用 导 数 解 决 优 化 问 题 的 基 本 思 路 是 : 优 化 问 题

等问题

→用 函 数 表 示 的 数

学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案.

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思考题 4 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶 子的制造成本是 8 0 π . 已知每出售 m 1L r2 分,其中 r 是 瓶 子 的 半 径 , 单 位 是 2 0 . 分 , 且 制 造 商 制 作 的 cm,

饮 料 , 制 造 商 可 获 利

瓶子的最大半径为 c 6 m . 试 求 出 瓶 子 的 半 径 多 大 时 , 能 使 每 瓶 饮 料 的 利 润 最 大 或 最 小.

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【解 析 】

由 于 瓶 子 的 半 径 为

r, 所 以 每 瓶 饮 料 的 利 润 是

4 3 y=f(r)=0.2× πr -0.8πr2 3 r3 2 =0.8π( -r ),0<r≤6. 3 f′(r)=0.8π(r2-2r), 当 r=2 时,f′(r)=0. 当 r∈2 0 ( ) , 时,f′(r< ) 0 ;当 r∈6 2 ( ) , 时,f′(r> ) 0 .

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因 此 , 当 半 径 半 径 越 大 , 利 润 越 高 ; 半 径

r>2 时 , f′(r> ) 0 , 它 表 示

f(r)单 调 递 增 , 即 f(r)单 调

r<2 时 , f′(r< ) 0 , 它 表 示

递 减 , 即 半 径 越 大 , 利 润 越 低 . 所 以 半 径 为 c 2 m 时 , 利 润 最 小 , 这 时 f2 < ( ) 0 , 表 示 此 种 瓶 c 6 m

装 饮 料 的 利 润 还 不 够 瓶 子 的 成 本 , 此 时 利 润 是 负 值 . 半 径 为 时 , 利 润 最 大 .

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1. 函 数

1 x f(x)= e n i s ( 2

π x+c o s x)在区间[0, ]上 的 值 域 为 2

(

)

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答案 A
1 x 解析 f′(x)= e n i s ( 2 π 0≤x≤ 时,f′(x)≥0. 2 π ∴f(x)是[0, ]上的增函数. 2 π ∴f(x)的最大值为 f(2)= 1 f(x)的最小值为 f0 ( ) =2. , 1 x x+c o s x)+ e c o ( s 2

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x-n i s x)=exc o s x, 当

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2. 函 数

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f(x)的图像如图所示, 下列数值排序正确的是(

)

A.0<f′2 < ( ) B.0<f′3 < ( ) C.0<f′3 < ( )

f′3 < ( )

f3 ( ) -f2 ( ) f′2 ( )

f3 ( ) -f2 < ( ) f′2 < ( )

f3 ( ) -f2 ( ) f′3 ( )

D.0<f3 ( ) -f2 < ( )

f′2 < ( )

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答案 B

解析 f′2 ( ) 、f′3 ( ) 是 x 分别为 2、3 时对应图像上点的切 f?3?-f?2? 线斜率,f3 ( ) -f2 ( ) = ,∴f(3)-f2 ( ) 是图像上 x 为 2 和 3 3-2 对应两点连线的斜率,故选 B.

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3.2 ( 0 1 ·

浙江)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x y=f(x) ( )

=-1 为函数 f(x)ex 的 一 个 极 值 点 , 则 下 列 图 像 不 可 能 为 的图像是

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答案 D 解析 若 x=-1 为函数 f(x)ex 的 一 个 极 值 点 , 则 易 得

a=c.

因选项 A、 B 的函数为 f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f′(x)ex+ f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3 e )
x

,∴x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值

b 点满足条件;选项 C 中,对称轴 x=- >0,且开口向下,∴ 2a a<0,b>0,∴f(-1)=2a-b<0, 也 满 足 条 件 ; 选 项 b 轴 x=- <-1,且开口向上, 2a ∴ a>0 , b>2a ,∴ f( -1) =2a -b<0, 与 图 矛 盾 , 故 答 案 选 D.
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D中 , 对 称

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1 3 4.若 a>2,则方程3x -ax2+1=0 在2 0 ) ( , A.0 个根 C.2 个根
答案 B

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上 恰 好 有

(

)

B.1 个根 D.3 个根

1 3 解析 设 f(x)= x -ax2+1, 则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a), 3 当 x∈2 0 ( ) , 时,f′(x< ) 0 ,f(x)在2 0 ( ) , 上 为 减 函 数 , 又 在2 0 ( ) , f0 ( ) f2 ( ) =

?8 ? 11 1?3-4a+1?= 3 -4a<0,f(x)=0 ? ?

上恰好有 1 个根.

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5. 已 知 函 数 f(x)的定义域为[-5 1 ] ,

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, 部 分 对 应 值 如 下 表 .

f(x)

的导函数 y=f′(x)的图像如图所示.

x f(x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

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下 列 关 于 函 数 f(x)的 命 题 :

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①函 数 y=f(x)是 周 期 函 数 ; ②函 数 f(x)在2 0 [ ] , ③如 果 当 值 为 4; ④当 1<a<2 时 , 函 数 其 中 真 命 题 的 个 数 有 A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个
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上 是 减 函 数 ; 2, 那 么 t的 最 大

x∈[-1,t]时 , f(x)的 最 大 值 是

y=f(x)-a 有 4 个 零 点 . ( )

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答案 D

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解 析 确 ;

依 题 意 得 , 函 数

f(x)不 可 能 是 周 期 函 数 , 因 此

①不 正

当 x∈2 0 ( ) , ②正 确 ;

时 , f′(x< ) 0 , 因 此 函 数

f(x)在2 0 [ ] ,

上 是 减 函 数 ,

当 x∈[-1,t]时 , f(x)的 最 大 值 是 的 可 能 图 像 形 状 分 析 可 知 , 此 时 注 意 到 图 像 向 下 平 移 确 定 , 因 此

2, 依 题 意 , 结 合 函 数

f(x)

t的 最 大 值 是

5, 因 此 ③不 正 确 ; f(x)的 x轴 的 交 点 个 数 不

f2 ( ) 的 值 不 明 确 , 结 合 图 形 分 析 可 知 , 将 函 数 a1 ( < a< 2 ) 个 单 位 后 相 应 曲 线 与 ④不 正 确 . 综 上 所 述 , 选 D.

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6.设某商品的需求函数为 Q=100-5P,其中 Q,P 分别表示 Q′ EQ EQ 需求量和价格,若商品需求弹性 大于 1(其中 =- P, EP EP Q Q′是 Q 的导数),则商品价格 P 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
答案 1 ( 2 0 ,)

Q′ EQ 解析 由 Q=100-5P,得 Q′=-5,由 =- P知 EP Q 5P >1,∴P> 1 0 ,由 Q>0,得 P< 2 0 ,综上,P 的 取 值 范 围 100-5P 为1 ( 2 0 ,) .
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7.2 ( 0 1 ·

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?2 ? ,x≥2, 北京)已知函数 f(x)=?x 3 ? ? x - 1 ? ,x< 2 . ?

若关于 x 的

方程 f(x) = k 有 两 个 不 同 的 实 根 , 则 实 数 ________.
答案 1 0 ( ) ,

k 的取 值 范 围 是

解析 当 x<2 时,f′(x)=3(x-2)2>0, 说 明 函 数 在

(-∞,

2]上单调递增,函数的值域是(-∞,1),函数在[2,+∞)上单 调 递 减 , 函 数 的 值 域 是 的实根,则 0<k< 1 .
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1 0 ( ] ,

. 因 此 要 使 方 程

f(x)=k 有两个不同

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1 1 8.已知函数 f(x)=n i s x-3x,x∈[0,π],c o s x0=3(x0∈[0, π ) ] ,那么下面命题中真命题的序号是________. ①f(x)的最大值为 f(x0); ②f(x)的最小值为 f(x0); ③f(x)在[0,x0]上是减函数; ④f(x)在[x0,π]上是减函数.

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答案 ①④

1 解析 f′(x)=c o s x-3,当 f′(x)≥0,即 x∈[0,x0]时 , 函 数 f(x)为增函数,当 f′(x)≤0,即 x∈[x0,π]时 , 函 数 函数,因此③错,④正确. 因此 f(x0)是函数 f(x)在[0,π]上的最大值,①正 确 . 综 上 可 得,真命题的序号为①④. f(x)为减

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课时作业(十八 )

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