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2012-2013第一学期期末试卷及答案(高一数学)



石家庄市 2012~2013 学年度第一学期期末考试试卷

∴ OA=(-1, 3) , OB =(1,0),OM =( , 又 OM ? ?1a ? ?2 b

??? ?

??? ?

???? ?

高一数学答案
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题 1-5 ACBCC 二、填空题 13. 9 14. 6-10 ABDBB 11 【普通高中】C【示范高中】D 12 B

1 5 3 ), 2 6

???? ?

(?1 , ?2 ? R )

∴(

1 5 3 , )=?1 (?1, 3) ? ?2 (1, 0) ……………10 分 2 6

1 2

15. (-1,2)

16. 【普通高中】 2 或-1【示范高中】 1677

三、解答题 17.解: (Ⅰ)解: f (x)=1+2sinxcosx+2cos x = sin 2 x +cos2x+2
2

?1 5 ? ? 2 =-?1 +?2 ? ?1 = 6 ? ? ∴? 解得 ? ? 5 3 = 3? ?? = 4 1 ? 2 3 ? 6 ? ?
∴ ?1 +?2 =

= 2 sin (2x+

?
?
4

)+2 ………………3 分

13 .……………12 分 6

3? 由 - +2k? ? 2 x + ? +2k? , k ? Z , 2 4 2 3? ? 得+k? ? x ? +k? , k ? Z 8 8 3? ? 所以函数的单调递增区间为 [? ……………5 分 ? k ?, ? k ?], k ? Z 8 8 ? ? ? 5? (Ⅱ)解:∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x + ? [ , ] ………………7 分 2 4 4 4
故 2 x+

?

19.证明:任取 x1 、 x2 ? (0,+?) ,且 x1 <x2 ,…………3 分 又 f ( x) ?

2x ? 3 1 = +2 x ? 1 x +1
x2 -x1 1 1 = ……………6 分 x1 +1 x2 +1 (x1 +1)(x 2 +1)

所以 f (x1 )-f(x 2 )=

∵ x1 、 x2 ? (0,+?) ,且 x1 <x2 ∴ x2 -x1 ? 0 , x1 +1>0 , x2 +1>0 ,…………9 分 ∴ f (x1 )-f(x 2 )>0 ,即 f (x1 )>f(x 2 ) ∴ f ( x) ?

?

4

=

?

2

时, f (x) 的最大值为 2 +2, .…………………10 分

此时, x ?

?
8

2x ? 3 在(0,+ ? )上是减函数.…………12 分 x ?1
? x-1>0 ,解得 1<x<2 , ? 4-2 x >0

18. 解: (Ⅰ)解:依题意 ∴ (a ? b) ? b=0 ,即 a ? b+b =0
2

20. 解: (Ⅰ)由题意可知 ?

又 |a||b|cos? +|b| =0 ,……………3 分
2

∴函数 f ( x)-g (x) 的定义域(1,2) .…………4 分

即 2|b| cos? +|b| =0
2 2

1 2? ,∴ ? = .…………6 分 2 3 ??? ? ??? ? | (Ⅱ)∵B(1,0) | a 2 | b ,∴ |OB| ? 1, |OA|=2 ,可得 A(-1, 3 ) , | ? ,…………8 分
解得 cos ? =-

(Ⅱ)当 a>1 时,满足 ?

? x -1>4-2 x 5 ,解得 ? x ? 2 ,…………7 分 3 ?1<x <2 ? x -1<4-2 x 5 解得 1 ? x ? ,…………10 分 3 ?1<x <2

当 0<a<1 时,满足 ?

所以当 a>1 时, x ? ( ,2) ;当 0<a<1 时, x ? (1, ) .…………12 分 21.解: (Ⅰ)解:(法一)如图,以摩天轮最低点为原点,最低点的 切线为 x 轴建立直角坐标系,设小朋友所在位置为点 P, 其纵坐标为 y,转过的角为 ? ,由题意可知 ∴ y ? ?40 cos? ? 40 ,…………3 分 所以小朋友离地面距离 h ? ?40 cos? ? 41 , O 由每分钟转过的角为

5 3

5 3

∴ g ( x) ? 2

2x

? 2?2 x ? 2m(2 x ? 2? x ) …………6 分

? (2 x ? 2? x )2 ? 2m(2 x ? 2? x ) ? 2
y 令 t ? 2 ? 2 ,∵x≥1,∴t≥ f (1) ?
x ?x

3 , 2 3 2

令 h(t)= t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m2 , (t ? ) ……………9 分

2? ? ? ? ,∴ ? ? t , 12 6 6
(t ? 0)
……………6 分

?
P O1 x

所以 h ? ?40 cos( t ) ? 41 ,

?

3 ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-2,解得 m=2 或 m=-2(舍) ,∴m=2; 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= ? 3m =-2,解得 m= > ,舍去; 2 2 4 12 2
若m ? 综上可知 m=2.………………12 分

6

(法二)由题意可设 h ? A sin(?t ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0, t ? 0 ) 小朋友的最高距地面 81m,最低距地面 1m ∴?

? A ? b ? 81 ,得 A=40,b=41, ?? A ? b ? 1

又函数周期为 12,∴ ? ?

所以 h ? 40 sin( t ? ? ) ? 41 ( t ? 0 ) ,

?

2? ? ? , 12 6

6

又 t=0 时,h=1,∴ 40 sin( ∴ h ? 40 sin( t ?

?
6

? 0 ? ? ) ? 41 ? 1 ,即 sin ? ? ?1 , ? 可取 ?

?

?

6

) ? 41 ? ?40 cos( t ) ? 41 ( t ? 0 ) . 2 6

?

? , 2

(Ⅱ)依题意可知 ?40cos( 即 cos(

?

?

1 2? ? 4? , 4 ? t ? 8, t ) ? ? ,不妨取第一圈,可得 ? t? 6 2 3 6 3

6

t ) ? 41 ? 61 ,…………9 分

所以持续时间为 4 分钟.………………12 分 22.解(Ⅰ)∵ f (x) 为奇函数,且定义域为 R, ∴ f (0) ? 0 , 即 a ? (k ? 1)a =0 ,解得 k=2;……………4 分
0 0

(Ⅱ)∵ f (1) ?

3 3 1 1 -1 ,所以 a ? a = ,解得 a=2 或 a= ? (舍) 2 2 2



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