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《等比数列的前n项和(一)》



2.5 等比数列的 前n项和
蒋洪波

复习引入
1. 等比数列的定义: 2. 等比数列通项公式:

an ? a1 ? q

n ?1

(a1 , q ? 0)
(a1 , q ? 0)

an ? am ? q

n? m<

br />
复习引入
3. {an}成等比数列

?
4. 性质:

an?1 ? ? q ( n ? N , q ? 0) an

若m+n=p+q,则am · an=ap · aq.

复习引入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏 象棋的发明者,于是就问象棋的发明者有什么 要求,发明者说:“请在象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒,第二个格子放 2 颗麦粒,第三个格子 放 4 颗麦粒,以此类推,每个格子放的麦粒数 都是前一个格子的两倍,请给我足够的粮食来 实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他 的要求. 我们看国王能不能满足他的要求,由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的 2 倍,共有 64 个格子,各个格子里的麦粒数 依次是:

讲授新课
63 ? 1 2 2 2 2 2 2 3 4

这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!

2

63

讲授新课
分析: 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , ?, 2 .
它是以1为首项,公比是2的等比数列,

2

3

63

麦粒的总数为:

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2
62

63

讲授新课
这种求和 请同学们考虑如何求出这个和? 的方法,就 2 3 63 是错位相 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 减法 2 3 63!

2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )

讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63

即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 由②-①可得:
2 3 63


64

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) 2 3 63 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 64 ? S64 ? 2 ? 1=18446744073709551615

讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ① 2 3 63 2 S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 )
2 3 63
如果1000 粒麦粒重为40 63 64 即 2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2 ② ?2 克,那么这些麦粒的总质 量就是7300多亿吨.根据统 由②-①可得: 计资料显示,全世界小麦

? 2 S64 ? S64 ? ( 2 ? 2 ? 2 说全世界都要 ? ? ? 2 1000 ? 2 ) 多年才 2 3 63 能生产这么多小麦,国王 ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 无论如何是不能实现发明 者的要求的. 64 ? S64 ? 2 ? 1=18446744073709551615
2
6亿吨,就是 3 的年产量约为63 64

≈1.84×1019

等比数列的前n项和公式的推导
一般地,设等比数列a1, a2, a3, …, an… 这种求和 它的前n项和是 的方法,就
是错位相 减法!

当q=1时,等比 数列的前n项和 是什么?

∴当q≠1时, 或

Sn ? na1

讲解范例:
例1.求下列等比数列前8项的和.

1 ( 2) a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 243

1 1 1 (1) , , ? 2 4 8

练习:
教材P.58练习第1题. 根据下列各题中的条件,求相应的等比 数列{an}的前n项和Sn.

(1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;
1 1 ( 2) a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? . 3 90

讲解范例:
例2. 某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的售量比上一年增加10%, 那么从第一年起,约几年内可使总销售 量达到30000台(保留到个位)?

讲解范例:
例3.求数列
1, 3a , 5a , 7a ,? , ( 2n ? 1)a
2 3 n ?1

前n项的和.

课堂小结
1. 等比数列求和公式: 当q=1时,

当q≠1时, 或

课堂小结
2.这节课我们从已有的知识出发, 用多种方法(迭加法、运用等比性 质、错位相减法、方程法)推导出 了等比数列的前n项和公式,并在 应用中加深了对公式的认识.

P61习题2.5 1, 2



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