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湖南省浏阳一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题



浏阳一中 2015 年上学期高二期末考试数学试卷(文)
制卷人:邹辉煌 审卷人:贺注国

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ? x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P ? Q 等于 ( A . ??1 , ? 2, 0,1, 2? B. ?3 , 4?

C. ? 1 ? D. ?1 , 2?



3 4 2.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(- , ),则 5 5 cos α 的值为 ( ) 4 3 4 3 A. B.- C.- D.- 5 4 5 5 3 3.曲线 y=2x -3x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 D.y=3x-3 4.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; 5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ( )

B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;

2 的零点所在的大致区间是 ( ) x A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 6.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )

1 A. f(x)=x2

B.

f(x)=x2+1

C.

f(x)=x3

D. f(x)=2-x

7. 函数 f(x)=2sin (ω x+φ ) (ω >0,- 如图所示,则 ω ,φ 的值分别是 A.2,- π 3 B.2,- π 6

π π <φ < )的部分图像 2 2 ( ) π D.4, 3 ( )

C.4,-

π 6

8. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

9. 当 x∈[-2,1]时, 不等式 ax 3-x2+4x+3≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是(

A.[-5,-3]

9? ? B.?-6,-8? ? ?

C.[-6,-2]

D.[-4,-3]

10. 已知直线 y=mx 与函数 则实数 m 的取值范围是 A.( ,4) B.( ,+∞) C.(

的图象恰好有 3 个不同的公共点, ( ,5) D.( ) , )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 50 分)

?2 x ? 1( x ? 1) 则f [ f (? )] ? 11.已知 f ( x) ? ? ?sin x ? 2( x ? 1)
12. 曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为 ________ 2a-3 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围是________. 14.已知扇形的周长为 20,当扇形的圆心角为
15. 对于非空实数集 ,定义

弧度时,它有最大的面积。
.设非空实数集

.现给出以下命题:

(1)对于任意给定符合题设条件的集合 (2)对于任意给定符合题设条件的集合 (3)对于任意给定符合题设条件的集合 (4)对于任意给定符合题设条件的集合 有 .

必有 必有 必有 必存在常数 ; ; ,使得对任意的 ,恒

以上命题正确的是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
16.(12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a2-a)x 为增函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围。

1 17.(12 分)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2. π 2 (1)若 0<α<2,且 sin α= 2 ,求 f( α)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
[来源:学科网]

18.(12 分)已知函数 y ? f ( x) ?

ln x 。 x
1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

19.(13 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围

20.(13 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+

1)2. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn an· an+1

21.(13 分)设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
1 , 2 ? ,都有 x ? f ( x ) ? g ( x ) 成立,试求实数 a 的 (Ⅱ)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 1 2 ? ?3 ? ? 取值范围.

浏阳一中 2015 年上学期高二期末考试数学试卷(文)
制卷人:邹辉煌 审卷人:贺注国

(时间 120 分钟,共 150 分) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ? x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P ? Q 等于 ( A . ??1 , ? 2, 0,1, 2? B. ?3 , 4? C. ? 1 ? D. ?1 , 2?

D )

3 4 2.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(- , ),则 5 5 cos α 的值为 ( D ) 4 3 4 3 A. B.- C.- D.- 5 4 5 5 3 3.曲线 y=2x -3x+1 在点(1,0)处的切线方程为( D ) A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 D.y=3x-3

4.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; 5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?



C



B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;
[来源:学科网 ZXXK]

2 的零点所在的大致区间是 ( C) x A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 6.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A )

[来源:Zxxk.Com]

1 A. f(x)=x2

B.

f(x)=x2+1

C.

f(x)=x3

D. f(x)=2-x

7.函数 f(x)=2sin (ω x+φ ) (ω >0,- 如图所示,则 ω ,φ 的值分别是 A.2,- π 3 B.2,- π 6

π π <φ < )的部分图像 2 2 ( A ) π D.4, 3 ( B )

C.4,-

π 6

8. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
3 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.当 x∈[-2,1]时,不等式 ax -x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( c ) A.[-5,-3] C.[-6,-2] 9? ? B.?-6,-8? ? ? D.[-4,-3]

10. 已知直线 y=mx 与函数 则实数 m 的取值范围是( B) A. ( ,4) B.( ,+∞) C.(

的图象恰好有 3 个不同的公共点,

,5)

D.(



)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 50 分)

?2 x ? 1( x ? 1) 则f [ f (? )] ? 11.已知 f ( x) ? ? ?sin x ? 2( x ? 1)

-3/4

12. 曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为 ____2____ 2a-3 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围是_____-1<a<2/3___. 14.已知扇形的周长为 20,当扇形的圆心角为 15. 对于非空实数集 ,定义 2 弧度时,它有最大的面积。 .设非空实数集

.现给出以下命题: (1)对于任意给定符合题设条件的集合 (2)对于任意给定符合题设条件的集合 (3)对于任意给定符合题设条件的集合 (4)对于任意给定符合题设条件的集合 ,恒有 以上命题正确的是 1,4 三、解答题
1.命题 p:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a2-a)x 为增函 数.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围。

必有 必有 必有 必存在常数 ; ; ,使得对任意的



1:

1 p 为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,即 a>3或 a<-1.

1 q 为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<-2. p、q 中有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 p 真 q 假时,3<a≤1,p 假 q 真时,-1≤a<-2, 1 1 ∴p、 q 中有且只有一个真命题时, a 的取值范围为{a|3<a≤1 或-1≤a<-2}. 1 2.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2.

π 2 (1)若 0<α<2,且 sin α= 2 ,求 f(α)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 2、(1)因为 0<α<2,sin α= 2 ,所以 cos α= 2 . 2? 2 2? 1 1 所以 f(α)= 2 ? + ?-2=2. 2? ?2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x-2 1+cos 2x 1 1 =2sin 2x+ -2 2 1 1 =2sin 2x+2cos 2x π? 2 ? = 2 sin?2x+4?, ? ? 2π 所以 T= 2 =π. π π π 3π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z,得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z. 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?

3、已知函数 y ? f ( x) ?

ln x 。 x
1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ?

(Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值; 3、解(1)? f ( x) 定义域为 ?0,?? ? 1 - lnx ? f / (x) ? x2 1 ? f ( ) ? ?e e 1 又 ? k ? f / ( ) ? 2e 2 e 1 ? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e (2)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

4分

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数

当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数
? f max ( x) ? f (e) ? 1 e

4.(12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围 4、 (1)由已知∵f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2) ∴对称轴为 x=1 又最小值为 1 设 f(x)=a(x-1)2+1 又 f(0)=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3 (2)要使 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则 2a<1<a+1 ∴0<a<1/2
[来源:Zxxk.Com]

5.(14 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和 为 Sn,且满足 4Sn=(an+ 1)2. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn an· an+1

解:(1)因为(an+1 )2=4Sn, ?an+1?2 ?an+1+1?2 所以 Sn= 4 ,Sn+1= . 4 ?an+1+1?2-?an+1?2 所以 Sn+1-Sn=an+1= , 4
2 即 4an+1=a2 n+1-an+2an+1-2an,

∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).(4 分) 因为 an+1+an≠0, 所以 an+1-an=2, 即{an}为公差等于 2 的等差数列. 由(a1+1)2=4a1,解得 a1=1, 所以 an=2n-1.(6 分)

(2)由(1)知 bn=

1 ? 1 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ?2n-1??2n+1? ? ?

∴Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 ? 1? =2?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1? ? ? 1 ? 1? =2?1-2n+1? ? ? 1 =2- 1 . 2?2n+1?

6.设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
1 ? ,都有 x ? f ( x ) ? g ( x ) 成立,试求实数 a 的 (Ⅱ)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 1 2 ? 3 , 2? ? ? 取值范围. 2 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? a3 ? 1 ? x ?32a , x x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; 当 a>0 时,若 x ? 2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 若 0 ? x ? 2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 所以,函数 f ( x) 在区间 (0, 2a ) 上单调递减,在区间 ( 2a , ??) 上 单调递增. ……………… ……………………
1 , 2? , (Ⅱ) g ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? 2 ) , x ? ? ? 3 ?3 ? ? 2 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 2 , 2 ? 单调递增, 可见,当 x ? ? ? ? ?3 ? ? ?3 ? ? 1 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递减, 当 x?? ?3 , 3? ? ?3 3? ? ? ? 1 , 2 ? 上的最大值是 1, 而 g ( 1 ) ? ? 83 ? g (2) ? 1 ,所以, g ( x) 在区间 ? ? 3 27 ?3 ? ? 1 , 2 ? 时, xf ( x) ? 1 恒成立, 依题意,只需当 x ? ? ? ?3 ? ?

4分

即 a ? x ln x ? 1 恒成立,亦即 a ? x ? x 2 ln x ; ……………………………… x
1 , 2 ?) , 令 h( x) ? x ? x 2 ln x ( x ? ? ? ? ?3 ?

8分

则 h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x ,显然 h?(1) ? 0 , 当 x ? ? 1 ,1 时, 1 ? x ? 0 , x ln x? 0 , h?( x) ? 0 , ? ?3 即 h( x) 在区间 ? 1 ,1 上单调递增; ? ?3 当 x ? ?1, 2? 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

?

?

?1, 2? 上单调递减;
所以,当 x=1 时,函数 h( x) 取得最大值 h(1) ? 1 , 故 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ?



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