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2013年全国初中数学竞赛试题及答案



2013 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分.每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个 选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填 或错填都得 0 分)
? ?a+2b+3c=0 ab+bc+ca 1.设非零实数 a,b,c,满足? 则 2 2 2 的值为( a +b +c ?2a+3b+4c=0 ?



1 (A)— 2

(B)0

1 (C) 2

(D)1

2.已知 a,b,c 是实常数,关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个非零实根 x1,x2,则下列关于 x 的 一元二次方程中,以 1 1 为两个实根的是( 2, x1 x22 )

(A)c2x2+(b2-2ac)x+a2=0 (C)c2x2+(b2-2ac)x—a2=0

(B)c2x2—(b2-2ac)x+a2=0 (D)c2x2—(b2-2ac)x—a2=0

3.如图,在 Rt△ABC 中,已知 O 是斜边 AB 的中点,CD⊥AB,垂足为 D,DE⊥OC,垂足为 E,若 AD, DB,CD 的长度都是有理数,则线段 OD,OE,DE,AC 的长度中,不一定 是有理数的为( ... (A)OD (B)OE (C)DE (D)AC )

4.如图,已知△ABC 的面积为 24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC=4CF,DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( (A)3 (B)4 (C)6 ) (D)8

5.对于任意实数 x,y,z,定义运算“*”为: x ? y =

3x3y+3x2y2+xy3+45 , (x+1)3+(y+1)3—60 ) 16389 (D) 967

(x ? y ) ? z ,则 2013 ? 2012 ? ? ? 3 ? 2 的值为( 且 x ? y ? z=
607 (A) 967 1821 (B) 967 5463 (C) 967

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分)
6.设 a= 3 3 ,b 是 a2 的小数部分,则(b+2)3 的值为____________. 7.如图,点 D,E 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的点,直线 BD 与 CE 交于点 F,已知△CDF,△BFE, △BCF 的面积分别为 3,4,5,则四边形 AEFD 的面积是____________.
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8.已知正整数 a,b,c 满足 a+b2—2c—2=0,3a2—8b+c=0,则 abc 的最大值为__________. 9.实数 a,b,c,d 满足:一元二次方程 x2+cx+d=0 的两根为 a,b,一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根为 c, d,则所有满足条件的数组(a,b,c,d)为___________________________________. 10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4 元,圆珠笔每支售 7 元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支,当天虽然笔没有卖完,但是他的销售收入恰好是 2013 元,则他至少卖出了__________支圆珠 A A 笔. C D E

E A O D (第 3 题) B B C (第 4 题) F B

E

D C

(第 7 题)

三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)
11. 如图, 抛物线 y=ax2+bx—3, 顶点为 E, 该抛物线与 x 轴交于 A, B 两点, 与 y 轴交于点 C, 且 OB=OC=3OA, 1 直线 y=— x2+1 与 y 轴交于点 D,求∠DBC-∠CBE. 3 y

D x A O B

C E 12.设△ABC 的外心,垂心分别为 O,H,若 B,C,H,O 共圆,对于所有的△ABC,求∠BAC 所有可能 的度数.

13.设 a,b,c 是素数,记 x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当 z2=y, x- y=2 时, a , b , c 能否构 成三角形的三边长?证明你的结论.

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14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为 m 的“魔术数” (例如, 把 86 放在 415 的左侧,得到的数 86415 能被 7 整除,所以称 86 为 415 的魔术数) .求正整数 n 的最 小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,?,an,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2,?,an 中 都至少有一个为 m 的魔术数.

2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1. 【答案】A

0故 ( a ? b ? c) 2 ? 0 . 于 是 【 解 答 】 由 已 知 得 a ? b ? c ?( 2 a ?3 b ?4 c) ? ( a ? 2 b ? 3 c) ?,
1 ab ? bc ? ca 1 ab ? bc ? ca ? ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ,所以 2 ?? . 2 2 2 a ?b ?c 2
2. 【答案】B
2 【解答】 由于 ax ? bx ? c ? 0 是关于 x 的一元二次方程, 则a ? 0. 因为 x1 ? x2 ? ?

b c ,x1 x2 ? , a a

且 x1 x2 ? 0 ,所以 c ? 0 ,且

1 1 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 b2 ? 2 a c 1 1 a2 , 2? 2 ? 2 , ? ? ? 2 2 x12 x2 x12 x2 c2 x1 x2 c

b2 ? 2ac a2 1 1 2 x? ? 0, 于是根据方程根与系数的关系,以 2 , 2 为两个实根的一元二次方程是 x ? c2 c x1 x2
即 c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 . 3. 【答案】D 【解答】因 AD,DB,CD 的长度都是有理数,所以,OA=OB= OC=

AD ? BD 是有理数.于是,OD=OA-AD 是有理数. 2

由 Rt△DOE∽Rt△COD,知 OE ?

DC · DO OD 2 , DE ? 都是有 OC OC

3 题) (第(第 3 题答题)

理数,而 AC=

AD· AB 不一定是有理数.

4. 【答案】C 【解答】因为 DCFE 是平行四边形,所以 DE//CF,且 EF//DC. 连接 CE,因为 DE//CF,即 DE//BF,所以 S△DEB = S△DEC, 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积. 连接 AF,因为 EF//CD,即 EF//AC,所以 S△ACE = S△ACF. 因为 BC ? 4CF ,所以 S△ABC = 4S△ACF.故阴影部分的面积为 6.
第 3 页 共 7 页

(第 题) (第 44 题答题)

5. 【答案】C 【解答】设 2013 ? 2012 ?? ? 4 ? m ,则

?2013? 2012 ??? 4? ? 3 ? m ? 3 ?

3m3 ? 3 ? 3m 2 ? 9 ? m ? 27 ? 45 ? 9, m3 ? 3m 2 ? 3m ? 1 ? 64 ? 60 3 ? 93 ? 2 ? 3 ? 92 ? 22 ? 9 ? 23 ? 45 5463 ? . 103 ? 33 ? 60 967

于是 ? 2013 ? 2012 ??? 3? ? 2 ? 9 ? 2 ?

二、填空题
6. 【答案】 9
2 【解答】由于 1 ? a ? 2 ? a ? 3 ,故 b ? a ? 2 ? 9 ? 2 ,因此 (b ? 2)3 ? ( 3 9)3 ? 9 .
2
3

7. 【答案】

204 13

【解答】如图,连接 AF,则有:

S?AEF ? 4 S?AEF ? S?BFE BF S?BCF 5 = ? ? ? , S?AFD S?AFD FD S?CDF 3 S?AFD ? 3 S?AFD ? S?CDF CF S?BCF 5 ? ? ? ? , S?AEF S?AEF FE S?BEF 4
108 96 , S?AFD ? . 13 13 204 所以,四边形 AEFD 的面积是 . 13
解得 S ?AEF ? 8. 【答案】 2013 【解答】由已知 a ? b ? 2c ? 2 ? 0 , 3a ? 8b ? c ? 0 消去 c,并整理得
2 2

(第 7 题答题)

? b ? 8?

2

? 6a 2 ? a ? 66 .由 a 为正整数及 6a 2 ? a ≤66,可得 1≤a≤3.
2

若 a ? 1 ,则 ? b ? 8 ? ? 59 ,无正整数解; 若 a ? 2 ,则 ? b ? 8 ? ? 40 ,无正整数解;
2

若 a ? 3 ,则 ? b ? 8 ? ? 9 ,于是可解得 b ? 11 , b ? 5 .
2

(i)若 b ? 11 ,则 c ? 61 ,从而可得 abc ? 3 ? 11 ? 61 ? 2013 ; (ii)若 b ? 5 ,则 c ? 13 ,从而可得 abc ? 3 ? 5 ? 13 ? 195 . 综上知 abc 的最大值为 2013 .

, ? 2,, 1 ? 2) , (t, 0, ? t, 0) ( t 为任意实数) 9. 【答案】 (1

第 4 页 共 7 页

? a ? b ? ?c, ? ? ab ? d, 【解答】由韦达定理得 ? ?c ? d ? ? a, ? ?cd ? b.
由上式,可知 b ? ?a ? c ? d . 若 b ? d ? 0 ,则 a ?

d b ? 1 , c ? ? 1 ,进而 b ? d ? ?a ? c ? ?2 . b d

若 b ? d ? 0 ,则 c ? ?a ,有 (a,,, . b c d ) ? (t,, 0 ? t, 0) ( t 为任意实数) 经检验,数组 (1, ? 2,, 1 ? 2) 与 (t, 0, ? t, 0) ( t 为任意实数)满足条件. 10. 【答案】207 【解答】设 x,y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则 ?

?4 x ? 7 y ? 2013, ? x ? y ? 350,

2013 ? 7 y y ?1 ? (503 ? 2 y ) ? , 4 4 y ?1 于是 是整数.又 2013 ? 4( x ? y ) ? 3 y ? 4 ? 350 ? 3 y , 4
所以 x ? 所以 y ? 204 ,故 y 的最小值为 207,此时 x ? 141 .

三、解答题
2 11.如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,

且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? 求∠DBC?∠CBE.

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D. 3 1 x ? 1 , y ? ax 2 ? bx ? 3 知,D(0, 3 1 x ? 1 过点 B. 3
(第 11 题)

【解答】将 x ? 0 分别代入 y ? ? 1),C(0, ?3 ),

所以 B(3,0),A( ?1 ,0).直线 y ? ?

将点 C(0, ?3 )的坐标代入 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,得 a ? 1 .

抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点为 E (1, ?4 ).于是由勾股定理得
2

BC= 3 2 ,CE= 2 ,BE= 2 5 . 因为 BC2+CE2=BE2,所以,△BCE 为直角三角形, ?BCE ? 90? .
(第 11 题答题)

OD 1 CE 1 ? ,则∠DBO= ?CBE . = .又 tan∠DBO= OB 3 CB 3 所以, ?DBC ? ?CBE ? ?DBC ? ?DBO ? ?OBC ? 45? .
因此 tan ?CBE =
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H, O 共圆,对于所有的△ ABC ,求 ?BAC 12.设△ ABC 的外心,垂心分别为 O,H ,若 B,C , 所有可能的度数. 【解答】分三种情况讨论. (i)若△ ABC 为锐角三角形. 因为 ?BHC ? 180? ? ?A,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ,可得 180? ? ?A ? 2?A ,于是 ?A ? 60? .

(第 12 题答题(i) )

(第 12 题答题(ii) )

(ii)若△ ABC 为钝角三角形. 当 ?A ? 90? 时,因为 ?BHC ? 180? ??A ,?BOC ? 2 ?180? ??A? , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3?180? ? ?A? ? 180? ,于是 ?A ? 120? 。 当 ?A ? 90? 时,不妨假设 ?B ? 90? ,因为 ?BHC ? ?A,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3?A ? 180? ,于是 ?A ? 60? . (iii)若△ ABC 为直角三角形. 当 ?A ? 90? 时,因为 O 为边 BC 的中点, B,C,H,O 不可能共圆, 所以 ? A 不可能等于 90 ? ; 当 ?A ? 90? 时,不妨假设 ?B ? 90? ,此时点 B 与 H 重合,于是总有 B,C,H,O 共圆,因此 ? A 可以是满足 0? ? ?A ? 90? 的所有角. 综上可得, ? A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120? . 13.设 a ,b ,c 是素数,记 x ? b ? c ? a,y ? c ? a ? b,z ? a ? b ? c ,当 z 2 ? y,

x ? y ? 2 时,

a , b , c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论.
【解答】不能.

1 1 1 ( y ? z ),b ? ( x ? z ),c ? ( x ? y ) . 2 2 2 1 1 2 z ( z ? 1) 2 因为 y ? z ,所以 a ? ( y ? z ) ? ( z ? z ) ? . 2 2 2 又由于 z 为整数, a 为素数,所以 z ? 2 或 ?3 , a ? 3 .
依题意,得 a ? 当 z ? 2 时, y ? z 2 ? 4,x ? ( y ? 2)2 ? 16 .进而, b ? 9 , c ? 10 ,与 b , c 是素数矛盾;

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当 z ? ?3 时, a ? b ? c ? 0 ,所以 a , b , c 不能构成三角形的三边长.

14. 如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧, 所得到的新数可被 7 整除, 那么称 M 为 m 的“魔术数” (例 如,把 86 放在 415 的左侧,得到的数 86415 能被 7 整除,所以称 86 为 415 的魔术数) .求正整数 n 的最 小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,…,an ,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2,…,an 中都 至少有一个为 m 的魔术数. 【解答】若 n≤6,取 m ? 1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有 a1,a2,…,an 中的一个正整 数 M 是 i,j (1 ≤ i < j ≤7 ) 的公共的魔术数,即 7|( 10 M ? i ),7|( 10M ? j ).则有 7|( j ? i ),但 0<

j ? i ≤6,矛盾.
故 n≥7. 又当 a1,a2,…,an 为 1, 2, ?, 7 时, 对任意一个正整数 m, 设其为 k 位数 ( k 为正整数) . 则 10 i ? m
k

( i ?1 ,, 2 ? , 7 ) 被 7 除 的 余 数 两 两 不 同 . 若 不 然 , 存 在 正 整 数 i , j (1 ≤ i < j ≤ 7 ) , 满 足 7|[( 10k j ? m) ? (10k i ? m)] ,即 7 |10k ( j ? i ) ,从而 7| ( j ? i ) ,矛盾. 故必存在一个正整数 i (1 ≤ i ≤7 ) ,使得 7|( 10k i ? m) ,即 i 为 m 的魔术数. 所以,n 的最小值为 7.

第 7 页 共 7 页



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