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高中数学配套课件:第1部分 第二章 2.1 2.1.2 第一课时 指数函数及其性质



理解 教材 新知 第 二 章 2.1 2.1.2 第 一 课 时

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应用创新演练

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某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,

这种物质剩留的质量是原来的84%.假设这种物质原来的
质量为1. 问题1:经过3年这种物质的质量是多少? 提示:0.843. 问题2:若经过x年后质量为y,则y与x的关系能用 等式表示吗? 提示:能,y=0.84x. 返回

问题3:质量y是经过年数x(x>0)的函数吗?

提示:是,符合函数的定义.
问题4:如果不考虑x,y的实际意义,x∈R时等 式y=0.84x是否表示y是x的函数?如果是,该函数有 何特点. 提示:是.底数是常数,指数是自变量.

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指数函数的定义 y=ax(a>0且a≠1) 叫做指数函数,其中x是 函数
自变量,函数的定义域为R.

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1x 问题 1: 试作出函数 y=2 (x∈R)和 y=(2) (x∈R)的图象.
x

提示:

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问题2:两函数图象有无交点?

提示:有交点,其坐标为(0,1).
问题3:两函数的定义域是什么?值域是什么?单 调性如何?
提示:定义域都是 R;值域都是(0,+∞);函数 y= 1x 2 是增函数,函数 y=(2) 是减函数.
x

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指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1




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a>1 定义域 性 值域

0<a<1

R (0,+∞)
过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 是R上的 减函数

质 过定点

单调性 是R上的 增函数

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指数函数的性质 (1)指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0, +∞),且f(0)=1. (2)当底数a>1时,指数函数y=ax在R上为增函数, 且x<0时,0<ax<1,x>0时,ax>1. (3)当底数0<a<1时,指数函数y=ax在R上为减函

数,且x>0时,0<ax<1,x<0时,ax>1.

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[例1] 给出下列函数:
①y=2·x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x. 3 其中,指数函数的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

[思路点拨]

根据指数函数的定义判断.

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[精解详析] 数函数;

①中,3x的系数是2,故①不是指

②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x, 故②不是指数函数;

③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且
只有3x一项,故③是指数函数;

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④中,y=x3的底为自变量,指数为常数,故④

不是指数函数.
⑤中,底数-2<0,不是指数函数,所以只有③ 是指数函数. [答案] B

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[一点通]

判断一个函数是否为指数函数,只

需判定其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一形式, 即底数a为不等于1的正常数,指数只能是x,且ax

的系数为1.

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1.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为______.
解析:∵函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, ?a2-3a+3=1, ?a=1或a=2, ? ? ∴?a>0, 解得?a>0, ∴a=2. ?a≠1 ?a≠1 ? ?

答案:2

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2.下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=( 2)x; (2)y=-4x; (3)y=xx; (4)y=xα (α 是常数).

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解:(1)y=( 2)x 符合定义,是指数函数; (2)y=-4x 中系数为-1 而非 1,不是指数函数; (3)y=xx 中底数和指数均是自变量 x,不符合指数函数的定义, 不是指数函数. (4)y=x 中底数是自变量,不是指数函数.
α

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[例 2]
? ? a∈? ? ?

如图,曲线 C1,C2,C3,

C 4 是 指 数 函 数 y = ax 的 图 象 , 而
? ? 2 1 , , 5,π ?,则图象 C1,C2, ? 3 3 ?

C3, 4 对应的函数的底数依次是______, C ______,________,________.

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[思路点拨]

函数y=ax的图象过点(1,a),可根

据各图象上横坐标为1的点的位置确定a的大小.

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[精解详析] 由 x=1 时 y=a, 可得指数函数图象变化的规 律:在 y 轴右侧,图高底大. 1 易知 C2 的底数<C1 的底数<1<C4 的底数<C3 的底数.又 3 2 < < 5<π , 3 故 C1,C2,C3,C4 对应函数的底数依次是 2 1 , ,π , 5. 3 3

[答案]

2 3

1 3

π

5

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[一点通] 1.指数函数的图象随底数变化的规律 (1)无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax

的图象都与直线x=1相交于点(1,a).由图象可知:在y轴
右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括为:在第 一象限内,图高则底大. 返回

2.指数函数图象问题的处理方法

(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定
点(0,1); (2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右 平移、上下平移); (3)利用函数的奇偶性与单调性.

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3.函数y=2-|x|的大致图象是

(

)

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?2-x ? -|x| 解析:y=2 =? x ?2 ?

x≥0, 画出图象即可. x<0.

答案:C

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4.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、 四象限,则一定有 ( )

A.0<a<1,且b>0
C.0<a<1,且b<0

B.a>1,且b>0
D.a<1,且b>0

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解析:根据题意画出函数y=ax+b- 1(a>0,且a≠1)的大致图象,如图所示,

所以0<a<1,且f(0)=1+b-1<0,即
0<a<1,且b<0. 答案:C

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[例 3]

(12 分)求下列函数的定义域和值域:
1 x-4

(1)y=2 ; ?2?-|x| (2)y=?3? ; ? ? (3)y=2
2 x-x 2

. 确保指数有意义, 可得其定义域, 再由

[思路点拨]

定义域确定值域.

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[精解详析]

(1)x 应满足 x-4≠0,∴x≠4. (2 分)

∴定义域为{x|x≠4,x∈R}.?
1 1 ∵x≠4,∴x-4≠0.∴ ≠0.∴2x-4≠1. x-4

∴y=2

1 x-4

的值域为{y|y>0,且 y≠1}.?

(4 分)

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(2)定义域为 R. ?
?2?-|x| ?3?|x| ?3?0 ∵|x|≥0,∴y=?3? =?2? ≥?2? =1. ? ? ? ? ? ?

(6 分)

∴值域为{y|y≥1}.? (3)定义域为 R.? ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴22x-x2≤2,即 y≤2. 故函数的值域为(0,2].?

(8 分) (10 分)

(12 分)

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[一点通] 函数y=af(x)的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)函数y=af(x)的值域的求法如下: ①换元,令t=f(x);

②求t=f(x)的定义域D;
③求t=f(x)的值域M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域. 返回

5.函数 y=

ax-1的定义域是(-∞,0],则实数

a 的取值范围为________.

解析:由题意知ax≥1的解集是(-∞,0],∴0<a<1. 答案:(0,1)

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6.函数

?1?x f(x)=?3? -1,x∈[-1,2]的值域为________. ? ?

1 ?1?x 解析:∵-1≤x≤2,∴9≤?3? ≤3. ? ? ? 8 ? 8 ?1?x ∴-9≤?3? -1≤2.∴值域为?-9,2?. ? ? ? ?
? 8 ? 答案:?-9,2? ? ?

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7.求下列函数的定义域和值域: (1)y= 1-2x;

1 (2)y=(3) 3-x.

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解:(1)由 1-2x≥0 得 2x≤1,∴x≤0. ∴y= 1-2x的定义域为(-∞,0].

由 0<2x≤1 得-1≤-2x<0, ∴0≤1-2x<1. ∴y= 1-2x的值域为[0,1).

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(2)由 3-x≥0 得 x≤3,即函数的定义域为(-∞,3]. 1 3? x 1 0 ∵ 3-x≥0,∴(3) ≤(3) =1. 1 3? x ∴y=(3) 的值域为(0,1].

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1.应用指数函数y=ax的单调性时,如果底数a大 小不确定,必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论. 2.当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增

速度越快.当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,
递减的速度越快.

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