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12.6-1双曲线的性质1学案(公开课)



高二数学学案:

12.6-1 双曲线的性质(1)
班级 姓名 .
学习目标: 1、通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的对称性、顶点、范围、渐近线等几何性 质。 2、了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念,以及它们的关系及其几何意义。 3、通过探究,明确双曲线性质的研究过程和研究方法,培养类比、分析、归纳、猜想、 概括、论证等逻辑思维能力。 学习重点:双曲线的简单几何性质。 学习难点:双曲线的渐近线 学习过程: 一、复习引入:
2 1. 双曲线 x 2 ? y ? 1 的焦点坐标是

4

, 双曲线上一点 P 到左焦

点距离为 3,那么 P 到右焦点的距离为 2.椭圆有哪些几何性质? 二、新课学习: (一)类比椭圆性质的研究,探究双曲线的性质: 以双曲线标准方程 x ? y ? 1 , (a ? 0,b ? 0) 为例. a2 b2 1、对称性: 【思考 1】 双曲线是不是轴对称图形?是不是中心对称图形? 如果是,请说出标准位置的双曲线的对称轴和对称中心。
2 2

y Q B2 A1 O B1

N M A2 x

2、顶点: 【思考 2】双曲线的顶点有几个?坐标是什么?

相关概念:⑴双曲线的实轴:

,实轴长

, 实半轴长

.

(2)取特殊点: B1 (0,-b), B2 ?0, b? 双曲线的虚轴: ,虚轴长
2 2

, 虚半轴长

.

(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,方程: x ? y ? m(m ? 0) 3、范围: 【思考 3】看图可知双曲线中 x 和 y 的范围是什么?
1

4、渐近线: 经过 A1、A2、B1、B2 作 x 轴、 y 轴的平行线 x ? ?a, y ? ?b ,围成一个矩形,其对角线所 在的直线方程为 . (1) 定义:如果有一条直线使得当曲线上的一点 M 沿曲线无限远离原点时,点 M 到 该直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线;
2 2 【思考 4】直线 y ? ? b x 与双曲线 x ? y ? 1 在无穷远处是否相交? 2 2

a

a

b

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程: a2 b2 y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程: a2 b2

练习一:⑴

x2 y2 ? ? 1 的渐近线为 4 3 y2 x2 ⑶ ? ? 1 的渐近线为 3 4

;⑵

x2 y2 ? ? 1 的渐近线为 2 2

【思考 5】⑴等轴双曲线的渐近线是什么? ⑵能否从双曲线的方程直接推出渐近线方程?

(二)例题分析 【例 1】 双曲线 顶点坐标

x2 y2 ? ? 1 的实轴长 25 16
渐近线方程

、 虚半轴长

、 焦点坐标



练习二:求下列双曲线的渐近线 (1)

x2 y2 ? ? 1; 100 64
2

(2)

y2 x2 ? ?1 16 25

小结:相同渐近线的双曲线方程

【例 2】 已知双曲线过点 P?4,3? ,它的一条渐近线的方程为 y ?

1 x, 求双曲线的标准方程; 2

练习二:双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,且焦距为 10,求双曲线的标准方程. 2

【例 3】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面。如图, 它的最小半径为 12 米,上口半径为 13 米,下口半径为 25 米,高为 55 米。选择适当的坐 标系,求此双曲线方程(精确到 0.1 米) 。

3

(三)小结: 标准方程

x2 y2 ? ?1 a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

图形

对称性 顶点 范围 性 质 渐近线 焦点 焦距 实轴长 虚轴长

对称轴:

对称中心:

2 2 b 注意:双曲线 x ? y ? 1 的渐近线是 y ? ? x ,但反过来此渐近线对应的双曲线则是 2 2 a a b

x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0 ). a2 b2
(四)课后作业: 课本 P60.1、2、3 练习册 12.6A.1——4,6

4



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