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2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I 第5讲 对数与对数函数


第 5 讲对数与对数函数
一、选择题 ?1? 1.已知实数 a=log45,b=? ?0,c=log30.4,则 a,b,c 的大小关系为( ?2? A.b<c<a C.c<a<b B.b<a<c D.c<b<a )

?1? 解析由题知,a=log45>1,b=? ?0=1,c=log30.4<0,故 c<b<a. ?2? 答案 D 2.设 f(x)=lg( A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析 2 +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ).

∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1.

∴f(x)=lg

x+1 x+1 ,由 f(x)<0 得,0< <1, 1-x 1-x

∴-1<x<0. 答案 A ). 3.若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 C.1<a<2 解析 B.0<a<2,a≠1 D.a≥2 4-a2 ,故要使 4

因为 y=x2-ax+1 是开口向上的二次函数,从而有最小值
2

4-a2 函数 y=loga(x -ax+1)有最小值,则 a>1,且 4 >0,得 1<a<2,故选 C. 答案 C

4.若函数 f(x)=loga(x+b) 的大致图象如图所示,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)= ax+b 的大致图象是
-1-

(

).

解析

由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1,0<b<1.则 g(x)=ax+b 的

图象由 y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B. 答案 B

a 5.若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2时, f(x1)-f(x2)>0,则实数 a 的取值范围为 A.(0,1)∪(1,3) C.(0,1)∪(1,2 3) 解析 B.(1,3) D.(1,2 3) ( ).

a “对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2时,f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数单

调递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于 g(x)=x2-ax a>1, ? ? a +3 在 x≤2时递减,从而? ?a? 由此得 a 的取值范围为(1,2 3).故选 D. g?2?>0. ? ? ? ? 答案 D ).

6.已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) 解析 B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

作出函数 f(x)=|lgx|的图象, 由 f(a)=f(b), 0<a<b 知 0<a<1<b, -lga=lgb,

2 2 ∴ab=1,∴a+2b=a+a,由函数 y=x+ x的单调性可知,当 0<x<1 时,函数 2 单调递减,∴a+2b=a+a>3.故选 C. 答案 C

二、填空题 1 ?1? 7. 对任意非零实数 a, b, 若 a?b 的运算原理如图所示, 则(log28)??3?-2=________. ? ? 解析 1 9 ?1?-2 ?3? =9, 框图的实质是分段函数, log28=-3, 由框图可以看出输出 ? ? -3

-2-

=-3. 答案 -3. ? ?1?? 则 g?g? ??=________. ? ?2??

x ?e ,x≤0, 8.设 g(x)=? ?ln x,x>0,

解析

g? ?=ln <0,

?1? ?2?

1 2

1 1 ? ?1?? ? 1? ∴g?g? ??=g?ln ?=eln2= . 2 ? ?2?? ? 2?

答案

1 2

9.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B,则实数 a 的取值范围是 (c,+∞),其中 c=________. 解析 答案 ∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A? B,∴a>4,∴c=4. 4

10.对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.在 实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[x]就是 x.这个函数[x]叫做“取整函数”, 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用. 那 么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=________. 解析
+1

当 1≤n≤2 时,[log3n]=0,当 3≤n<32 时,[log3n]=1,?,当 3k≤n<3k

时,[log3n]=k.

故[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=0×2+1×(32-3)+2×(33 -32)+3×(34-33)+4×(35-34)+5=857. 答案 857

三、解答题 1 11.已知函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x. (1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 解 1 (1)函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x 的定义域为 R.

-3-

1 - 又 f(-x)=log2(a2-3a+3) x 1 =-log2(a2-3a+3)x=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数. 1 (2)函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则 y=(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,知 a2-3a+3>1,解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 12. 若函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M.当 x∈M 时, 求 f(x)=2x+2-3×4x 的最 值及相应的 x 的值. 解

y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0,

解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3},

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2x=t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2. 2? 4 ? ∴f(t)=4t-3t2=-3?t- ?2+ (t>8 或 0<t<2). 3? 3 ? 由二次函数性质可知: 4? ? 当 0<t<2 时,f(t)∈?0, ?, 3? ? 当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 当 2x=t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 13.已知函数 f(x)=loga

x+b (a>0,b>0,a≠1). x-b

(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性;
-4-



(1)令

x+b >0, x-b

解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). (2)因 f(-x)=loga -x+b ?x+b?-1 ? =loga? -x-b ?x-b?

=-loga

x+b =-f(x), x-b

故 f(x)是奇函数. (3)令 u(x)=

x+b 2b ,则函数 u(x)=1+ 在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减 x-b x-b

函数,所以当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当 a >1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. x+1 14.已知函数 f(x)=loga ,(a>0,且 a≠1). x-1 (1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga (2)对于 x∈[2,4],f(x)=loga 解 (1)由 x+1 在定义域上是奇函数; x-1

x+1 m >loga 恒成立,求 m 的取值范围. x-1 ?x-1?2?7-x?

x+1 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1

∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga x+1 =-loga =-f(x), x-1 x+1 ∴f(x)=loga 在定义域上是奇函数. x-1 (2)由 x∈[2,4]时,f(x)=loga ①当 a>1 时, x+1 m ∴ > >0 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? x+1 m >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x? -x+1 x-1 ?x+1?-1 ? =loga =loga? -x-1 x+1 ?x-1?

-5-

∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4] 则 g(x)=-x3+7x2+x-7, ? 7? 52 g′(x)=-3x2+14x+1=-3?x-3?2+ 3 , ? ? ∴当 x∈[2,4]时,g′(x)>0. ∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15. ∴0<m<15. ②当 0<a<1 时,由 x∈[2,4]时, x+1 m f(x)=loga >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x? x+1 m ∴ < 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? ∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4], 由①可知 y=g(x)在区间[2,4]上是增函数, g(x)max=g(4)=45,∴m>45. ∴m 的取值范围是(0,15)∪(45,+∞).

-6-


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