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高二数学必修5数列测试题



高二数学必修 5 第二单元测试题 一.选择题: 1.在数列

?a ?中, a ? 1 3
n

1

,

a ? (?1) 2 a (n ? 2) ,则 a5 ? ( )
n n n ?1

A.

?

16 3

r />
B.

16 3
中 ,
1 4

C. ?

8 3
39 ,
2

D.

8 3
5 8

2. 在 等 差 数 列

?a ?
n

a ?a ?a ?
7

a ?a ?a ?
D. 21

33



a ? a ? a ?(
3 6 9

) B. 27 C. 24

A. 30

3.设 ?a n?是递增等差数列,前三项的和是 12,前三项的积为 48,则它的首项是 ( ) A. 1 4.在等差数列 A.1
n

B. 2

C. 4
9 15 17

D. 6

?a ?中,若 a ? a ? a ? a
3

? 8 ,则 a11
C.2

?(

) D.-2

B.-1

5. 等差数列前 10 项和为 100,前 100 项和为 10。则前 110 项的和为 A.-90 B.90 C.-110 D.10
5n ? 3 ,则这两个数列的第 9 项之比 2n ? 1

6.两个等差数列,它们的前 n 项和之比为

是( ) 5 8 8 7 A. B. C. D. 3 5 3 4 7. 设等比数列{an}中,每项均为正数,且 a3·a8=81,log3a1+log3a2+…+log3a10 等于 A.5 B.10 C.20 D.40 8.已知等比数列的公比为 2,若前 4 项之和为 1,则前 8 项之和为( A.15 B.17 C.19
*

)

D.21

9. 等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.设直角三角形 a、b、c 三边成等比数列,公比为 q, 则 q 的值为( A.2 B.
2

)

5 ?1 2
1

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

11.若数列 1, 2cos? , 22 cos2 ? , 23 cos3 ? ,??, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为( A. k? ?



?
3

(k ? Z )

B. 2k? ?

?
3

( k ? Z ) C. 2k? ?

2? (k ? Z ) 3

D.以上的答案均

不对 12.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 A.等差数列 B.等比数列 C.非等差数列也非等比数列 是等比数列 二. 填空题: 13.在等差数列 ? n?中, a3 、 a10 a 则 a5 ? a8 是方程 x
2

D.既是等差数列也

? 3x ? 5 ? 0 的两根,

?

.
1 n ? n ?1

14. 已知数列 ? n?的通项公式 an ? a 为 .

,若它的前 n 项和为 10,则项数 n

15.小于 200 的自然数中被 7 除余 3 的所有的数的和是______________. 16. 在数列{an}中,a1=1,an+1=
2a n 2 (n∈N*) ,则 是这个数列的第______项. an ? 2 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 8 分)若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项, 问它们有多少相同的项?

18. (本小题满分 10 分)在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项 和最大.

19. (本小题满分 12 分)数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小 值.

2

20. (本小题满分 12 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动, 甲第一分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

21.本小题满分 12 分) ( 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 an+2Sn·n S
-1

=0(n≥2) a1= 1 .1)求证:{ ,
2

1 Sn

}是等差数列;

(2) an 表达式; 若 bn=2 求 (3) (1-n) (n≥2) 求证: 22+b32+… an , b +bn2<1.

3

参考答案: 1—12、BBBCC、CCBCD、CA 13、3 14、120 15、2929 16、6
17.考查等差数列通项及灵活应用. 【解】设这两个数列分别为{an}、{bn},则 an=3n+2,bn=4n-1, 令 ak=bm,则 3k+2=4m-1. ∴3k=3(m-1)+m,∴m 被 3 整除. 设 m=3p(p∈N*) ,则 k=4p-1. ∵k、m∈[1,100] . 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴它们共有 25 个相同的项. 18.考查等差数列的前 n 项和公式的应用. 解:∵S9=S17,a1=25,∴9×25+ 解得 d=-2,∴Sn=25n+

9 ? (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17×25+ d 2 2

n(n ? 1) (-2)=-(n-13)2+169. 2

由二次函数性质,故前 13 项和最大. 注:本题还有多种解法.这里仅再列一种.由 d=-2,数列 an 为递减数列. an=25+(n-1) (-2)≥0,即 n≤13.5. ∴数列前 13 项和最大. 19.考查数列通项及二次函数性质. 解: (1)由 an 为负数,得 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,故 n=2 或 3,即数列有 2 项为负数,分别是第 2 项和第 3 项. (2)∵an=n2-5n+4=(n-

5 2 9 5 ) - ,∴对称轴为 n= =2.5 2 4 2

又∵n∈N*,故当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,最小值为 22-5×2+4=-2. 20.考查等差数列求和及分析解决问题的能力. 解: (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意得 2n+

n(n ? 1) +5n=70 2

整理得:n2+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去) ∴第 1 次相遇在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有:2n+

n(n ? 1) +5n=3×70 2

整理得:n2+13n-6×70=0,解得:n=15 或 n=-28(舍去) 第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟. 21.考查数列求和及分析解决问题的能力. 解: (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2)

4

Sn≠0,∴

1 1 1 1 1 - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S 1 a1 Sn 1 1 =2+(n-1)2=2n,∴Sn= Sn 2n 1 2n( n ? 1)

(2)由(1)

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-

?1 (n ? 1) ?2 1 ? n=1 时,a1=S1= ,∴an= ? 1 2 ?(n ? 2) ? 2n(n - 1) ?
(3)由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴b22+b32+…+bn2=

1 n

1 1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ 2 (n ? 1)n n 1? 2 2 ? 3 2 3

=(1-

1 1 1 1 1 1 )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n n ?1 n

5



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