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2016年新课标Ⅱ文数高考试题(含答案)



2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题

卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的。

2,, 3} B ? {x | x2 ? 9} ,则 A ? B ? (1)已知集合 A ? {1,
? 1,, 0 1, 2} ? 1,, 0 1,, 2 3} (B) { ? 2, (A) { ? 2,

2 3} (C) {1,,

2} (D) {1,

(2)设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z = (A) ?1? 2i (B) 1 ? 2i (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i (3) 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A) 12 ? (B)

32 ? (C) ?? (D) ?? 3

(5) 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=

k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k= x

(A)

1 3 (B)1 (C) (D)2 2 2

(6) 圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a= (A)?

4 3 (B)? (C) 3 (D)2 3 4

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来 到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为学.科网 (A)

7 5 3 3 (B) (C) (D) 10 8 8 10

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程 序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D) y ?

1 x

(11) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4(B)5

π ? x) 的最大值为 2

(C)6 (D)7

(12) 已知函数 f(x( ) x∈R) 满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为 (x1,y1) , (x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0

?x =
i ?1 i

m

(B)m

(C) 2m

(D) 4m

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. (13) 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________.

?x ? y ?1 ? 0 ? (14) 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=x-2y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ?
(15)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? 则 b=____________. (16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 学.科网甲,乙,丙三人各取走一张 卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片 上的数字是________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 (I)求{ an }的通项公式; (II)设

4 5 , cos C ? ,a=1, 5 13

bn =[ an ],求数列{ bn }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2

(18)(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度 的保费与其上年度出险次数的关联如下:学科.网

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(I)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值.

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, 点 E、 F 分别在 AD, CD 上, AE=CF, EF 交 BD 于点 H,将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置. (I)证明: AC ? HD ' ; (II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) . (I)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (II)若当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知 A 是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点,斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 4 3

在 E 上, MA ? NA . (I)当 AM ? AN 时,求 ? AMN 的面积 (II)当 2 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在正方形 ABCD 中,E, G 分别在边 DA, DC 上(不与端点重合) , 且 DE=DG, 过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6) + y = 25 .

(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
ì ? ? x = t cos α, t l 与 C 交于 A, B 两点,AB = 10 , (Ⅱ) 直线 l 的参数方程是 í ( 为参数) , ? ? ? y = t sin α,

求 l 的斜率. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x (Ⅰ)求 M;
1 1 + x + ,M 为不等式 f ( x) < 2 的解集.学科.网 2 2

(Ⅱ)证明:当 a,b ? M 时, a + b < 1 + ab .

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案
第Ⅰ卷

一. 选择题
(1) 【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C (2) 【答案】C (6) 【答案】A (10) 【答案】D (3) 【答案】A (7) 【答案】C (11)【答案】B (4) 【答案】A (8) 【答案】B (12) 【答案】B

二.填空题
(13)【答案】 ?6 和3 (14)【答案】 ?5 (15) 【答案】

21 13

( 16 ) 【答案】 1

三、解答题
(17)(本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) an ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的性质求 a1 , d ,从而求得 an ; (Ⅱ)根据已知条件求 bn , 再求数列 ?bn ? 的前 10 项和. 试题解析:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,学.科网由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得

2n ? 3 ; (Ⅱ)24. 5

a1 ? 1, d ?

2 , 5 2n ? 3 . 5

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 当 n=1,2,3 时, 1 ?

? 2n ? 3 ? , ? 5 ? ?

2n ? 3 ? 2, bn ? 1; 5 2n ? 3 ? 3, bn ? 2 ; 当 n=4,5 时, 2 ? 5

2n ? 3 ? 4, bn ? 3 ; 5 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 , 当 n=9,10 时, 4 ? 5
当 n=6,7,8 时, 3 ? 所以数列 ?bn ? 的前 10 项和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 . 考点:等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】 (18)(本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ)由

60 ? 50 30 ? 30 求 P(A)的估计值; (Ⅱ)由 求 P(B)的估计值; (III)根据 200 200

平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析: 试题解析:(Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数 小于 2 的频率为

60 ? 50 ? 0.55 , 200

故 P(A)的估计值为 0.55. (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,学.科网一年内 出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为: 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05

30 ? 30 ? 0.3 , 200

调查 200 名续保人的平均保费为

0.85a ? 0.30 ? a ? 0.25 ? 1.25a ? 0.15 ? 1.5a ? 0.15 ? 1.75a ? 0.30 ? 2a ? 0.10 ? 1.1925a ,
因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a. 考点:样本的频率、平均值的计算. 【结束】 (19) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

69 . 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 证 AC / / EF . 再证 AC / / HD?. (Ⅱ) 证明 OD? ? OH . 再证 OD? ? 平面 ABC. 最后呢五棱锥 D '? ABCEF 体积. 试题解析: (I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. . (II)由 EF / / AC 得

OH AE 1 ? ? . DO AD 4

由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ? 所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3.

AB2 ? AO2 ? 4.

于是 OD? ? OH ? (2 2) ? 1 ? 9 ? D?H , 故 OD? ? OH .
2 2 2 2 2

由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H , 所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC.

EF DH 9 ? 得 EF ? . AC DO 2 1 1 9 69 . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? 2 2 2 4
又由 所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ?

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】 (20) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 2 x ? y ? 2 ? 0. ; (Ⅱ) ? ??, 2?. . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求定义域,再求 f ?( x ) , f ?(1) , f (1) ,由直线方程得点斜式可求曲线

y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ) 构造新函数 g ( x) ? ln x ?
学.科网对实数 a 分类讨论,用导数法求解.

a ( x ? 1) , x ?1

试题解析: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .当 a ? 4 时,

f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 4( x ? 1), f ?( x) ? ln x ?
在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0.

1 ? 3 , f ?(1) ? ?2, f (1) ? 0. 曲线 y ? f ( x) x

(II)当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 等价于 ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ? 0. x ?1

a ( x ? 1) ,则 x ?1

g ?( x) ?

1 2a x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? ? , g (1) ? 0 , x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
2 2

( i)当 a ? 2 , x ? (1, ??) 时, x ? 2(1 ? a) x ? 1 ? x ? 2x ? 1 ? 0 ,故 g ?( x) ? 0, g ( x ) 在

x ? (1, ??) 上单调递增,因此 g ( x) ? 0 ;
(ii)当 a ? 2 时,令 g ?( x) ? 0 得

x1 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1, x2 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ,
由 x2 ? 1 和 x1 x2 ? 1 得 x1 ? 1 , 故当 x ? (1, x2 ) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 在 x ? (1, x2 ) 单调递减, 学.科网因此 g ( x) ? 0 . 综上, a 的取值范围是 ? ??, 2?. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】 (21) (本小题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求直线 AM 的方程,再求点 M 的纵坐标,最后求 ?AMN 的面积; (Ⅱ) 设 M ? x1 , y1 ? , ,将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 y ,用 k 表示 x1 ,从而表 示 | AM | ,同理用 k 表示 | AN | ,再由 2 AM ? AN 求 k . 试题解析: (Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 .

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .

?

由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 将 x ? y ? 2 代入 解得 y ? 0 或 y ?

? , 4

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 4 3

12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
(2)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 12 1 ? k 2 2 x ? 得 ,故 . | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
1 12k 1 ? k 2 ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2

由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? 由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k 3 2 ? ,即 4k ? 6k ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 , 所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 证 ?DGF ? ?CBF , 再 证 B, C , G, F 四点共圆; (Ⅱ)证明

1 . 2

Rt ?BCG ? Rt ?BFG, 四边形 BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍.
试题解析: (I)因为 DF ? EC ,所以 ?DEF ? ?CDF , 则有 ?GDF ? ?DEF ? ?FCB,

DF DE DG ? ? , CF CD CB

所以 ?DGF ? ?CBF , 由此可得 ?DGF ? ?CBF , 由此 ?CGF ? ?CBF ? 180 , 所以 B, C , G, F 四点共圆.
0

(II)由 B, C , G, F 四点共圆, CG ? CB 知 FG ? FB ,连结 GB , 由 G 为 Rt ?DFC 斜边 CD 的中点,知 GF ? GC ,故 Rt ?BCG ? Rt ?BFG, 因此四边形 BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍,即

1 1 1 S ? 2S?GCB ? 2 ? ? ? 1 ? . 2 2 2

考点:三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【答案】 (Ⅰ) ? ? 12? cos? ? 11 ? 0 ; (Ⅱ) ?
2

15 . 3

【解析】 试题分析: (I)利用 ? ? x ? y , x ? ? cos ? 可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 l 的
2 2 2

参数方程化为普通方程,学.科网再利用弦长公式可得 l 的斜率. 试题解析: (I)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得 C 的极坐标方程 ? ? 12? cos? ? 11 ? 0.
2

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R)

由 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144 cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【答案】 (Ⅰ) M ? {x | ?1 ? x ? 1} ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (I)先去掉绝对值,再分 x ? ?

1 1 1 1 , ? ? x ? 和 x ? 三种情况解不等式,即 2 2 2 2

b ? ? 时,a ? b ? 1? ab . 可得 ? ; (II) 采用平方作差法, 再进行因式分解, 进而可证当 a ,

1 ? ? ?2 x , x ? ? 2 , ? 1 ? 1 试题解析: (I) f ( x ) ? ?1, ? ? x ? , 2 ? 2 1 ? ? 2 x, x ? 2 . ?
当x??

1 时,由 f ( x) ? 2 得 ?2 x ? 2, 解得 x ? ?1 ; 2

当?

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? 2 ; 2 2 1 时,学.科网由 f ( x) ? 2 得 2 x ? 2, 解得 x ? 1 . 2

当x?

所以 f ( x) ? 2 的解集 M ? {x | ?1 ? x ? 1} .

(II)由(I)知,当 a, b ? M 时, ?1 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而

(a ? b)2 ? (1 ? ab)2 ? a2 ? b2 ? a2b2 ?1 ? (a2 ?1)(1 ? b2 ) ? 0 ,
因此 | a ? b |?|1 ? ab | . 考点:绝对值不等式,不等式的证明.



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