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年高中数学 第1章1.1.1正弦定理和余弦定理 正弦定理知能优化训练



【优化方案】 2014 年高中数学 第 1 章 1.1.1 正弦定理和余弦定理 正 弦定理知能优化训练 新人教 A 版必修 5
1.在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则( ) A.B=45°或 135° B.B=135° C.B=45° D.以上答案都不对 2 解析:选 C.sin B= ,∵a>b,∴B=45°. 2 2.△ABC 的内角 A,B,C

的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 6 2 1 解析:选 D.由正弦定理 = ? sin C= , sin 120° sin C 2 于是 C=30°? A=30°? a=c= 2. 1 3.在△ABC 中,若 tan A= ,C=150°,BC=1,则 AB=__________. 3 1 解析:在△ABC 中,若 tan A= ,C=150°, 3 1 ∴A 为锐角,sin A= ,BC=1, 10 则根据正弦定理知 AB= 答案: 10 2

BC·sin C 10 = . sin A 2

4.已知△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,交对边 BC 于 D,求证: =

BD AB . DC AC

证明:如图所示,设∠ADB=θ , 则∠ADC=π -θ . 在△ABD 中,由正弦定理得:

BD
sin

A sin 2 BD = ,即 = ;① A sin θ AB sin θ AB
2

在△ACD 中, = A sin? π -θ ? sin 2

CD

AC



A sin 2 CD ∴ = .② AC sin θ
1

BD CD , AB AC BD AB ∴ = . DC AC
由①②得 = 一、选择题 1.在△ABC 中,a=5,b=3,C=120°,则 sin A∶sin B 的值是( 5 3 A. B. 3 5 3 5 C. D. 7 7 sin A a 5 解析:选 A.根据正弦定理得 = = . sin B b 3 sin A cos C 2.在△ABC 中,若 = ,则 C 的值为( )

)

a

c

A.30° C.60°

B.45° D.90°

sin A cos C sin A a 解析:选 B.∵ = ,∴ = , a c cos C c a sin A 又由正弦定理 = . c sin C ∴cos C=sin C,即 C=45°,故选 B. 3.(2010 年高考湖北卷)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=( 2 2 2 2 A.- B. 3 3 C.- 6 3 D. 6 3

)

15 10 解析:选 D.由正弦定理得 = , sin 60° sin B 3 10× 2 10·sin 60° 3 ∴sin B= = = . 15 15 3 ∵a>b,A=60°,∴B 为锐角. 3 2 6 ? = . 3 3 4.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ∴cos B= 1-sin B=
2

1-?

解析:选 B.由题意有 =b= ,则 sin B=1,即角 B 为直角,故△ABC 是直角 sin A sin B 三角形. π 5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= ,a= 3,b=1,则 c 3 =( ) A.1 B.2 C. 3-1 D. 3

a

b

2

a b 3 1 解析:选 B.由正弦定理 = ,可得 = , sin A sin B π sin B sin 3 1 ∴sin B= ,故 B=30°或 150°. 2 由 a>b,得 A>B,∴B=30°. 故 C=90°,由勾股定理得 c=2. 6.(2011 年天津质检)在△ABC 中,如果 A=60°,c=4,a=4,则此三角形有( A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解 解析:选 B.因 csin A=2 3<4,且 a=c,故有唯一解. 二、填空题 7.在△ABC 中,已知 BC= 5,sin C=2sin A,则 AB=________. sin C 解析:AB= BC=2BC=2 5. sin A
答案:2 5 8.在△ABC 中,B=30°,C=120°,则 a∶b∶c=________. 解析:A=180°-30°-120°=30°, 由正弦定理得: a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 3. 答案:1∶1∶ 3

)

2π 9.(2010 年高考北京卷)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3

3 1 解析:由正弦定理,有 = , 2π sin B sin 3 1 ∴sin B= .∵∠C 为钝角, 2 π ∴∠B 必为锐角,∴∠B= , 6 π ∴∠A= . 6 ∴a=b=1. 答案:1 三、解答题 10.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,且 a+b+c=30,求 a. 解:∵sin A∶sin B∶sin C= ∶ ∶ =a∶b∶c, 2R 2R 2R 4 ∴a∶b∶c=4∶5∶6.∴a=30× =8. 15 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的三边分别为 a,b,c.已知 a=5,b=2,B=120°, 解此三角形. 3 5× 2 5 3 a b asin B 解:法一:根据正弦定理 = ,得 sin A= = = >1.所以 A sin A sin B b 2 4
3

a

b

c

不存在,即此三角形无解. 法二:因为 a=5,b=2,B=120°,所以 A>B=120°.所以 A+B>240°,这与 A+B +C=180°矛盾.所以此三角形无解. 5 3 法三: 因为 a=5, b=2, B=120°, 所以 asin B=5sin 120°= , 所以 b<asin B. 又 2 因为若三角形存在,则 bsin A=asin B,得 b>asin B,所以此三角形无解. π π 12.在△ABC 中,acos( -A)=bcos( -B),判断△ABC 的形状. 2 2 π π 解:法一:∵acos( -A)=bcos( -B), 2 2 ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a· =b· , 2R 2R 2 2 ∴a =b ,∴a=b,∴△ABC 为等腰三角形. π π 法二:∵acos( -A)=bcos( -B), 2 2 ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得: 2 2 2Rsin A=2Rsin B,即 sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π 不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形.

a

b

4



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