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【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:导数的应用(二)



2015 届高三数学(理)提升演练:导数的应用(二)
一、选择题 3 2 3 1.若函数 f(x)=x - x +1,则 f(x)( 2 1 A.最大值为 1,最小值 2 B.最大值为 1,无最小值 1 C.最小值为 ,无最大值 2 D.既无最大值,又无最小值 π 2.函数 f(x)=ex sin x 在区间[0, ]上的值域为( 2
? ?

/>)

)

A.[0,e 2 ]
?

B.(0,e 2 )
?

C.[0,e 2 ) 3.若函数 f(x)= A. 3 3

D.(0,e 2 ]

x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为( x2 +a 3
B. 3 D. 3-1

)

C. 3+1

1 4. 已知 y=f(x)是奇函数, 当 x∈(0,2)时, f(x)=lnx-ax(a> ), 当 x∈(-2,0)时, f(x) 2 的最小值为 1,则 a 的值等于( A. C. 1 4 1 2 ) 1 B. 3 D.1 )

5.球的直径为 d,其内接正四棱柱体积 V 最大时的高为( A. 2 d 2 3 d 3 B. 3 d 2 2 d 3

C.

D.

6.设动直线 x=m 与函数 f(x)=x3 、g(x)=lnx 的图象分别交于点

M、

N,则|MN|的最小值为(

)

-1-

1 A. (1+ln3) 3 C.1+ln3 二、填空题

1 B. ln3 3 D.ln3-1

7.函数 f(x) =-x +mx +1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值,则 m 的取值范围是 ________. 8.用一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的 地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形.(如 图所示),则围墙的最大面积是________.(围墙厚度不计). 9.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价为 p 元,销量 Q(单位: 件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2 ,则该商品零售价定为________ 元时利润最大,利润的最大值为________. 三、解答题 10.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x2 +1)(x+a).若 f′(-1)=0,求函数 y=f(x)在 3 [- ,1]上的最大值和最小值. 2

3

2

1 1 11.设 f(x)=- x3 + x2 +2ax. 3 2 2 (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 3

f(x)在该区间上的最大值.

12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 80π 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的 3
-2-

建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平 方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

详解答案 一、选择题 1.解析:f′(x)=3x2 -3x,易知 f(x)在(-∞,0)上递增,在(0,1) 上递减,在(1,+ ∞)上递增,且当 x→+∞时,f(x)→+∞,当 x→-∞时,f(x)→-∞,因此 f(x)无最大值 也无最小值. 答案:D 2.解析:f′(x)=e (sin x+cos x).∵x∈[0, ∴f(x)在[0,
x

π ],∴f′(x)>0. 2

π ]上为增函数,∴f(x)min =f(0)=0, 2
?

π f(x)max =f( )=e 2 . 2 答案:A 3.解析:f′(x)=

x2 +a-2x2 a-x2 = x2 +a 2 x2 +a

2



当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x= a时,令 f(x)=

a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2

1 3 ∴f(x)max =f(1)= = , 1+a 3

a= 3-1.
答案:D 4.解析:由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= ,

x

a

-3-

1 当 0<x< 时,f′ (x)>0.

a

1 1 当 x> 时,f′(x)<0,∴f(x)max =f( )=-lna-1=-1.

a

a

∴a=1. 答案:D 5. 解析: 设正四棱柱的高为 h, 底面边长为 x, 如图是其组合体的轴截面图形, 则 AB= 2

x,BD=d,AD=h,
∵AB2 +AD2 =BD2 , ∴2x +h =d . ∴x =
2 2 2 2

d2 -h2
2

.

又 V=x2 ·h= 1 2 3 = (d h-h ), 2

d2 -h2 h
2

1 2 3 2 ∴V′(h)= d - h , 2 2 令 V′(h)=0,得 h= 答案:C 1 6.解析:由题意知|MN|=|x3 -lnx|,设 h(x)=x3 -lnx,h′(x)=3x2 - ,令 h′(x)=0, 3 3 d 或 h=- d(舍去). 3 3

x

得 x=

3 1 3 1 1 1 1 1 1 , 易知当 x= 时, h(x)取得最小值, h(x)min = - ln = (1-ln )>0, 故|MN|min 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 = (1-ln )= (1+ln3). 3 3 3 答案:A 二、填空题 7.解析:f′(x)=-3x2 +2mx=x(-3x+2m). 2m 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x= . 3 ∵x∈(0,2),∴0< 答案:(0,3) 8. 解析:设矩形的宽为 x,则矩形的长为 200-4x. 则面积 S=x(200-4x)=-4x2 +200x,
-4-

2m <2,∴0<m<3. 3

S′=-8x+200,令 S′=0,得 x=25,故当 x=25 时,S 取得最大值为 2 500(m2 ).
答案:2 500 m
2

9.解析:设商场销售该商品所获利润为 y 元,则

y=(p-20)Q=(p-20)(8 300-170p-p2 )
=-p -150p +11 700p-166 000(p≥20), ∴y′=-3p -300p+11 700. 令 y′=0 得 p +100p-3900=0, ∴p=30 或 p=-130(舍去). 则 p,y,y′变化关系如下表:
2 2 3 2

p y′ y

(20,30) +

30 0 极大值

(30,+∞) -

∴当 p=30 时,y 取极大值为 23 000 元. 又 y=-p -150p +11 700p-166 000 在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值. ∴该商品零售价定为每件 30 元,所获利润最大为 23 000 元. 答案:30 23 000
3 2

三、解答题 10.解:∵f′(-1)=0, ∴3-2a+1=0,即 a=2. 1 ∴f′(x)=3x2 +4x+1=3(x+ )(x+1). 3 1 由 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>- ; 3 1 由 f′(x)<0,得-1<x<- . 3 3 3 1 因此,函数 f(x)在[- ,1]上的单调递增区间为[- ,-1],[- ,1], 2 2 3 1 单调递减区间为[-1,- ]. 3 ∴f(x)在 x=-1 处取得极大值为 f(-1)=2;

f(x)在 x=- 处取得极小值为 f(- )= .
3 13 50 13 又∵f(- )= ,f(1)=6,且 > , 2 8 27 8 3 3 13 ∴f(x)在[- ,1]上的最大值为 f(1)=6,最小值为 f(- )= . 2 2 8

1 3

1 3

50 27

-5-

1 1 11.解:(1)由 f′(x)=-x2 +x+2a=-(x- )2 + +2a, 2 4 2 2 2 2 1 当 x∈[ ,+∞)时,f′(x)的最大值为 f′( )= +2a;令 +2a>0,得 a>- . 3 3 9 9 9 1 2 所以,当 a>- 时,f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间. 9 3 1- 1+8a (2)令 f′(x)=0,得两根 x1 = , 2

x2 =

1+ 1+8a . 2

所以 f(x)在(-∞,x1 ),(x2 ,+∞)上单调递减, 在(x1 ,x2 )上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1 <1<x2 <4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2 ),又 f(4)-f(1) = - 27 +6a<0, 2

即 f(4)<f(1). 40 16 所以 f(x)在[1, 4]上的最小值为 f(4)=8a- =- . 3 3 10 得 a=1,x2 =2,从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 12.解:(1)设容器的容积为 V, 4 由题意知 V=π r2 l+ π r3 , 3 又 V= 80π , 3

V- π r3
故 l=

4 3 80 4 4 20 = 2 - r= ( 2 -r). 2 πr 3r 3 3 r

由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 所以建造费用 y=2π rl×3+4π r2 c 4 20 2 =2π r× ( 2 -r)×3+4π r c. 3 r 160π 2 因此 y=4π (c-2)r + ,0<r≤2.

r

(2)由(1)得 y′=8π (c-2)r-

160π

r2

-6-





c- r2

(r3 -

20 ),0<r≤2. c-2

由于 c>3,所以 c-2>0, 当 r3 - 3 令 3 20 20 =0 时,r= . c-2 c-2 20 =m,则 m>0, c-2 8π

所以 y′=

c- r2

(r-m)(r2 +rm+m2 ).

9 (1)当 0<m<2,即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0;当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 (2)当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2

-7-



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