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浙江省绍兴市诸暨市草塔中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高一(上)期中数 学试卷
一、选择题: 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=( A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7}

)

2.化简 A.a B.

的结果是( C.a2

/>
) D.

3.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=﹣x B.f(x)=|x|C.f(x)=x﹣|x| D.f(x)=x﹣1 4.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( A. (﹣ ,0) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , ) )

5.若函数

则 f(log43)=(

)

A.

B.3

C.

D.4

6.设 <( )b<( )a<1,则(

) D.0<a<b<1 )

A.a<b<0 B.b>a>1 C.0<b<a<1

7.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1 D.y=2﹣|x|

8.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x,则当 x<0 时,f(x) ) 的解析式是( A.f(x)=﹣x(x+2) B.f(x)=x(x﹣2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) D.f(x)=x x+2 ( ) 9.已知 y=loga(2﹣ax)是[0,1]上的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) )

10.某商品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2﹣11x+3000,若每 ) 台产品的售价为 25 万元,则生产者的利润取最大值时,产量 x 等于( A.55 台B.120 台 C.150 台 D.180 台

二、填空题 11.幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2,4) ,则 f(﹣3)的值是__________.

12.函数 f(x)=

的值域为__________.

13.函数 f(x)=( )

的单调增区间为__________.

14.已知

=__________.

15.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0,则 不等式 xf(x)<0 的解集为__________. 16.下列几个命题: ①方程 x2+(a﹣3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0; ②函数 y= + 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f(x)的值域是[﹣2,2],则函数 f(x+1)的值域为[﹣3,1]; ④一条曲线 y=|3﹣x2|和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1. 其中正确的有__________.

三.解答题 17.已知函数 (1)求集合 A; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 18.计算下列各式的值: (1) ; 的定义域为集合 A,B={x|x<a}

(2)



19.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+4 在区间(1,2)上有且只有一个零点,求 a 的取值范围.

20.已知函数 的值.

(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且 f(3)<f(5) .求 m

21.设函数 f(x)=log2(4x)?log2(2x) ,



(1)若 t=log2x,求 t 取值范围; (2)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值.

22.已知函数 f(x)=

,函数 f(x)为奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明. (3)若解不等式 f(x+2)+f(x﹣3)<0.

2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高一(上) 期中数学试卷
一、选择题: 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=( A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7} 【考点】补集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由全集 U,以及 A,求出 A 的补集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, ∴?UA={1,3,6,7}, 故选 C

)

【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

2.化简 A.a B.

的结果是( C.a2

) D.

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】变根式为分数指数幂,由内向外逐次脱掉根式. 【解答】解: .

故选 B. 【点评】本题考查有理指数幂的化简求值,解答的关键是化根式为分数指数幂,是基础题. 3.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=﹣x B.f(x)=|x|C.f(x)=x﹣|x| D.f(x)=x﹣1 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别代入验证即可得出. 【解答】解:A.若 f(x)=﹣x,则 f(2x)=﹣2x=2f(x) ,满足 f(2x)=2f(x) ; B.若 f(x)=|x|,则 f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x) ,满足已知条件; C.若 f(x)=x﹣|x|,则 f(2x)=2x﹣|2x|=2(x﹣|x|)=2f(x) ,满足已知条件; D.若 f(x)=x﹣1,则 f(2x)=2x﹣1≠2(x﹣1)=2f(x) ,不满足 f(2x)=2f(x) . D f 2x =2f x 综上可知:只有 不满足 ( ) ( ) . 故选 D. 【点评】本题考查了函数解析式的求法与意义,属于基础题. 4.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( )

A. (﹣ ,0)

B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】分别计算出 f(0) 、f(1) 、f( ) 、f( )的值,判断它们的正负,再结合函数零 点存在性定理,可以得出答案. 【解答】解:∵f(0)=e0﹣3=﹣2<0 f(1)=e1+4﹣3>0 ∴根所在的区间 x0∈(0,1)排除 A 选项 又∵ ∴根所在的区间 x0∈(0, ) ,排除 D 选项 最后计算出 得出选项 C 符合; 故选 C. 【点评】e=2.71828…是一个无理数,本题计算中要用到 要求. 等的值,对计算有一定的 , ,

5.若函数

则 f(log43)=(

)

A.

B.3

C.

D.4

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 【分析】先判断 log43 的范围,0<log43<1,故代入 x∈[0,1]时的解析式,转化为对数恒等 式形式. 【解答】解:∵0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3 故选 B 【点评】本题考查分段函数的求值、对数恒等式等知识,属基本题型、基本运算的考查. 6.设 <( )b<( )a<1,则(

) D.0<a<b<1

A.a<b<0 B.b>a>1 C.0<b<a<1

【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数底数 a 的大小与单调性的关系去判断. 【解答】解:因为 y= 又 是单调递减函数, ,

= <( )b<( )a<1=

∴0<a<b<1. 故选:D 【点评】本题考查指数函数的图象和性质,重点考查函数的单调性与底数 a 的对应关系.a >1,指数函数递增,0<a<1,指数函数递减. 7.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1 D.y=2﹣|x| )

【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】常规题型. 【分析】首先由函数的奇偶性排除选项 A,然后根据区间(0,+∞)上 y=|x|+1=x+1、y=﹣ x2+1、y=2﹣|x|= 的单调性易于选出正确答案.

【解答】解:因为 y=x3 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数, 所以选项 A 错误; 又因为 y=﹣x2+1、y=2﹣|x|= 在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

上为增函数, 所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 8.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x,则当 x<0 时,f(x) ) 的解析式是( A.f(x)=﹣x(x+2) B.f(x)=x(x﹣2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) D.f(x)=x (x+2) 【考点】奇函数. 【专题】转化思想. 【分析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取 x<0 则﹣x>0,代入当 x≥0 时,f (x)=x2﹣2x,求出 f(﹣x) ,再根据奇函数的性质得出 f(﹣x)=﹣f(x)两者代换即可得 x 0 f x 到 < 时, ( )的解析式 【解答】解:任取 x<0 则﹣x>0, ∵x≥0 时,f(x)=x2﹣2x, ∴f(﹣x)=x2+2x,① 又函数 y=f(x)在 R 上为奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x)② 由①②得 x<0 时,f(x)=﹣x(x+2) 故选 A 【点评】本题考查奇函数的性质,考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式,这是函数 奇偶性的一个重要应用,做对此类题的关键是正确理解定义及本题的做题格式. 9.已知 y=loga(2﹣ax)是[0,1]上的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 【考点】对数函数的单调区间. 【专题】函数的性质及应用. )

【分析】本题必须保证:①使 loga(2﹣ax)有意义,即 a>0 且 a≠1,2﹣ax>0.②使 loga (2﹣ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函数可分解为 y=logau,u=2﹣ax,其中 u=2 ﹣ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=loga(2﹣ax)定义域的子集. 【解答】解:∵f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是 x 的减函数, ∴f(0)>f(1) , 即 loga2>loga(2﹣a) . ∴ ,

∴1<a<2. 故答案为:B. 【点评】本题综合了多个知识点,需要概念清楚,推理正确. (1)复合函数的单调性; (2) 函数定义域,对数真数大于零,底数大于 0,不等于 1.本题难度不大,属于基础题. 10.某商品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2﹣11x+3000,若每 ) 台产品的售价为 25 万元,则生产者的利润取最大值时,产量 x 等于( A.55 台B.120 台 C.150 台 D.180 台 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知中某商品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2﹣ 11x+3000,每台产品的售价为 25 万元,可由利润=销售收入﹣成本得到利润的表达式,进 而根据二次函数的图象和性质得到答案. 【解答】解:当产量为 x 台时, 产品的销售收入为 25x 万元 由商品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=0.1x2﹣11x+3000 得 生产者的利润 f(x)=25x﹣(0.1x2﹣11x+3000)=﹣0.1x2+36x﹣3000 由二次函数的图象和性质可得当 x= =180 台时生产者的利润取最大值

故选 D 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 其中根据已知得到利润的表达式是解 答的关键. 二、填空题 11.幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2,4) ,则 f(﹣3)的值是 9. 【考点】幂函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知条件推导出幂函数 f(x)=x2,由此能求出 f(﹣3)=(﹣3)2=9. 【解答】解:∵幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2,4) , α ∴2 =4,解得 α=2, ∴幂函数 f(x)=x2, ∴f(﹣3)=(﹣3)2=9. 故答案为:9. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意幂函数的性质的灵活运用.

12.函数 f(x)=

的值域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) .

【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】化简函数 f(x)= 求解. 【解答】解:∵函数 f(x)= ∴函数 f(x)= =﹣1+ , , =﹣1+ ,利用函数 y= 的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)

∵函数 y= 的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ∴函数 y= ∴函数 f(x)= 的值域为: =﹣1+ 的值域: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) ,

故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) . 【点评】本题考查了函数的性质,运用求解分式函数的值域问题.

13.函数 f(x)=( )

的单调增区间为(﹣∞,1].

【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 【解答】解:设 t=x2﹣2x+1,则函数等价为 y=( )t,则函数 y=( )t,为减函数, 要求函数 f(x)的单调增区间,则根据复合函数单调性之间的关系,则只需要求出函数 t=x2 ﹣2x+1 的单调减区间即可, ∵t=x2﹣2x+1 的单调递减区间为(﹣∞,1], ∴函数 f(x)=( ) 的单调增区间为(﹣∞,1],

故答案为: (﹣∞,1]. 【点评】 本题主要考查函数单调性的判断, 根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关 键.

14.已知 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题.

=1.

【分析】首先分析题目已知 2x=5y=10,求 出来代入

的值,故考虑到把 x 和 y 用对数的形式表达

,再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案.

【解答】解:因为 2x=5y=10, 故 x=log210,y=log510 =1 故答案为:1. 【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考 中以选择填空的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握. 15.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0,则 不等式 xf(x)<0 的解集为(﹣2,0)∪(0,2) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】易判断 f(x)在(﹣∞,0)上的单调性及 f(x)图象所过特殊点,作出 f(x)的 草图,根据图象可解不等式. 【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 由 f(2)=0,得 f(﹣2)=﹣f(2)=0, 即 f(﹣2)=0, 由 f(﹣0)=﹣f(0) ,得 f(0)=0, f x 作出 ( )的草图,如图所示: 由图象,得 xf(x)<0? 或 ,

解得 0<x<2 或﹣2<x<0, ∴xf(x)<0 的解集为: (﹣2,0)∪(0,2) , 故答案为: (﹣2,0)∪(0,2)

【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草 图是解题关键. 16.下列几个命题: ①方程 x2+(a﹣3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0; ②函数 y= + 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f(x)的值域是[﹣2,2],则函数 f(x+1)的值域为[﹣3,1];

④一条曲线 y=|3﹣x2|和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1. 其中正确的有①④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】解:对各项依次加以判断:利用一元二次方程根与系数的关系,得到命题①正确; 通过化简,得函数 y= + =0,定义域为{0},函数是一个既奇又偶函数,得

到②错误;通过函数图象的平移,得到函数 f(x+1)的值域与函数 f(x)的值域相同,都 是[﹣2,2],得到③错误;通过分析函数 y=|3﹣x2|的奇偶性,可得曲线 y=|3﹣x2|和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 2 个、3 个或 4 个,得到④正确. 【解答】解:对于①,方程 x2+(a﹣3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根, 由一元二次方程根与系数关系,得 x1x2=a<0,故①正确; 对于②,函数的定义域为{x|0≤x2≤0}={0} ∴定义域中只有一个元素 0,并且 f(0)=0, 说明函数是既奇又偶函数,故②错; 对于③,函数 f(x+1)的图象可看作是由函数 f(x)的图象向左平移一个单位而得, 因此函数 f(x+1)的值域与函数 f(x)的值域相同,都是[﹣2,2],故③错; 对于④,对于曲线 y=|3﹣x2|,设函数 F(x)=|3﹣x2| 因为 F(x)满足 F(﹣x)=F(x)成立,所以函数 F(x)是偶函数 当 x≠0 时,若 F(x)=a 成立, 必有互为相反数的 x 值(至少两个 x)都适合方程, 又∵F(0)=F(± )=3,a=3 时,F(x)=a 的根除 0 外还有± ,共 3 个根 ∴方程 F(x)=a 的根的个数是 2 个或 2 个以上,不可能是 1 个, 原命题“曲线 y=|3﹣x2|和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1.”成立, 故④正确. 故答案为:①④ 【点评】本题通过研究函数的定义域、值域、奇偶性和函数的零点等问题,考查了命题真假 的判断与应用,属于中档题. 三.解答题 17.已知函数 (1)求集合 A; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】 (1)被开方数大于等于 0,分式的分母不为 0,可求出集合 A. (2)由 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 【解答】 (本题 13 分) 解: (1)∵ ∴﹣2<x≤3∴A={x|﹣2<x≤3} 的定义域为集合 A,B={x|x<a}

(2)∵B={x|x<a},A={x|﹣2<x≤3} 又 A?B

∴a∈(3,+∞) 【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法,以及并集及运算和子集的概念,属于基础 题. 18.计算下列各式的值: (1) ;

(2)



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 【解答】解: (1)原式=3+1+ (2)原式=2+2+ +3= . =6.

【点评】本题考查了指数幂与对数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 19.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+4 在区间(1,2)上有且只有一个零点,求 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】分类讨论;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】若函数 f(x)=x2﹣2ax+4 只有一个零点,则△ =0,经检验不符合条件;则函数 f (x)=x2﹣2ax+4 有两个零点,进而 f(1)?f(2)<0,解得答案. 【解答】解:若函数 f(x)=x2﹣2ax+4 只有一个零点, 则△ =4a2﹣16=0,解得:a=±2, 此时函数的零点为±2 不在区间(1,2)上, 即函数 f(x)=x2﹣2ax+4 有两个零点, 则 f(1)?f(2)<0,即(5﹣2a) (8﹣4a)<0, 解得:a∈(2, ) 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质, 是解答的关键.

20.已知函数 的值. 【考点】幂函数的性质. 【专题】函数的性质及应用.

(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且 f(3)<f(5) .求 m

【分析】由幂函数 得幂函数

(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且 f(3)<f(5) .可 (m∈Z)的在(0,+∞)上为增函数,且为偶函数,结合幂

函数的图象和性质,可得 m 的值. 【解答】解:∵幂函数 (5) . 故幂函数 (m∈Z)的在(0,+∞)上为增函数,且为偶函数, (m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且 f(3)<f

即﹣2m2+m+3>0,解得:m∈(﹣1, ) ,即 m=0,或 m=1, ∵m=0 时,函数 m=1 时,函数 =x3 为奇函数不满足条件, =x2 为偶函数满足条件,

故 m=1. 【点评】 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质, 熟练掌握幂函数的单调性和奇偶性与指 数的关系,是解答的关键.

21.设函数 f(x)=log2(4x)?log2(2x) ,



(1)若 t=log2x,求 t 取值范围; (2)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】 (1)由对数函数的单调性,结合 ,我们易确定出 t=log2x 的最大值和最小

值,进而得到 t 取值范围; (2)由已知中 f(x)=log2(4x)?log2(2x) ,根据(1)的结论,我们可以使用换元法,将 问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题,根据二次函数的性质易得答案. 【解答】解: (1)∵ ∴ 即﹣2≤t≤2

(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2∴令 t=log2x,则, ∴ 当 t=2 即 x=4 时,f(x)max=12

时,

【点评】 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用, 二次函数在定区间上的最 值问题,熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键.

22.已知函数 f(x)=

,函数 f(x)为奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明. (3)若解不等式 f(x+2)+f(x﹣3)<0. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据题意和奇函数的结论:f(0)=0 列出方程求出 a 的值; (2)先判断出函数的单调性,再用定义证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,利用作差判断 f (x2)与 f(x1)的大小,根据单调性的定义可作出判断; (3)利用函数的奇偶性将不等式 f(x+2)+f(x﹣3)<0 转化为 f(x+2)<﹣f(x﹣3)=f (3﹣x) ,然后利用单调性求不等式的解集. 【解答】解: (1)由题意得,奇函数 f(x)的定义域是 R, ∴f(0)= =0,解得 a=1,

(2)由(1)得,



f(x)在定义域上是单调增函数,证明如下: 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)= ﹣

=

=



∵x1<x2,且 ∴ ,



, , ,

∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) , ∴f(x)为 R 上的单调增函数; (3) )∵f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数,且为奇函数, ∴原不等式 f(x+2)+f(x﹣3)<0 等价为 f(x+2)<﹣f(x﹣3)=f(3﹣x) , ∴x+2<3﹣x,解得 x 即不等式的解集是{x|x }.

【点评】本题考查函数奇偶性的应用,利用定义法证明函数的单调性,以及函数单调性和奇 偶性的综合应用,利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键.



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