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(新课标)高考数学考点专练(17)推理与证明(含答案)


推理与证明
2 ' 4 ' 3 ' 1. 观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足

f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =(
(A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x)

) (D) ? g ( x)

【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识,考查了考生的观察问题,分析问题,解决问题的能力. 【思路点拨】观察所给的结论,通过归纳类比联想,得出结论. 【规范解答】选 D.通过观察所给的结论可知,若 f ( x ) 是偶函数,则其导函数 g ( x) 是奇函数,故选 D.
3 3 3 3 2 2.观察下列等式: 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,??根据上述规律,第五个等式为

3

3

2

3

3

3

2

____________. 【命题立意】本题考查归纳推理,属送分题. 【思路点拨】找出等式两边底数的 规律是解题的关键. 【规范解答】由所给等式可得:等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下:

1 ? 2 ? 3,1 ? 2 ? 3 ? 6,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10, 即 左 边 底 数 的 和 等 于 右 边 的 底 数 , 故 第 五 个 等 式 为 :

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6)2 ? 212.
【答案】 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21 .
3 3 3 3 3 3 2

3.观察下列等式:

可以推测,m – n + p = . 【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解. 【思路点拨】根据归纳推理可得.

? m ? 1280 ? 1120 ? n ? p ? 1 ? 1 , ? m ? n ? p ? 162 , 【规范解答】 观察得: 式子中所有项的系数和为 1,
又 p ? 10 ? 5 ? 50, m ? 2 ? 512 ,? n ? ?400 ,? m ? n ? p ? 962 .
9

【答案】962

1 1 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) n ? (3x ? ) n 2 n 2 3 ? a0 ? a1x ? a2 x ????? an x , 4.设



ak (0 ? k ? n)

的最小值记为

Tn ,则

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中

Tn =__________________ . Tn 的奇数项与偶数项的特点.

【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识,熟练掌握相关的推理规则是关键. 【思路点拨】观察

1 1 T3 ? 3 ? 3 T T ? 0, T ? 0 T ? 0 2 3 , 4 【规范解答】观察 n 表达式的特点可以看出 2 ,??? 当 n 为偶数时, n ;

T5 ?

1 1 1 1 ? 5 Tn ? n ? n 5 2 3 ,??? 当 n 为奇数时, 2 3 .

【答案】 5. 已 知 集 合

Sn ? {X X ? ( x1 , x2 ,?, xn ), xi ?{0,1}, i ? 1,2,?, n}(n ? 2)
定义 A 与 B 的差为

,对于

A ? (a1 , a2 ,..., an ) ,

AB ?B (|1a ? ? |,… ? b|);|); A? ?? (| a ? |,| a2a ? |, | a| a ?b 1b 1 |,| 2b 2… 1b 2b ,n n n n

A 与 B 之间的距离为

d ( A, B) ? ? ai ? bi
i ?1

n

.

(1)当 n=5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) . (2)证明:

?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) . ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数.

(3) 证明:

【命题立意】本题属于创新题,考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的,对学生的“学习能力” 提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习,更加注重学生“学习能力” “创新能力”的培养. 【思路点拨】 (1) (2)直接按定义求解证明即可.(3) “至少”问题可采用反证法证明. 【规范解答】 (1)

A ? B ? ( 0 ?1 , 1 ?1 , 0 ?1 , 0 ? 0 , 1 ? 0 )
=3.

=(1,0,1,0,1) ,

d ( A, B) ? 0 ?1 ? 1 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0
(2)设

A ? (a1, a2 , ???, an ), B ? (b1, b2 , ???, bn ), C ? (c1, c2 , ???, cn ) ? Sn ,

所以

bi ? ai (i ? 1,2, ???, n)

中 1 的个数为 k,

ci ? ai (i ? 1,2, ???, n)

中 1 的个数为 l ,

设 t 是使

bi ? ai ? ci ? ai ? 1

成立 的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t ,

由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数. 6.已知集合 对于

Sn ? {X X ? ( x1 , x2 ,?, xn ), xi ?{0,1}, i ? 1,2,?, n}(n ? 2)
定义 A 与 B 的差为
n



A ? (a1 , a2 ,..., an ) ,
d ( A, B) ? ? ai ? bi
i ?1

A 与 B 之间的距离为 (1)证明:

.

?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) .

(2 )证明: (3) 设 P

?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一 个是偶数.

? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P).

mn 证明: d (P)≤ 2( m ? 1) .
【命题立意】本题属于创新题,考查了学生运用新知识的能力,考查了反证法、不等式证明等知识.本题 情景是全新的,对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习,更加注重 学生“学习能力” “创新能力”的培养. 【思路点拨】 (1)直接按定义证明即可. (2 ) “至少”问题可采用反证法证明.(3)把 A, B?P 来,再利用基本不等式证明. 【规范解答】 (1)设 因为 从而

? d ( A, B)

表示出

A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn ,

ai , bi ??0,1? ,所以 | ai ? bi |??0,1? (i ? 1, 2,..., n) ,
A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn ,
n



d ( A ? C , B ? C ) ? ? || ai ? ci |? | bi ? ci ||
i ?1

,

由题意知 当

ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) .

ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| ai ? bi | ;


ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi | ,
n

所以 (2)设

d ( A ? C , B ? C ) ? ? | ai ? bi | ? d ( A, B)
i ?1

.

A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn ,

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .


O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(1)可知,
A ? ) ,k d ( A, C ) ? d (O, C ? A) ? l ,
A ) ?, h

d ( A, B) ? d ( O, ? B
d ( B, C ) ? d( B ?
所以

A , C ?

| bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 l . | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t ,

设 t 是使

由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数.

d ( P) ?
(3)

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B)

,其中

A, B?P

? d ( A, B)
t

表示 P 中所有两个元素间距离的总和,

设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 i 个 1,

m ? ti 个 0,

则 A, B?P

? d ( A, B) ? t (m ? t )

i ?1 i i

n

,

m2 ? (i ? 1, 2,..., n) t (m ? ti ) 4 由于 i ,

所以 A, B?P

? d ( A, B) ? nm

2

4 ,
2

1 d ( P) ? 2 Cm 从而

nm mn d ( A, B) ? ? ? 2 4Cm 2(m ? 1) . A, B?P

【方法技巧】 (1)证明“至少有一个??”时,一般采用反证法. (2)证明不等式时要多观察形式,适当变形转化为基本不等式. 7.已知△ABC 的三边长都是有理数, 求证:cosA 是有理数. (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数. 【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问 题的能力. 【思路点拨】 (1)利用余弦定理表示 cosA,由三边 a , b, c 是有理数,求得结论. (2)可利用数学归纳 法证明. 【规范解答】方法一 : (1)设三边长分别为 a , b, c ,

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc ,∵ a , b, c 是有理数,

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数,分母 2bc 为有理数,又有理数集对于除法具有封闭性,

b2 ? c2 ? a 2 2bc ∴ 必为有理数,∴cosA 是有理数.
(2)①当 n ? 1 时,显 然 cosA 是有理数;
2 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数.

②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数,

当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] 2 , 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A 2 2 ,
解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A , ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数, 即当 n ? k ? 1 时,结论成立. 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数. 方法二: (1)由 AB,BC,AC 为有理数及余弦定理知,

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC 是有理数.

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数, ①当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数.
2

②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数. 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
由①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数, 即当 n ? k ? 1 时,结论成立. 综合①、②可知,对任意正整数 n,cos nA 是有理数.


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