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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征精品学案



用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、学习目标 (1)了解众数、中位数、平均数并会求一组数据的平均数. (2)理解方差、标准差的概念并会求方差、标准差. (3)会用方差、标准差估计总体的数字特征. (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 二、重点难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差. 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题. 考点:平均数、标

准差、众数、中位数等基本概念主要以填空题的形式考查,并 与概率相联系,难度很小. 三、新课探究 【知识导引】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗? 【自学导拨】 一、众数、中位数、平均数 1.众数:一组数据中重复出现次数 最多 的数称为这组数的众数. 2. 中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数称为这组数 据的中位数. (1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大的顺序排列的 中间 的那个数. (2)当数据个数为偶数时,中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数. 3. 平均数:如果有 n 个数 x1 , x2 , x3 ,

xn ,那么 x ?

x1 ? x2 ? .....? xn 叫这 n 个数的平 n

均数. 4.实际问题中求得的众数、中位数、平均数应带上单位. 二、标准差、方差 1.数据的离散程度可用极差、方差、标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小.一般地,设样本的数据为 x1 , x2 , x3 ,
2

xn ,样本的平均数为 x ,则定义

s ? , s 表示方差. 2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根 , s 表示样本标准差.不要漏写单位. s= 三、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢? 众数:最高矩形的中点. 中位数:左右两边直方图的面积相等. 平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
2

四、精例讲解 题型一 众数?中位数?平均数的应用
-1-

例 1:某工厂人员及工资构成如下: 人员 经理 管理人员 高级技工 周工资 人数 2 200 1 250 6 220 5

工人 200 10

学徒 100 1

合计

23

合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900 (1)指出这个问题中的众数?中位数?平均数; (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?

【反思】 :在用平均数估计总体的时候,样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小, 因此在实际操作中,一定要注意个别极端值对平均数的影响. 变式训练 1: 在一次歌手大奖赛中,6 位评委现场给每位歌手打分,然后去掉一个最高分和 一个最低分,其余分数的平均数作为该歌手的成绩,已知 6 位评委给某位歌手的打分是: 9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5.求这位歌手的得分及 6 位评委评分的众数和中位数.

题型二 频率条形图的绘制 例 2:为了估计某人的射击技术状况,在他的训练记录中抽取了 50 次进行检验,他命中环 数如下: 7 8 6 8 6 5 9 10 7 9 5 6 5 6 7 8 7 9 10 9 8 5 7 8 7 6 8 6 7 7 9 6 5 8 6 9 6 8 10 7 8 7 8 6 9 8 7 10 8 9 (1)作出频率分布表;(2)画出频率分布条形图; (3)估计该人命中 6~8 环的百分比是多少.

变式训练 2:在一小时内统计一传呼台接收到用户的呼唤次数,按每分钟统计如下: 0 0 1 2 1 2 2 3 4 1 0 1 2 5 3 1 2 2 2 4 2 4 3 1 1 3 2 3 4 6 1 2 0 2 3 1 3 1 4 1 1 2 0 2 3 4 2 5 0 2 1 1 0 3 2 1 3 1 2 0
-2-

写出一分钟内传呼呼唤次数的频率分布表,并画出频率分布条形图. 题型三 平均数?方差的应用 例 3:对划艇运动员甲?乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们最大速度(m/s) 数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀.

变式训练 3:从甲?乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位;cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?

【反思】 :一组数据的方差,刻画了这组数据的波动大小(即各数据偏离平均数的大小, 也称离散性、差异性) .方差越大,说明这组数据的波动越大,即这组数据越分散;方差 越小,说明这组数据越集中. 题型四 中位数?平均数的应用 例 4:高一(2)班有男生 27 名,女生 21 名,在一次物理测试中,男生的平均分 82 分,中位数 是 75 分,女生的平均分是 80 分,中位数是 80 分. (1)求这次测试全班平均分(精确到 0.01). (2)估计全班成绩在 80 分以下(含 80 分)的学生至少有多少? (3)分析男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么?

变式训练 4:某高校有甲?乙两个数学兴趣班,其中甲班 40 人,乙班 50 人,现分析两个班的 一次考试成绩,算得甲班的平均成绩为 90 分,乙班的平均成绩为 81 分,则该校数学兴趣班
-3-

的平均成绩是________分. 五、课堂检测 1.已知一组数据为 20?30?40?50?50?60?70?80,其中平均数?中位数和众数的大小关系是 A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据中位数为 5,那么数 据中的众数为( ) A.5 B.6 C.4 D.5.5 3.一组数据的标准差为 s,将这组数据每一个数据都扩大到原来的 2 倍,所得到的一组数 据的方差是( ) A. B.4s2 C.2s2 D.s2 1 2 2 2 4.在样本方差的计算公式 s2= 10 [(x1-20) +(x2-20) +…+(x10-20) ]中,数字 10 和 20 分别 表示样本的( ) A.容量?方差 B.平均数?容量 C.容量?平均数 D.标准差?平均数 5.将一组数据同时减去 3.1,得到一组新数据,若原数据的平均数?方差分别为 x s ,则新 数据的平均数是________,方差是________,标准差是________.
2

6.若 40 个数据的平方和是 56,平均数是

2 , 则这组数据的方差是____,标准差是_____. 2
M =________. N

7.期末考试后,班长算出了全班 40 个人的数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成一个同学 的分数与原来的 40 个分数一起算出这 41 个分数的平均值 N,那么

8.(2009·江苏)某校甲?乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每 人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 乙班 6 6 7 7 7 6
2

8 7

7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =___________. 六、能力提升 1.某人 5 次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数 为 10,方差为 2,则|x-y|的值是( ) A.1 B.2 B.3 D.4 2. 甲 ? 乙 两 名 战 士 在 相 同 条 件 下 各 射 靶 10 次 , 每 次 命 中 的 环 数 分 别 是 : 甲 :8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙 :6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1) 分别计算以上两组数据的平 均数;(2)分别求出两组数据的方差;(3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况. 七、品位高考 1.(2010·山东文 ) 在某项体育比赛中 , 七位裁判为一选手打出的分数如下 :90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 12.(2010·江苏卷)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维 的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分 布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有________根在棉花纤维的长度小于 20 mm. (图 见课件)
-4-



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