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海南省琼海市嘉积中学2014届高三上学期教学质量监测(段考) 数学(文) Word版含答案


2013-2014 学年度第一学期高中教学质量监测(段考)

高三年级数学科试题(文科)
(时间:120 分钟,满分:150 分)
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩! 一、选择题: (本大题共有 12 道小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? x x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 , B ? ?x x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ?x x ? 6? B. ?x ? 2 ? x ? 2? C. ?x ? 6 ? x ? 2? )

?

?

) D. ?x x ? 2?

? 2.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ) ? 1 ,则下列命题正确的是( 2
A. f ( x) 是最小正周期为 1 的奇函数 C. f ( x) 是最小正周期为 2 的奇函数 3.满足 cos? cos ? ?

B. f ( x) 是最小正周期为 1 的偶函数 D. f ( x) 是最小正周期为 2 的偶函数 )

3 ? sin ? sin ? 的一组 ? 、 ? 的值是( 2

?? A.

?
3

,? ?

?
4

?? B.

?
2

,? ?

?
3

? ?? C.

?
3

,? ?

?
6

?? D.

?
3

,? ?

?
6

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 4.设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 则目标函数 g ? y ? 2 x 的最小值是( ?y ? 3 ? 0 ?



B.-4 C.1 D.2 x?2 ? a 在(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是( 5.设函数 f ( x) ? log 3 x A. (0, log3 2) B. (log3 2,1) C. (?1,? log3 2)

A.-7



D. (1, log3 4) )

6.若向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) 且 (k a ? b) ∥ (a ? 3b) 则实数 k=( A. ?

1 1 11 B.-2 C. D. 9 3 3 7.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60? ,B=75? ,C=10,则 b= ( )

A. 5 ? 5 3

B. 5 ? 5 2

C. 10 3

D. 10 2 )

8. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? cos x , 设 a ? f (?0.5), b ? f (0), c ? f (0.6) 其大小关系为 (

A.a ? c ? b

B.b ? c ? a

C.b ? a ? c

D.a ? b ? c

9.在△OAB 中(O 为坐标原点) , OA ? (2cos ? , 2sin ? ) , OB ? (5 cos ? ,5 sin ? ) ,若

OA ? OB =-5,则△OAB 的面积为(
A.

) C. 5 3 D.

3 2

B. 3

5 3 2

10.下列命题中错误的是( ) A.命题“若 p 则 q”与命题“若?q 则?p”互为逆否命题 B.命题 p : ?x ??0,1?, ex ? 1 ,命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 , p ? q 为真 C. “若 am2 ? bm2 ” ,则 a ? b 的逆命题为真命题 D.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 11.若点 P 是函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距 离为( A. 2 ) B.

2 2

C.

1 2

D.3 ) D.0

12.关于 x 的方程 2cos x ? sin x 在区间 [0,2? ] 上解的个数为( A.4 B.2 C.1

第 II 卷 二、填空题(本大题共有 4 道小题,每小题 5 分) 13. 函数 f ( x) ? x n ?3n n ? Z 且在 (0,??) 上,f ( x) 是减函数, 则 n= 14. 若 f ( x) ? xe? x 在 x ? x0 处的切线与 x 轴平行, 则此切线方程是
2

. .

15 .设△ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a,b,c 若△ABC 的面积 sin A ?( ) S ? a 2 ? (b ? c) 2 ,则 1 ? cos A C 16.如图直角三角形 ABC 中, CA ? CB , AB ? 3 ,点 E1F 分别在 CA、E CB 上,EF∥AB, AE ? 2 ,则 AF ? BE =
F

A

B

三、解答题
x x x 1 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? 2 2 2 2

(I)求 f ( x) 的单调减区间 ( II ) 在 锐 角 △ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a,b,c 且 满 足
(2b ? a) cosc ? c ? cos A ,求 f ( A) 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3ab (I)求 sin 2
A? B 的值. 2 (II)若 C=2,求△ABC 面积的最大值.

19. (本题满分 12 分) 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品, (生产条件为 1 ? x ? 10 ) ,每一 3 小时可获得利润是 100 (5 x ? 1 ? ) 元. x (I)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围. (II)要使生产 90 千克该产品获得的利润最大,甲厂应选取何种生产速度?并求 此最大利润.

20. (本题满分 12 分)
3 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 6 x ? 1, f ?(?1) ? 0, f ?(2) ? 0 2

(I)求函数 f ( x) 的解析式. (II)对于 ?x1 、 x2 ?[0,3] ,求证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 10

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 (I)当 b=3 时,函数在 (t , t ? 3) 上既存在极大值,又有在极小值,求 t 的取值范围. (II)若 g ( x) ?
f ( x) ? 1 对于任意的 x ?[2, ??) 恒有 g ( x) ? 0 成立,求 b 的取值范围. x

四、选考题(10 分) 请考生在第 22、23、24 题任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分, 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,设 C 为线段 AB 的中点,BCDE 是以 BC 为一边的正方形,以 B 为圆心, BD 为半径的圆与 AB 及其延长线交于点 H 及 K. (I)求证: HC ? CK ? BC 2 . (II)若圆 B 半径为 2,求 AH ? AK 的值.
A D E K H C B

23.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? 在极坐标系中,动点 P( ? ,? ) 运动时, ? 与 sin 2 ( ? ) 成反比,动点 P 的轨迹经 2 4 过点(2,0) (I)求动点 P 的轨迹其极坐标方程. (II)以极点为直角坐标系原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,将(I)中 极坐标方程化为直角坐标方程,并说明所得点 P 轨迹是何种曲线.

24.选修 4-5:不等式选讲 (I)解不等式 2 ? x ? 2 ? x ? 4 (II) a, b ? R ? ,证明: a 2 ? b2 ? ab(a ? b)

高三数学(文)参考答案
一、选择题:BDCAB 二、填空题 13、1 或 2 AACDC AB
1 e

14、 y ?

15、4

16、-5 ????3 分

17、解: (I) f ( x) ?
2 k? ?

3 1 sin x ? cos x ? 1 ? sin( x ? ? 6 ) ?1 2 2
? x?

?
2

?
6

? 2 k? ?

3? 2

得 f ( x) 的单调减区间 (2k? ?

?
3

, 2 k? ?

4? ) 3

k?z

????6 分

(II)∵ (2b ? a) cos C ? C ? cos A 由正弦定理得
2sin B cos C ? sin A cos C ? sin C cos A

2sin B cos C ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

B ? (0, ? )

sin B ? 0

∴ cos C ?

C ? (0, ? ) ∴ C ?

?
3

1 2

????8 分 ∴

又∵A、C 均为锐角

?
6

? A?

?
2

????10 分

?
3

? A?

?
6

?

2? 3

3 ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6

? 3 f ( A) ? sin( A ? ) ? 1? (1 ? , 2] 6 2
18、解: (I) 2(a2 ? b2 ? c2 ? 3ab)
4a b c o sC ? 3 ab

????12 分

3 c o? s C ????2 分 4 A? B 1 1 7 A ? B ? ? ? C ∴ sin 2 ? [1 ? cos( A ? B)] ? (1 ? cos C ) ? ???6 分 2 2 2 8 3 (II) a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 且 c=2 2 3 a 2 ? b 2 ? 4 ? ab 2

又 a 2 ? b2 ? 2ab
cos C ? 3 4

3 ∴ ab ? 2ab ? 4 2

ab ? 8

????8 分

C ? ( 0? , ) ∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ?

7 4

????10 分

1 1 7 S ? ab sin C ? ? 8 ? ? 7 2 2 4
△ABC 面积最大值为 7
3 19、解: (I)依题题得 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 x

????12 分

5x2 ? 14 x ? 3 ? 0
3 ? x ? 10 ∴要使该产品 2 小时获利不低于 3000 元,x 取值范围[3,10] ??6 分 (II)设生产此产品获得利润为 y 元 90 3 1 3 y ? ?100(5 x ? 1 ? ) ? 45000 ? 9000 ? ( ? 2 ) ( 1? x ? 1 0 ) ???8 分 x x x x 1 3 x?6 y? ? 9000(? 2 ? 3 ) ? 9000 ? 3 ????9 分 x x x

当 1 ? x ? 6 时 ymax ? 45750 (元) 甲厂应造生产速度为 6 千克/小时时获得最大利润 45750 元。 ??12 分 20、解: (I) f ?( x) ? 3ax2 ? 3bx ? 6

? f ?(?1) ? 0 ?3a ? 3b ? 6 ? 0 ?? ? ? f ?(2) ? 0 ?12a ? 6b ? 6 ? 0
f ( x) ? x3 ? 3 2 x ? 6x ?1 2

?a ? 1 ? ?b ? ?1
????6 分

(II)由(I) f ?( x) ? 3x2 ? 3x ? 6
f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 ,x ? 2

????7 分

f ( x) 与 f ?( x ) 在[0,3]上的情况如下

x
f ?( x )

0

(0,2) —

2 0

(2,3) +

3

f ( x)

1



-9



?

7 2

ymin ??9

ymax ? 1

????9 分 ????12 分

( x) ( x) ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? fmax ? fmax ? 10

21、解: (I)b=3 时 f ( x) ? x3 ? 3x2

f ?( x) ? 3x2 ? 6x 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? 2
当 ?? ? x ? 0 或 x ? 2 时 f ?( x) ? 0
0 ? x ? 2 时 f ?( x) ? 0

????1 分

故得 f ( x) 在 x ? 0 时取得极大值,在 x ? 2 时取得极小值,函数在 (t , t ? 3) 上 既能取到最大值又能取得最小值只须

?t ? 0 ? ?t ? 3 ? 2

?1 ? t ? 0

∴t 取值范围为(-1,0) f ( x) ? 1 ? 0 对于任意的 x ?[2, ??) 上恒成立 (II) x 即 x 2 ? bx ? 1 ? 0 对任意的 x ?[2, ??) 上恒成立
b? x? 1 x 1 x

x ?[ 2 ,? ?上恒成立 )

????7 分
x ?[ 2 ,? ? )

g ( x) ? x ?

g ?( x) ? 1 ?

1 x2 ?1 ? 2 x2 x

g ?( x) ? 0
x ? 2时

g ( x) 在 [2, ??) 上为增函数 g ( x) 有最小值 g (2) ?
5 2

5 ∴b 取值值围为 (??, ] 2 22、 (I)证明:连结 DH、DK,别,DH⊥DK DC CK ? Rt△DHC∽Rt△KDC HC DC

????12 分 ????2 分
D C2 ? H C ? CK

∵DC=BC

∴ BC 2 ? HC ? CK

????5 分

(II)连结 AD 则 AC=CD=BC AD 为圆 B 切线 ∴ AH ? HK ? 4 23、解: (I)设 ? ?

∴AB⊥BD,AD=BD=2

????7 分

AD2 ? AH ? HK

????10 分

sin 2 ( ? ) 2 4 k 则2 ? k ?1 2 ? sin ( ) 4
(II) ? ?

?

k

?

????5 分

sin 2 ( ? ) 2 4

?

1

?

1 ? cos(? ? ) 2 ?1 ?? 2

?

? ? (1 ? sin ? ) ? 2
∴ P ? 2? y

? 2 ? x 2? y

2

?s i n ??y

????7 分

x2 ? y 2 ?( 2 ? y)2

1 y ? ? x2 ? 1 4 P 点轨迹是开口向下,顶点为(0,1)的抛物线

????10 分 ????2 分

? ?2 x ? 24、解: (I) 2 ? x ? 2 ? x ? ? 4 ?2 x ?

x ? ?2 ?2 ? x ? 2 x?2

? x ? ?2 ? ??2 x ? 4

??2 ? x ? 2 或? ?4 ? 4

?x ? 2 或? ?2 x ? 4
????5 分

得不等式解为 ?2 ? x ? 2 (II)证明: a2 ? b2 ? ab (a ? b) ? a2 ? a ab ? b2 ? b ab

? a a ( a ? b) ? b ? b( b ? a ) ? ( a ? b )(a a ? b b ) ? ( a ? b )( a ? b )(a ? ab ? b) ? ( a ? b )2 ? (a ? ab ? b) ? 0
∴ a2 ? b2 ? ab (a ? b) ??????10 分


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