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高一数学必修4复习资料



高中数学必修 4 复习资料
知识清单: 1、任意角的概念、象限角、终边相同的角。 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ? 第三象限 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 2

70? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

二象限 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

?
?

?

?

第四象限 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ?

?

?

?

?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?
?
n
终边所落在的区域.

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上
*

方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l . r

? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?
?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,

S?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

9、 ? 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 设 它与原点的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 , ? 则 sin ? ?

?

?

x y y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . y 2 2 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin ? ? cos ? ? 1 P T sin ? 2 2 2 2 v sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ; ? 2 ? ? tan ? cos ? O M A x

?

?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?
13、三角函数的诱导公式: 口诀:奇变偶不变,符号看象限. ( )

1

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? ? ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? ? sin ? . ? ? ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函 数 y ? sin ? x ? ? ? 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 ( 缩 短 ) 到 原 来 的

1

?

倍(纵坐标不变) 得到函数 ,

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横
坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? x

? 个单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图 ?

象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函 数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? ? , 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小值 为 ymin ; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大值 为 ymax , 则

??

1 1 ? ? ym a x ? y m i n? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
2



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性 在 ? 2k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

对称中心 ? k? ?

?k ? ??

? ?

?

? , 0 ? ? k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ???

16、 向量: 既有大小, 又有方向的量. 数量: 只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向 量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非

3

零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ?? 19、向量数乘运算:

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?? ?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

C

?

?

? ? ?? ? ?

? a

? b
?

?

? ? x1

x2 y1 y2 ,?
?

?.

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?a ? ? a ;
?

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时, 点 ? 的坐标是 ?

?

?

?

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?

?

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?? ?

??

?? ?

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

4

2 时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

? ?

? ?

? ?

?

?2

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b . ? ?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

?

?

?

?

? ? ? a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、b 都是非零向量,a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,? 是 a 与 b 的夹角, cos ? ? ? ? ? 则 a b
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2



⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1) sin 2? ? 2sin ? cos ? . (4) cos 2? ? cos
2

1 (2) ? sin 2?

? (sin ? ? cos ? ) 2

(3) tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

基础训练题
一.选择题 1、下列角中终边与 330°相同的角是( ) A.30° B.-30° C.630°

D.-630° ( )

5 2、角 α 的终边落在区间(-3π,- π)内,则角 α 所在象限是 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、已知角 α 的终边过点 P(-1,2),cos ? 的值为 A.-

( )

5 5

B.- 5

C.

2 5 5

D.

5 2

5

4、如果 | cos x |? cos(? x ? ? ).则 x 的取值范围是 A. [? C. [





?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

(k ? Z ) B. (

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ) 2 2

(k ? Z )
(k ? Z )
).

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ] 2 2

(k ? Z ) D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )

? 5、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象可看作是函数 y ? 3sin2x 的图象,经过如下平移得到的,其中正确的是( 3
A.向右平移

? 个单位 3

B.向左平移

? 个单位 3

C.向右平移 ).

? 个单位 6

D.向左平移

? 个单位 6

6、与函数 y ? tan(2 x ? A. x ?

? 2

)的 图象不相交的一条直线是( 4 ? ? ? B. y ? C. x ? D. y ? 8 2 8 1 tan ?

?

7、α 是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是 A.sin ? B.cos ? C.tan ? D.

( )

8、已知 sinαcosα = 3 A.± 4

1 ,则 cosα-sinα 的值等于 8





B.±

3 2

C.

3 2

D.-

3 2
1 的值是 tan ? D. 2
( )

9、如果角 ? 满足 sin ? ? cos? ? A. ? 1 10、sin B. ? 2

2 ,那么 tan ? ?
C. 1

4? 25? 5? ?cos ?tan 的值是( ) 3 6 4 3 3 3 A.- B. C.- 4 4 4

a 1? a
2

D.

3 4

11、已知 tan( ? 14 ? ) ? a, 那么 sin 1992 ? ? (
15

A.

|a| 1? a
2

B.

a 1? a
2

C. ?

D. ?

1 1? a2

12、已知 sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? 3 ,那么 cos2? 的值为 ( 5 A.



7 25
o

B.

18 25
o

C.?
o

7 25

D.? )

18 25

13、 (1 ? tan21 )(1 ? tan20 )(1 ? tan24 ) 的值是( A.2 B.4 C.8 D.16 ).

14、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为(

6

A. {x 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z } 2 C. {x 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z } 2 二.填空题 15、函数 y ? sin( ?

B. {x 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z } ? {x x ? 2k? ? ? , k ? Z } 2 D. ? x | 2k? ? x ? 2k? ? ? 且 x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ?

?

x ? ? ) 的周期是________________________. 2 4

16、与 1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________. 17、若 tan ? ? 3 ,则

sin 3 ? ? 2 cos3 ? 的值为____________. sin 3 ? ? 2 cos3 ?


18、已知 sin ? tan ? ≥0,则 ? 的取值集合为 19、函数 y ? 2 sin( 2 x ? 20、函数 y ?

?
3

) 的图象的对称轴方程是

2 tan x 的最小正周期是 1 ? tan 2 x

21、已知 sinθ+cosθ=

2 (0<θ<π ) ,则 cos2θ的值为 2

22、记 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 4 , a 、 b 、 ? 、 ? 均为非零实数) ( , 若 f (2009 ? 2009,则 f (2010 = ) ) 1---7:BCACDCB 8---14:BDACABB 15、 4? 。16、 191 ,?169 ;17、
0 0

? ? 29 ;18、 {x ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , or x ? ? ? 2k? 25 2 2

k ??}

19、 x ?

k? ? ? 2 12

k ? Z ;20、

? 3 ;21、 ? ;22、 ? 2001 ; 2 2

三.解答题 23、若函数 y ? 1 ? sin x ,⑴画出函数在区间 ?0, 2? ? 上的简图;⑵指出函数在区间 ?0, 2? ? 上的单调区间及单调 性,最大值和最小值. 解:⑴列表:

x
y ? sin x y ? 1 ? sin x

0 0 1

? 2
1 0

?
0 1

3? 2
–1 2

2?
0 1

7

描点、连线成图: ⑵单调递增区间: ?



? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? , ? ;单调递减区间: ?0, ? , ? , 2? ? . ?2 2 ? ? ? 2? ? 2
3 3, ? ? ? ? ? ,求 sin ? ? cos ? 的值. 2

24、已知 tan ? ?

3? 3 1 )且 tan? ? 3 ? sin ? ? ? , cos? ? ? 2 2 2 3 1 1? 3 ? sin ? ? cos? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? (? ,
25、已知 ? 为第二象限角,

3 5 sin ? ? , ?为第一象限角, ? ? .求 tan( 2? ? ?)的值 cos 5 13
解:? ? ? (2k? ?

?
2

,2k? ? ? )

且 sin ? ?

3 3 ? tan ? ? ? 5 4 且 cos ? ? 5 13

? tan 2? ?

2 tan ? 24 ? ?? ? ? ? (2k? ,2k? ? ) 2 7 2 1 ? tan ?

24 12 ? 12 tan2? ? tan ? 7 5 ? 204 ? tan ? ? ? tan(2? ? ? ) ? ? 24 12 253 5 1 ? tan2? ? tan ? 1 ? (? ) ? 7 5 ?
26、求值:

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

0 0 0 0 0 2sin 500 ? 2cos500 解: 原式= 2sin 50 ? cos10 ? 3 sin10 ? 2sin 50 ? 2sin 40 ? 2 cos50 2 cos50 2 cos50

?

2 2 sin ? 500 ? 450 ? 2 cos50

?

2 2 sin 950 2 2 cos50 ? ?2 2 cos50 2 cos50
0 0 0

27、⑴化简 sin( x ? 180 )cos(? x)sin(? x ?180 ) tan(? x ?180 ) ; 解:原式= (? sin x) cos x sin x(? tan x)

8

= (? sin x) cos x sin x( ? = sin3 x .

sin x ) cos x

⑵证明: tan 2 x ? sin 2 x ? tan 2 x sin 2 x . 证:左边= tan 2 x ? sin 2 x ? tan 2 x ? tan 2 x cos 2 x = tan 2 x(1 ? cos2 x) = tan 2 x sin 2 x =右边. 故原命题成立。
2 28、已知 tan ? , tan ? 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两根,求 tan(? ? ? ) 的值. 2 解:∵ tan ? , tan ? 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两根,

7 ? ? tan ? ?tan ? ? ? 2 , ? 由韦达定理得: ? ? tan ? ? tan ? ? ? 3 , ? ? 2

3 ? tan ? ? tan ? 2 ? ? 3? 2 =? 1 . ∴ tan(? ? ? ) ? ? 3 1 ? tan ? tan ? 1 ? (? 7 ) 2 9 2
29、已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A(3,0) ,B(0,3) (sin ?,cos ?) ,其中 ,C (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值;

??? ?

??? ?

? 3 ? ? ? ?, 2 2

2sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan ? ??? ? ??? ? 解: (1)由题意; AC ? (sin ? ? 3,cos ?) , BC ? (sin ?,cos ? ? 3) ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ? ??? ? ? AC ? BC ? AC ? BC

BC ? ?1 ,求 (2)若 AC?

??? ??? ? ?

(sin ? ? 3)2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? 3)2 化简得 sin ? ? cos ? ? 3 5 ?? ? ? 又 ??? ? 2 4 ??? 2 ? ? ??? BC ? ?1 得: (sin ? ? 3)sin ? ? cos ?(cos ? ? 3) ? ?1 (2)由 AC? 2 5 2 化简得: sin ? ? cos ? ? 于是: 2sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ?) ? 1 ? ? 3 9 2 2sin ? ? sin 2? 2sin ?(sin ? ? cos ?) 5 ? ? ? 2sin ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 9 cos ?
9

平面向量基础训练题
一、选择题 1.若向量 a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,2) , , ,则 c 等于( )
1 3 A. ? a ? b 2 2 1 3 B. a ? b 2 2 3 1 C. a ? b 2 2 3 1 D. ? a ? b 2 2

2.若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则 5a 与 3b 的数量积等于( ) A.–45 B.45 C.–1 D.1

3. O 是 ΔABC 所在的平面内的一点,且满足( OB - OC )· OB + OC -2 OA )=0,则 ΔABC 的形状一定为( ) ( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
2 2

D.斜三角形

4.下面的四个命题:①| a ? b |?| a || b | ; ③ a ? (b ? c)则a ? b ? a ? c ; 若 其中真命题是( A.① ② ) B.③ ④

②(a ? b) 2 ? a ? b ; ④ a ? b ? 0则 | a ? b |?| a ? b | 若

C.① ③

D.② ④

5.将抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 7 的图象按向量 a 平移,使其顶点与坐标原点重合,则 a =( ) A. (2,-3) B. (-2,-3) C. (-2,3) D. (2,3)

6.下列四个命题,其中正确的个数有( ) ① 对于实数 m 和向量 a, b, 恒有m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m, n 和向量 a,恒有(m ? n)a ? ma ? na ③ ma ? mb(m ? R), 则有a ? b 若 A.1 个 B.2 个 ④ ma ? na(m, n ? R, a ? 0, 则有m ? n 若 C.3 个 D.4 个

7.已知 | a |? 3,| b |? 5, 且a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为( ) A.
12 5

B.3

C.4

D.5

1 8.已知向量 OM =(3,-2) ON =(-5,-1) , ,则 MN 等于( ) 2

A. (8,1)

B. (-8,1)

C. (4,-

1 ) 2

D. (-4,

1 ) 2

9.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p,q 的夹角为 A.15 B. 15

? ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为( ) 4
C.14 D.16 )

10.设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,且 a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则 a· 等于( b A.1 B.2 C.-1 D.-2

10

11.若|a|=|b|=1,a⊥ 且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直,则实数 k 的值为( ) b A.-6 B.6 C.-3 D.3 12.设 a、b、c 为平面向量,下面的命题中:① (b-c)=a· c;② b)· (b· a· b-a· (a· c=a· c);③ (a-b)2=|a|2-2|a|· |b|+|b|2; ④ a· 若 b=0,则 a=0 或 b=0。正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 BACBA CADAC BC 二、填空题 13.已知 e 是单位向量,求满足 a∥ 且 a· =-18 的向量 a=_______. e e 14.设 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b) ⊥ (a-b), 则 m=___ ___.
BC 15.若 AB · + AB = 0,则 ΔABC 的形状为
2

。 。

16. 把函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 的图象按向量 a 平移, 得到 y ? 2x2 的图象, a⊥ c= 1, , c=4, b= 且 b,( -1)b· 则

? ? ? ? 17、若 | a ? b |? 41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 ,则 a与b 的数量积为 r r 18、向量 a ? ( x,1) 与 b ? (4, x) 共线且方向相同,则 x = .

13.-18e

14.-2

15.直角三角形

16. (3,-1)

.

19、已知 A(3,y) ,B( ? 5 ,2) ,C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________. ? ? ? ? ? 20、已知 a =(-3,4),若 | b | =1, b ⊥ a ,则 b = . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21、非零向量 a 和 b 满足: | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角等于 . ? ? ? ? ? ? 1 22、已知| a |=10,| b |=12,且(3 a )( b )=-36,则 a 与 b 的夹角是 · . 5 ? ? ? ? ? ? ? 23、如果 | a | =1, | b | =2, a 与 b 的夹角为 ,则 |a ? b | 等于 . 4 三、解答题 24.已知向量 a=e1-e2,b=4 e1+3 e2,其中 e1=(1,0) 2=(0,1) ,e 。 (Ⅰ )试计算 a· 及|a+ b|的值; (Ⅱ b )求向量 a 与 b 的夹角的余弦值。 解: )a =(1,0)-(0,1)=(1,-1) (Ⅰ ,b=(4,0)+(0,3)=(4,3) 。 a· b=(1,-1)· (4,3)=1;|a+b|=|(5,2)|= 29 。 (Ⅱ cos? ? )
a ?b 2 2 ? , ? ? arccos 。 | a | ? | b | 10 10

25.已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120° . (Ⅰ )求证: (a-b)⊥ c; (Ⅱ )若|ka+b+c|>1(k∈ ,求 k 的取值范围. R) 解(Ⅰ ?| a |?| b |?| c |? 1, 且 a、b、c 之间的夹角均为 120° ) , ? (a ? b) ? c . ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos120? ? | b || c | ocs ? ? 0 …3 分 120 (Ⅱ ? ka ? b ? c |? 1, ) |

? ka ? b ? c |2 ? 1, |
?k 2a ? a ? b ? b ? c ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1

?(ka ? b ? c) ? (ka ? b ? c) ? 1,

1 ? a ? b ? a ? c ? b ? c ? cos120? ? ? , 2
2 2

? k 2 ? 2k ? 0,

? k ? 0或k ? 2 .

26.已知 f(A,B)= sin 2 A ? cos 2B ? 3 sin 2 A ? cos2B ? 2 。 (Ⅰ )设 A、B、C 为 ΔABC 内角,当 f(A, B)取得最小值是,求∠ C;

11

(Ⅱ )当 A+B=

? 且 A、B∈ 时,y=f(A, B)的图象通过向量 p 的平移得到函数 y=2cos2A 的图象,求向量 p。 R 2
3 2 1 ) ? (cos2B ? ) 2 ? 1 。 2 2

解: )f(A· (Ⅰ B)= (sin2 A ?
? ?sin 2 A ? ? 由题意 ? ?cos 2 B ? ? ?

? ? ? 3 , ?A ? 或 , 2? ? 6 3 2 ?? ∴ C= ∠ 或∠ C= 。 ? 3 2 1 ?B ? ? . ? 6 ? 2

(Ⅱ )∵ A+B=

? ,∴ 2B= ? -2A, 2 ? ? )+3=2cos2(A+ )+3, 3 6

∴ f(A· B)=cos2A- 3 sin2A+3=2cos(2A+ ∴ =( p

? ,-3) 。 6

27.平面直角坐标系内有点 P(1,cosx) ,Q(cosx,1) x ? [? ,

? ?

, ]。 4 4

(Ⅰ )求向量 OP 和 OQ 的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f(x) ; (Ⅱ )求 θ 的最值。 解: )∵OP · =2cosx,| OP |·OQ |= 1? cos2 x , (Ⅰ | OQ ∴ cosθ=
OP ? OD | OP | ? | OD | ? 2 cos x = f(x) 。 1 ? cos2 x
2 cos x 2 ? 。 2 1 ? cos x cos x ? 1 cos x

(Ⅱ )cosθ= f(x)=

∵x ? [?

? ?

1 2 3 2 , ] ,∴cos x ?[ ≤ , , 1] ,2≤ cos x ? 4 4 cos x 2 2

2 2 2 2 2 2 ≤f(x)≤1,即 ≤cosθ≤1。 ? max arccos , 3 3 3

? min ? =0。

28.已知 a =(cos ? ,sin ? ) ,b=(cos ? ,sin ? ) 与 b 之间有关系式|ka+b |= 3 |a-ka|,其中 k>0。 ,a (Ⅰ )用 k 表示 a· (Ⅱ b; )求 a· 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小。 b 解: )由|ka+b |2= 3 |a-ka|2 得,8ka· (Ⅰ b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2。 ∴ b= a·
(3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 。 8k

∵ =(cos ? ,sin ? ) a ,b=(cos ? ,sin ? ) a2=1,b2=1, ,∴ ∴ b= a·
k 2 ?1 。 4k

(Ⅱ )∵ k>0,k2+1>2k,即

1 k 2 ? 1 2k 1 ? ,∴ b 的最小值为 。 ≥ a· 2 4k 2 4k

12

∵ b=|a|· a· |b|cosθ,∴ cosθ=

1 ,θ= 60? ,此时 a 与 b 的夹角为 60? 。 2

29.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (Ⅰ )若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (Ⅱ )若| b |=
5 , 且 a ? 2b 与 a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

解: )设 c ? ( x, y),? c | ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 20 (Ⅰ |
? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x



? y ? 2x ? ? 2 ? x ? y 2 ? 20 ?

∴ ?

?x ? 2 ?y ? 4

或?

? x ? ?2 ? y ? ?4

∴c ? (2,4),或c ? (?2,?4)

(Ⅱ ?(a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0 ) ) 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,?2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0 ……(※
? a |2 ? 5, | b |2 ? ( | 5 2 5 )中, ) ? , 代入(※ 2 4
? 5 2
2 2

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? c o ? ? s ? 2 | a |?|b |

? ?1

5 5? 2

30、已知 a ? (2, cos x), b ? (sin( x ?

?

?

?
6

?? ), ?2) 函数 f ( x) ? a? ( x ? R) b

(1) 求函数 f(x)的单调递增区间 (2) 若 f ( x ) ?

6 ? 求 cos(2 x ? ) 的值 5 3

13

31、已知 a ? (2cos ? x, 2cos ? x), b ? cos ? x, 3 sin ? x (其中 0 ? ? ? 1) 函数 f ( x) ? a ? b ,若直线 x ? 函数 f ( x ) 图像的一条对称轴, (1) 求 ? 的值 (2)作出 f ( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 的图像

?

?

?

?

? ?

?
3



32、已知 m ? ( 3 sin

??

?? ? ? 2? x x x ? x) 的值 ,1), n ? (cos , cos 2 ) (1)若 m?n ? 1求 cos( 3 4 4 4

(2)记 f ( x) ? m ? n ,在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 求 f ( A) 的取值范围

?? ?

14



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