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2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《三角函数的图像与性质》(上海王建华)


《正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)》教学设计说明 正弦函数和余弦函数的图像与性质 》
课题: 课题:正弦函数和余弦函数的图像与性质(1) 教材: (上海教育出版社出版) 教材: 上海市高中数学课本高一年级第二学期(试用本) 教师: 教师: 上海市向明中学 一、教材地位和作用 本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期(试用本) 中第六章《三角函数》第一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数 知识结合起来,是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型,在高中数学知识 体系中占有十分重要的地位。本节课作为《三角函数》开篇的第一课时,主要解 决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题,为后面更好地学习三角函数的 性质打下牢固的基础。 二、教学目标分析 教学目标: 教学目标 1.掌握正弦函数和余弦函数的概念。 2.学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的图像的方法;并 正确运用五点法作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的大致图像。 3.利用诱导公式,通过图像平移作出余弦函数的图像。 4.进一步形成数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点 教学重点、难点: 重点:五点法作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的大致图像;通过图像平移作出余弦 函数的图像。 难点:利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的图像。 三、教学问题诊断 高一学生对函数概念的理解本身就是难点,再加上三角比知识,就要求学生 有较高的理解和综合的能力。关于作图方面,在前面函数的章节中,学生已经学 习了画函数图像的一些方法,如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点 法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况,预测学生对于本节课的内 容,会有以下的一些困难: 王建华

1.概念的引出,把三角与函数两个概念结合起来,正确理解正弦函数和余 弦函数。 2.利用单位圆的正弦线作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的图像。 3.正确掌握五点法的作图步骤与要求。 4.按照正弦函数的作图方法,学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。 四、教学特色 教学特色 1.引例的设计意图 学生在物理学中已学习过圆周运动,创设摩天轮情境更能贴近学生实际,在 解决这一问题的过程中,学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程, 既体会到三角函数的本质又调动了学生学习积极性。另外,从实际问题中抽象出 的单位圆进行研究,起到了承上启下的作用,既复习了三角比的内容,又为正弦 函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。 2.处理一般方法与特殊方法的关系 (1)在讲到作正弦函数的图像时,突出函数作图的一般方法(列表求值)与 三角函数特殊作图方法(利用单位圆中的三角函数线)相结合,从代数和几何的 角度实现描点。 (2)在学生掌握了正弦曲线的形状后,利用连续函数的特点,抓住一个周期 内五个关键点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊,用特殊 体现一般的辩证关系。 3.以问题驱动方式贯穿整节课 以问题调动学生思维,以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用,学 生自主探究的教学方法。主要问题例举如下: 其一:正弦函数的概念 引例解决后:得 h = sin t (t ≥ 0) ,教师提问: “这是否为函数关系式?”
〖说明〗启发学生从函数定义去思考。 说明〗 当学生肯定了引例中 h = sin t (t ≥ 0) 是函数关系式后,教师再问: “如果把 t 改为 x,把 h 改为 y,将定义域范围变为 R,那么还是函数吗?” 〖说明〗这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。 说明〗

其二:作正弦函数的图像 在开始引入正弦函数作图时,教师提问: “如何作出正弦函数 y = sin x 的图 像?” 〖说明〗让学生回忆对于函数作图的一般方法。 说明〗 在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后,教师再问: “那么,是 否还有其他作图的方法?能不能不算出正弦值?三角比中的正弦三角比是否有 其几何意义呢?” 〖说明〗体现一般与特殊的关系,代数与几何的两个不同的角度思考问题。 说明〗 在引出利用单位圆的正弦线作图之后,教师再问: “在作图中,我们是否直 接作出整个定义域上正弦函数的图像?” 〖说明〗 说明〗目的是为了简化作图,同时也体现了三角函数是解决周期现象的典 型的数学模型。 在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状,也发现这是个连续的函数图 像之后,教师再问: “那么,当作图的精确度要求不太高的时候,我们是否可以 通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数的大致图像?请再来观察一 下刚才在 [ 0, 2π] 上作的图像,其中有哪几个关键点?并请说出它们的坐标。 ” 〖说明〗解决问题要抓住事物的主要矛盾,这也是为了简化作图。 说明〗 其三:作余弦函数的图像 在掌握了正弦函数的作图方法后,教师提问: “如何作出 y = cos x, x ∈ R 图 像?” ,学生思考后教师再问: “正余弦之间关系密切,那么能不能利用正弦函数 的图像通过图形变换,来作出余弦函数的图像呢?” 〖说明〗引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里,学生 说明〗 们可以畅所欲言,想出各种解决方法,也是学生综合能力地体现。
4.计算机辅助教学与教师板书示范相结合

本节课的重、难点是作函数的图像。因此,在教学中借助几何画板制作的动 态作图演示, 具有非常形象的效果。 通过课件的动态表现, 使抽象的问题具体化、 形象化,有利于学生的理解和认知。 数学课的教学离不开黑板上的规范板演,通过黑板的例题示范,弥补了课件

演示一闪即过的不足,加深学生对正弦函数的印象,特别是五点确定以后,如何 用光滑的曲线描点,在描点中应该注意图像递增递减的趋势,以求实现多媒体和 传统黑板教学两者的相互结合,互为补充,发挥彼此最大优势。 五、预期效果分析 在本堂课的教学中,以问题驱动为主,师生共同进行分析探究。着重体现了 学生的独立思考,小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动 态展示、黑板规范板书、学生练习点评等等多种教学形式,组织学生积极参与课 堂活动,将教与学有效地结合起来。从思维深度上和动手实践上,充分激发了学 生的学习和钻研兴趣,调动了学习热情。

附:简案
教学 环节 创设 情景 引入 概念 教学过程 引例:如图,质点 P 在圆周上 作逆时针的匀速圆周运动。设半径 r 为 1 个单位长,角速度ω=1 弧度/ 分钟,当时刻 t = 0 时, P 在 A 处, 求经过 t( t ≥ 0 )分钟后, P 到平 台所在平面的相对高度 h 与 t 的关 系式。 1.正弦、余弦函数的定义 正弦函数 y = sin x, x ∈ R 。
P A

师生活动 教师引导学生 共同分析。
平台

O

教师引导学生 共同探究。

余弦函数 y = cos x, x ∈ R 。 2.正弦、余弦函数的图像 (1)正弦函数的图像 思考:如何作出正弦函数 y = sin x 的图像? 讲授 新课 探究 方法

探究: 借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在 [ 0, 2π] 上的

数在 [ 0, 2π] 上的大致图像?

图像,再作出正弦函数在 R 上的图像。 (2)五点法 思考: 是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函

( 0, 0 ) , ? ?

π ? ? 3π ? ,1? , ( π, 0 ) , ? , ?1 ? , ( 2π, 0 ) ?2 ? ? 2 ?

(3)余弦函数的图像
例题 示范 练习 巩固 例题:作出函数 y = sin x ? 1,x ∈ [ 0, 2π] 上的大致图像。 探究:如何作出余弦函数 y = cos x, x ∈ R 图像? 教师与学生共 同完成例题, 练习:作出函数 y = 2 ? sin x,x ∈ [ 0, 2π] 上的大致图像。 并纠正常见错 误,学生通过 练习加以巩

课堂 小结 提炼 精华 课后 作业

小结:知识点、思想方法。

固。 学生小结,教 师总结。

作业:书本 P83 练习 6.1(1)



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