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高考数学 集合与简易逻辑



目录(基础复习部分) 第一章 集合与简易逻辑 ................................................................................................................................... 2 第 01 课 集合 ........................

................................................................................................................... 2 第 02 课 逻辑联结词和四种命题 ........................................................................................................... 4 第 03 课 充分条件与必要条件 ............................................................................................................... 6

-1-

第一章

1. 设集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?0,1, 2,3? ,则 A ? B =

集合与简易逻辑 第01课 集合
▲ . ?0,1?

?1 ? 2. 已知集合 A ? ?1, cos ? ? , B ? ? ,1? , 若 A ? B, 则锐角 ? ? ?2 ?



? 3

3. 若集合 A ? {x | y ? lg(2x ? x2 )} , B = {y | y = 2x , x > 0} ,则集合 A I B ? (1, 2) . 4. 设集合 A ? { x ? 1 ? x ? 2}, B ? { x 0 ? x ? 4}, 则 A ? B ? . [0, 2]

5. 已知全集 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,9?, B ? ?3,5,9? ,则 ?U ( A ? B) 的子集个数为 ▲ .2 6. 集合 ?1, 2? 的子集个数为 ▲ .4
▲ .

7. 已知 A ? {1, 3, 4} , B ? {3, 4, 5} ,则 A ? B ? 答案: ?3, 4? ;

(苏锡常镇一模)已知集合 A ? ?x ?1 ? x ? 1?, B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ?

. ?x 0 ? x ? 1? ▲ 1

a (苏锡常镇二模)已知集合 A ? ??1,1,3? , B ? 2, 2 ? 1 , A ? B ? ?1? ,则实数 a 的值是

?

?

已知集合 A = {x | x = 2k - 1, k ? Z}, B = {x | - 1#x

3},则 A I B =
.{-1}

.{-1,1,3}

(南通调研一)已知集合 A ? {?2, ?1} , B ? {?1, 2,3} ,则 A ? B ?

(南京盐城模拟一)1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 (苏州期末)已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? (扬州期末)集合 A={-1,0,2},B={x||x|<1},则 A ? B=_____. {0} (镇江期末)设全集 U ? Z,集合 M ? {1,2},P ? { ?2 ,?1 ,0,1,2},则 P ? ? UM =



.

. (?2,1]



. ??2, ?1,0?

(苏北四市期末)已知集合 A ? {0 ,1, 2 , 3} , B = {2 , 3 , 4 , 5} ,则 A U B 中元素的个数为 ▲ .6 (淮安宿迁摸底)已知集合 M ? ?0,1,3? , N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N = (盐城期中)若集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ?0, ?1? ,则 A ? B ? ▲ .

?

?



. ?0,3?

?0,1, ?1?
▲ . {4}

1 ,2,3,4 } (泰州二模)已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ? B ? {

,则 A ? B ? ▲ .

1, (南通调研二)设集合 A ? ?1, 0, 3 , B ? x x2 ≥1 ,则 A ? B ? 2
-2-

?

?

?

?

【答案】 ??1 , 3? (南通调研三)设集合 A?{3,m},B?{3m,3},且 A?B,则实数 m 的值是 (苏北三市调研三)已知集合 A ? (?1,3] , B ? {2, 4} ,则 A ? B = ▲ .{2} (盐城三模)已知集合 A ? x x ? 1 ? 0 ,集合 B ? [0, 2] ,则 A ? B ?
2



. 【答案】0

?

?



. ?1? ▲ .3 .{-1} ▲ ▲ . [?2, 0] .1

(南师附中四校联考)设集合 A ? ?1, k ? 1? , B ? ?2,3? ,且 A ? B ? ?2? ,则实数 k 的值为 (金海南三校联考)已知集合 A={-1,0,2},B={x|x=2n-1,n∈Z},则 A∩B= (前黄姜堰四校联考)已知集合 A ? x 2 x ? 1 , B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,则 A ? B ? (栟茶中学学测一) 已知集合 A ? ??1, 2a ? 1? ,集合 B ? ??4,3? ,且 A ? B ? ?3? ,则 a ? (栟茶中学学测一)满足条件 M ∪{1,2}={1,2,3}的集合 M 的个数是 (南通四模) 已知集合A={2,5},B={ x | 1 ≤x ≤3 },则A ? B = ▲ .4

?

?

?

?

▲ .{2} .

(南通中学期中) 已知全集 U ? {0,1, 2,3} ,集合 A ? {0,1}, B ? {1, 2,3} 则 (? U A) ? B ? 【知识点】集合及其运算 A1 【答案】{2,3}

15. (本小题满分 14 分)设集合 A ? {x | x2 ? (a ? 4) x ? 4a ? 0, a ? R} , B ? {x | x2 ? 4 ? 5x} . (1)若 A I B ? A ,求实数 a 的值; (2)求 A ? B , A I B . 解: A ? {x | ( x ? 4)( x ? a ) ? 0} , 所以 a ? 1 或 a ? 4 . (2)若 a ? 1 ,则 A ? B ? {1, 4} , 所以 A ? B ? {1, 4} , A I B ? {1, 4} ; ?????????????8 分 ???11 分 ???14 分

B ? {1,4} .

?????????2 分

(1)因为 A I B ? A ,所以 A ? B , ????????????????????5 分

若 a ? 4 ,则 A ? {4} ,所以 A ? B ? {1, 4} , A I B ? {4} .

4 ,则 A ? {4, a} ,所以 A ? B ? {1, 4, a} , A I B ? {4} . 若 a ? 1、
(新海期中)已知 A ? ? x |

? 1 ? 3x ? ? 1 ? 0? , B ? x | x 2 ? 4x ? 4 ? m2 ? 0, m ? 0 , ? x?7 ? (1)若 m ? 3 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

-3-

解: (1)若 m ? 3 , A ? ? 2,7 ? , B ? ?1,5 ,???????????????4 分

?

?

? A ? B ? ?2, 5?

.??????????????????6 分

(2)? m ? 0,? B ? ?2 ? m,2 ? m????????????????????8 分

?2 ? m ? 7 ? 又 A ? B ? B ,? A ? B ? ?2 ? m ? 2 ? m ? 5 ?m ? 0 ?
即实数 m 的取值范围为 ?5, ? ?? ?????????????????14 分

(启东中学月考一)已知集合 A ? {x | y ? 1 ? 求实数 a 的取值范围. (1) A ? B ? A ;

2x ?1 }, B ? {x | [ x ? (a ? 1)][ x ? (a ? 4)] ? 0} .分别根据下列条件, x ?1

(2) A ? B ? ?

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】( 1 ) -4 < a ≤ -2 ( 2 ) a ≥ -1 或
( 1 ) 由 1-

a ≤ -5 .

x 2x ?1 ,可得 ≤ 0, x ?1 x ?1
-1<x ? 0 , 故 A= ( -1 , 0] .

即 x ( x+1 ) ≤ 0 , 且 x ≠ -1 , 解 得

∵ B={x|[x- ( a+4 ) ][x- ( a+1 ) ] < 0}= ( a+1 , a+4 ) . ∵ A ∩ B=A , ∴ A ? B , ∴ a+1 ≤ -1 , a+4 > 0 , 解 得 -4 < a ≤ -2 , 故 a 的 取 值 范 围 是 ( -4 , -2] . ( 2 ) 由 上 可 得 , A= ( -1 , 0] , B= ( a+1 , a+4 ) , 当 A ∩ B= φ , a+1 ≥ 0 或 a+4 ≤ -1 , 解 得 -1 或 a ≤ -5 . a≥

故 当 A ∩ B ≠ φ 时 , -5 < a < -1 , 故 a 的 取 值 范 围 ( -5 , -1 ) 【思路点拨】 ( 1 )解 分 式 不 等 式 求 出 A ,再 求 出 B ,由 条 件 A ∩ B=A 可 得 A ? B ,考 查 集 合 的 端 点 间的大小关系,求得实数 a 的取值范围. ( 2 ) 求 出 当 A ∩ B= φ 时 实 数 a 的 取 值 范 围 , 再 取 补 集 , 即 得 所 求 .

第02课 逻辑联结词和四种命题 命题 P : “若 ac ? b ,则 a、b、c 成等比数列” ,则命题 P 的否命题是假(填“真”或“假”之一)命题. 2 若命题 " ?x ? R, x ? 2mx ? m ? 0" 是假命题,则实数 m 的取值范围是 . ? 0,1?
“ ?x ? 0 , x ? 1 ? x ”的否定是
2



. $ x > 0, 使 x ? 1 ? x ▲ . 若a ? b , 则2 ? 2
a b

2 (扬州期末) 命题 p :?x ? R, “ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”, 命题 p 的否定: _____. ?x ? R,x ? 2 x ? 3 ? 0
a b (盐城期中)命题“若 a ? b , 则 2 ? 2 ”的否命题为

?? | x3 ? 2 x 2 ? x | ( x ? 1) (盐城期中)已知函数 f ( x) ? ? ,若命题“ ?t ? R ,且 t ? 0 ,使得 f (t ) ? kt ” ln x ( x ? 1) ?
是假命题,则实数 k 的取值范围是 ▲ . ( ,1]
-4-

1 e

(南通调研二)命题“ ?x ? R , 2 x ? 0 ”的否定是“ ▲ ” . 【答案】 ?x ? R , 2 x ≤0 (栟茶中学学测二)下列有关命题的说法正确的是 ▲ .②③

①命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” ; ②已知 x ? 0 时, ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,若 ?ABC 是锐角三角形,则 f (sin A) ? f (cos B ) ; ③命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; ④命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . (南通中学期中) 命题: “ ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是
2



【知识点】命题及其关系 A2 【答案】 ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0
2

(南通中学期中) 已知 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2<x≤3 (1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案】 (1) 2 ? x ? 3 (2) 1 ? a ? 2 【解析】 (1)p:由原不等式得, (x-3a) (x-a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,得到 1<x<3;q:实数 x 满足 2<x≤3; 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (2) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ? ? q, 设 A= ? x p ( x)? , B = ? x q ( x)? , 则 A ? ? B, 又 B ? (2,3] ,A= (a,3a) ;

?a ? 2, 所以有 ? 解得 1 ? a ? 2; 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . ?3 ? 3a, (南师附中)有下面四个判断:
①命题“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题; ③命题“? a、b∈R,a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“? a、b∈R,a2+b2≤2(a-b-1)”; 2 ④若函数 f(x)=ln?a+x+1?的图象关于原点对称,则 a=3.

?

?

其中正确的有



个.

解析 对于①:此命题的逆否命题为“设 a、b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a+b=6”,此命题为真命题, 所以原命题也是真命题,①错误;“p 或 q”为真,则 p、q 至少有一个为真命题,②错误;“? a、b∈R, a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“? a、b∈R,a2+b2<2(a-b-1)”,③错误;对于④:若 f(x)的图象关于 原点对称,则 f(x)为奇函数,则 f(0)=ln(a+2)=0,解得 a=-1,④错误. 答案 0 (南通一中期中) 给出下列四个命题 (1)命题“ ?x ? R , cos x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , cos x ? 0 ” ; (2)若 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1 只有一个零点,则 a ? 1 ;
2

-5-

(3)命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; (4)对于 任意实数 x ,有 f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) ,且当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , 则当 x ? 0 时, f ?( x) ? g ?( x) ; (5)在 ?ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ?

2 ”的充要条件。 2
1 2

其中正确的命题有 ▲ .填所有正确的序号) (1) ( 启东中学月考一 ) 设 a 为实数,给出命题 p :关于 x 的不等式 ( ) | x ?1| ? a 的解集为 ? ,命题 q :函数

9 “ p ? q ”为假,求实数 a 的取值 f ( x) ? lg[ax 2 ? (a ? 2) x ? ] 的定义域为 R ,若命题“ p ? q ”为真, 8
范围. 【知识点】指数与指数函数对数与对数函数 B6 B7 【答案解析】[8 , + ∞ ) ∪ (

1 , 1] 2

由题意得 p 和 q 中 有 且 仅 有 一 个 正 确

1 |x ? 1 | ) ≤1 , 求 得 a > 1 . 2 9 9 2 ② 若 q 正 确 , 则 ax +( a ? 2) x + > 0 解 集 为 R 当 a=0 时 , ? 2 x + > 0 不 合 , 舍 去 ; 8 8
① 若 p 正 确 , 则 由 0< ( 当 a≠ 0 时 , 则

?a ? 0 解得 ? ? ? 0 ?

1 < a< 8. 2

a ?1 ? ? a ?1 ? ? 或 ?1 ③∵p 和 q 中有且仅有一个正确,∴ ? , 1 a ? 或 a ? 8 ? a ? 8 ? ? ? 2 ?2
∴ a≥ 8 或

1 1 < a ≤1 . 故 a 的 取 值 范 围 为 [8 , + ∞ ) ∪ ( , 1] . 2 2 第03课 充分条件与必要条件

若 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 为奇函数”的 ▲ 条件(从“充分不必 要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中选一个) .必要不充分 )南京盐城模拟一)设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) ,b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? 件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 答案:必要不充分 (南通调研三) 给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件; ③“a?0”是“函数 f(x) ??x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 ▲ .
-6-

1 ”成立的 2





【答案】③ (南京三模)记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是 “x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 ▲ .(-∞,-3]
x 2 ?x (盐城三模) 若函数 f ( x) ? 2 ? k ? 3 ? 2 , 则 k ? 2 是函数 f ( x ) 为奇函数的

?

?



条件. (选填“充

分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)充分不必要 (南通四模) 设实数a ? 1 , b ? 1 ,则“a ? b ”是“ln a ? ln b ? a ? b ”成立的 ▲ 条件.

(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空) 充要
(南通中学期中) “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要不充分、充要” ) . 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案】充分不必要 已知集合 A ? { y y ? ?2 x , x ? [2,3]}, B ? { x x 2 ? 3 x ? a 2 ? 3a ? 0} (1)当 a ? 4 时,求 A ? B; (2)若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分不必要条件,求实数 a 的 取值范围. 条件(填“充分不必要、

(盐城期中)设函数 y ? lg(? x ? 4x ? 3) 的定义域为 A ,函数 y ?
2

(1)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
2 解: (1)由 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) ,

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1

…………2 分

2 2 2 , 2) ,即 B ? ( , 2) , …………4 分 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1 m ?1 2 当 m ? 2 时, B ? ( , 2) ,所以 A ? B ? (1, 2) . …………6 分 3 (2)首先要求 m ? 0 , …………8 分
又函数 y ?
-7-

而“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 B ? A ,即 (

2 , 2) ? (1,3) , …………10 分 m ?1
…………12 分 …………14 分

2 ? 1, m ?1 解得 0 ? m ? 1 .
从而

-8-



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