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08-第8课时 基本初等函数(I)



第 8 课时 基本初等函数(I)
教学目标
(1)了解并能选择使用二次函数的三种形式; (2) 了解二次函数在区间上的单调性和其开口方向及对称轴的关系, 并能熟练进行讨论; (3)能理解二次方程、二次函数及二次不等式的联系; (4)能将恒成立问题熟练转化为最值问题,并求相关的参量的取值范围问题. 课前预习 二次函数解析式 1.已知某二次函数的图象过点(-1,0

),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为 y=-x2 +2x+3 . 2. (1)已知二次函数的图象与 x 轴交于点(-2,0)和(1,0),则该函数的解析式可设为 y= a(x+2)(x-1) (a≠0). 如果该图象又 C(2, 4), 则该二次函数的表达式为 y=x2+x-2 . (2) 如果不等式 ax2+bx+c>0 的解集为区间(-1, 3), 从而 ax2+bx+c=a(x+1)(x-3) , 1 所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为_(-∞,-1)∪( ,+∞)_____. 3 3.如果函数 f(x)=x2+bx+c 满足:f(1+x)=f(-x),那么 f(-2),f(0),f(2)由小到大的排列 为______ f(0) <f(2) < f(-2)____. (用“<”连结) .

4.函数 f(x)=2x2-6x+3 在区间[-1,1]上的最小值是___-1____,最大值是___11______. 5. (1)函数 f(x)=ax2+ax-1<0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 (-4,0] .

(2)已知函数 y=2x2-(m+2)x+m+1 的值恒为非负实数,则实数 m 的取值范围是 [2 -2 2,2+2 2] 典型例题 3 3 3 例 1 已知 y=f(x)是 x 的二次函数, f(- +x)=f(- -x)对一切 x?R 恒成立, 且 f(- )=49. 方 2 2 2 程 f(x)=0 的两实根之差等于 7,求此二次函数的解析式. 解:方法一:设 y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0) , 3 3 3 b 3 由 f(- +x)=f(- -x)知 y=f(x)图象的对称轴是直线 x=- ,即- =- . 2 2 2 2a 2 4ac-b2 3 此时 f(- )的值就是图象顶点的纵坐标,即 =49. 2 4a 又方程 f(x)=0 的两实根之差|x1-x2|= (x1+x2)2-4 x1x2= ① ② b2-4ac b2-4ac , 即 =7. ③ |a| |a| .

由②知,a<0,①②③联立方程组解得 a=-4,b=-12,c=40. 所求二次函数的解析式是 y=f(x)=-4x2-12x+40. 3 3 3 3 方法二:由 f(- +x)=f(- -x),f(- )=49,所以抛物线的顶点坐标为(- ,49) . 2 2 2 2

3 据此,设 y=f(x)=a(x+ )2+49(a≠0) , 2 3 3 解方程 a(x+ )2+49=0,得 x1,2=- ± 2 2 所以|x1-x2|=2 49 - =7,解得 a=-4. a - 49 , a

3 所求二次函数解析式为 y=f(x)=-4(x+ )2+49=-4x2-12x+40. 2 3 3 3 方法三:由 f(- +x)=f(- -x),所以 y=f(x)图象的对称轴是直线 x=- , 2 2 2 又抛物线 y=f(x)的图象与 x 轴两交点关于其对称轴对称,由方程 f(x)=0 的两实根之差 3 7 3 7 等于 7,可知方程 f(x)=0 的两个根是 x1=- - =-5,x2=- + =-2, 2 2 2 2 3 据此设 f(x)=a(x+7)(x+2),由 f(- )=49,解得 a=-4. 2 所求二次函数解析式为 y=f(x)=-4(x+7)(x+2)=-4x2-12x+40.

例 2 已知函数 f(x)与 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)若函数 m(x)=g(x)-n f(x)+1 在区间[-1,1]上是增函数,求实数 n 的取值范围. 解: (1)设(x,y)是函数 g(x)的图象上的任意一点. 则(x,y)关于原点对称的点(-x,-y)一定在函数 f(x)的图象上.所以-y=(-x)2+2(-x), 即 g(x)=-x2+2x. (2)m(x)=g(x)-n f(x)+1=-(n+1)x2+2(1-n)x+1. 因为函数 m(x)=g(x)-n f(x)+1 在区间[-1,1]上是增函数,所以 ①当 n=-1 时,m(x)=4x+1 在区间[-1,1]上是增函数,所以 n=-1; 1-n ②当 n≠-1 时,函数 m(x)图象的对称轴方程是 x= . 1+n 1-n 1-n 当 n+1<0 时, ≤-1,解得 n<-1;当 n+1>0 时, ≥1,解得-1<n≤0. 1+n 1+n 综合①②,n≤0,即 n∈(-∞,0]. 选题意图:二次函数在给定区间上的单调性要注意考虑对称轴与区间的相对位置.

例 2 (1)求函数 y=x2+tx+1 在区间[-1,1]上的最值; (2)函数 f(x)=x2-4x-4 在区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t).试写出 g(t)的表 达式,作出 g(t)的图象,并求 g(t)的最小值. t 解: (1)函数 y=x2+tx+1 的对称轴为直线 x=- . 2 t 1° 若- ≤-1,即 t≥2 时,函数在[-1,1]上单调增,当 x=-1 时,ymin=2-t,当 x=1 时, 2

ymax=2+t; t t t2 2° 当-1<- <0,即 0<t<2 时,当 x=- 时,ymin=1- ,当 x=1 时,ymax=2+t; 2 2 4 t t t2 3° 当 0≤- <1,即-2<t≤0 时,当 x=- 时,ymin=1- ,当 x=-1 时,ymax=2-t; 2 2 4 t 4° 当- ≥1,即 t≤-2 时,函数在[-1,1]上单调减,当 x=1 时,ymin=2+t,当 x=-1 时, 2 ymax=2-t. (2)函数 f(x)=(x-2)2-8. 1° 当 t>2,函数 f(x)在区间[t,t+1]上是增函数,g(t)=f(t)=t2-4t-4; 2° 当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-8; 3° 当 t+1<2,即 t<1 时,函数 f(x)在区间[t,t+1]上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.

? ?t -2t-7,t<1, 所以 g(t)=?-8, 1≤t≤2, (图象略) ? ?t2-4t-4,t>2.
g(t)的最小值是-8.

2

第 8 课时 基本初等函数(I)
一元二次不等式 1.已知二次函数 y=f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值为 8,则不等式 f(x) >-1 的解集为__(-1,2)____. 2.已知不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是{x|x<2,或 x>3},则不等式 bx2+ax+c> 6 0 的解集是___{x|x<-1,或 x> }_____. 5 3. 设 a 为实数, 函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|, 若 f(0)≥1, 则 a 的取值范围是__(-∞, -1]___. 4.已知函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],且函数 f(x)的最小值是 f(a),则实数 a 的取值范围 是 (1,3] . 1 5.设函数 f(x)=x2+x+ 的定义域是[n,n+1](n∈N*),则在 f(x)的值域中整数的个数为 2n 2 +2. 6.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 1 .

7.若关于 x 的不等式 x2-4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是(-∞,- 3]. 1 8.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0, ]恒成立,则 a 的最小值是 2 5 - 2



9.在 R 上定义的运算※:x※y=x(1-y).若(x-a)※(x+a)<1 恒成立,则实数 a 的取值范 1 3 围是 (- , ) . 2 2 10.已知不等式 x4+2x2+a2-a-2≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是_(-∞,-1]∪[2, +∞)__.

11.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2, +∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)若 ax2+bx+c≤0 的解集是 R,求实数 c 的取值范围. 解: (1)根据题意,知道-3,2 是方程 ax2+(b-8)x-a-ab=0 的两根,且 a<0. b-8 -a-ab 1 所以- =-1, =-6.解得 a=-3,b=5.f(x)=-3x2-3x+18=-3(x+ )2 a a 2

75 + .所以 f(x)在[0,1]上是减函数.所以 f(x)max=f(0)=18,f(x)min=f(1)=12.所以 f(x)的值 4 域是[12,18]. 25 25 (2)若-3x2+5x+c≤0 的解集是 R,则△ =25+12c≤0,c≤- .c∈(-∞,- ]. 12 12 12.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,求 a 的值. a 解:f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2=4(x- )2-2a+2,x∈[0,2]. 2 a (1)当 <0,即 a<0 时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得 a=1- 2或 a=1+ 2(舍) ; 2 a a 1 (2)当 0≤ ≤2,即 0≤a≤4 时,f(x)min=f( )=-2a+2=3,解得 a=- (舍) ; 2 2 2 a (3) 当 >2, 即 a>4 时, f(x)min=f(2)=a2-10a+18=3, 解得 a=5+ 10或 a=5- 10 (舍) . 2 综上,a=1- 2或 a=5+ 10. 13.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方 程 f(x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n],如果存 在,求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由. 解: (1)因为二次函数 f(x)=ax2+bx 满足条件 f(-x+5)=f(x-3),所以函数 f(x)图象的对称 b 轴是直线 x=1.所以- =1,即 b=-2a.因为方程 f(x)=x 有等根,即 ax2-(2a+1)x=0 2a 有等根. 1 1 所以△ =(2a+1)2=0,即 a=- ,b=1.所以 f(x)=- x2+x. 2 2 (2)假设存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]. 1 ①当 m<n<1 时,f(x)在[m,n]上单调递增,f(m)=3m,f(n)=3n,所以 m,n 是- x2+x= 2 3x 的两根. 解得 m=-4,n=0; 1 1 ②当 m≤1≤n 时,3n= ,解得 n= ,不符合题意; 2 6 ③当 1<m<n 时,f(x)在[m,n]上单调递减,所以 f(m)=3n,f(n)=3m. 1 1 1 即- m2+m=3n,- n2+n=3m.相减得到- (m2-n2)+(m-n)=3(n-m). 2 2 2 1 1 因为 m≠n,所以- (m+n)+1=-3.m+n=8.将 n=8-m 代入- m2+m=3n, 2 2 1 得到- m2+m=3(8-m),无解. 2 所以 m=-4,n=0 时,f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]. 选题意图:本题综合考虑二次函数的单调性和最值,注意分类讨论.



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