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黄冈中学高考数学典型例题11---函数综合问题


弑神者高考数学知识点
●难点磁场 (★★★★★)设函数 f(x)的定义域为 R, 对任意实数 x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=-4. (1) 求证:f(x)为奇函数; (2) 在区间[-9,9]上,求 f(x)的最值.

●案例探究 [例 1]设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈[0, ],都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且 f(1)=a>0.
1 2 1 1 (1)求 f( )、f( ); 2 4

(2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(n+
1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n

命题意图: 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极 限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托: 认真分析处理好各知识的相互联系, 抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2) 找到问题的突破口. 错解分析:不会利用 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形. 技巧与方法:由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问题的关键. (1) ≥0, x∈[0,1]
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )·f( )=[f( ) ]2 2 4 4 4 4 4

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

解: 因为对 x1,x2∈ [0, ] ,都有 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2),所以 f(x)= f ( ? ) ? f ( )

1 2

x 2

x 2

x 2

又因为 f(1)=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

1 2

又 f(1)=a>0
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1 1 1 ∴f( )=a 2 ,f( )=a 4 2 4

1

(2)证明:依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x),即 f(x)=f(2- x),x∈R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R. 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个 周期. (3)解:由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1] ∵f( )=f(n· =…… =f(
1 1 1 )·f( )·……·f( ) 2n 2n 2n
1

1 2

1 1 1 1 1 )=f( +(n-1) )=f( )·f((n-1)· ) 2n 2n 2n 2n 2n

1 =[f( )]n=a 2 2n

∴f(

1 )=a 2n . 2n

1

又∵f(x)的一个周期是 2
1 1 ∴f(2n+ )=f( ),因此 an=a 2n 2n 2n
1

∴ lim (ln an ) ? lim (
n?? n??

1 ln a) ? 0. 2n

[例 2]甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学

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生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力. 知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法. 错解分析: 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的 限制条件. 技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价. 解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 成本为 y=a·
S S a +bv2· =S( +bv) v v v a +bv),v∈(0,c ] . v S ,全程运输 v

∴所求函数及其定义域为 y=S(

(2)依题意知,S、a、b、v 均为正数 ∴S( +bv)≥2S ab 当且仅当 ymin; 若
a a a >c,则当 v∈(0,c ] 时,有 S( +bv)-S( +bc) b v c

a v



a a a a =bv,即 v= 时,①式中等号成立.若 ≤c 则当 v= 时,有 b b b v

=S[(

a a S - )+(bv-bc)]= (c-v)(a-bcv) v c vc

∵c-v≥0,且 c>bc2,∴a-bcv≥a-bc2>0
a +bc),当且仅当 v=c 时等号成立,也即当 v=c 时,有 ymin; c ab ab 综上可知, 为使全程运输成本 y 最小, 当 ≤c 时, 行驶速度应为 v= , b b ab 当 >c 时行驶速度应为 v=c. b

∴S( +bv)≥S(

a v

解法二:(1)同解法一.
k (k>0),x∈(0,+∞),当 x∈(0, k )时, y 单调减小, 当 x∈( k ,+ x a ∞)时 y 单调增加, 当 x= k 时 y 取得最小值, 而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ b ),v v

(2)∵函数 y=x+

∈(0,c ] .

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∴当 结论同上.

a a a ≤c 时,则当 v= 时,y 最小,若 >c 时,则当 v=c 时,y 最小. b b b

一、选择题 1.(★★★★)函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )

2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区 间[0,+∞)的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ① f(b) - f( - a)>g(a) - g( - b) ② f(b) - f( - a)<g(a) - g( - b) ③ f(a) - f( -

b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是( A.①与④ ) B.②与③ C.①与③ D.②与④

二、填空题 3.(★★★★)若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根, 则实数 a 的取值范围是 _________.

三、解答题 4.(★★★★)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值.
1 1? x . ? lg x ?1 1? x

5.(★★★★★)设 f(x)=

(1)证明:f(x)在其定义域上的单调性; (2)证明:方程 f-1(x)=0 有惟一解;
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(3)解不等式 f[x(x- )]< .

1 2

1 2

6.(★★★★★)定义在(-1, 1)上的函数 f(x)满足①对任意 x、 y∈(-1,1),都有 f(x)+f(y)=f(
x? y );②当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0. 1 ? xy
1 5 1 11 1 1 )? f( ). 2 n ? 3n ? 1
2

求证: f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米 的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建 造单价为每米 400 元, 中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每 平方米 80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关系式,并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最 低总造价.

8.(★★★★★)已知函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,且在(0,+∞)上是 增函数,f(1)=0,又 g(θ )=sin2θ -mcosθ -2m,θ ∈[0, ∈R},N={m|f[g(θ )]<0},求 M∩N.
?
2

],设 M={m|g(θ )<0,m

参考答案 (1)证明:令 x=y=0,得 f(0)=0 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2) 解: 1°,任取实数 x1、 x2∈ [-9,9] 且 x1<x2,这时, x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=f
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[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1) 因为 x>0 时 f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在[-9,9]上是减函数 故 f(x)的最大值为 f(-9),最小值为 f(9). 而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12. ∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为 12,最小值为-12.

一、1.解析:分类讨论当 a>1 时和当 0<a<1 时. 答案:C 2.解析:用特值法,根据题意,可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1, 则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3. g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1 -2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=- 1. 又 f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3. g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b). 即①与③成立. 答案:C

二、3.解析:设 2x=t>0,则原方程可变为 t2+at+a+1=0 ①
?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? 方程①有两个正实根,则 ?t1 ? t 2 ? ?a ? 0 ?t ? t ? a ? 1 ? 0 ?1 2

解得:a∈(-1,2-2 2 ] . 答案:(-1,2-2 2 ]

三、4.解:(1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数 f(x)既 不是奇函数也不是偶
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函数. (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ ,若 a≤ ,则函数 f(x)在 (-∞,a ] 上单调递减,从而,函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1.
1 2 1 3 1 ②当 x≥a 时, 函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ ;当 a≤- 时, 则函数 f(x) 2 4 2 1 3 1 1 在[a,+∞ ) 上的最小值为 f(- )= -a,且 f(- )≤f(a).若 a>- , f(x) 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2

若 a> ,则函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a).

1 2

1 2

3 4

在[a,+∞)上单调递增,从而,函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a2+1. 综上,当 a≤- 时,函数 f(x)的最小值是 -a,当- <a≤ 时,函数 f(x) 的最小值是 a2+1;当 a> 时,函数 f(x)的最小值是 a+ .
?1 ? x ?0 ? ? ?x ? 2 ? 0

1 2

3 4

1 2

1 2

1 2

3 4

5.(1)证明:由 ?1 ? x

得 f(x)的定义域为(-1,1),易判断 f(x)在(-1,1)

内是减函数. (2)证明:∵f(0)= ,∴f--1( )=0,即 x= 是方程 f--1(x)=0 的一个解.若方程 f--
1

1 2

1 2

1 2

(x)=0 还有另一个解 x0≠ ,则 f--1(x0)=0,由反函数的定义知 f(0)=x0≠ ,与已知矛

1 2

1 2

盾,故方程 f--1(x)=0 有惟一解. (3)解:f[x(x- )]< ,即 f[x(x- )]<f(0).
1 ? ?? 1 ? x( x ? 2 ) ? 1 1 ? 15 1 1 ? 15 ? ?? ? ? x ? 0或 ? x ? . 4 2 4 ? x( x ? 1 ) ? 0 ? 2 ? x? y 6.证明:对 f(x)+f(y)=f( )中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y=-x,又得 1 ? xy

1 2

1 2

1 2

f(x)+f(-x)=f(0)=0,即 f(-x)=-f(x),∴f(x)在 x∈(-1,1)上是奇函数.设-1<x1<x2<0,则 f(x1) -f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1 ? x2 x ?x ),∵-1<x1<x2<0,∴x1-x2<0,1-x1x2>0.∴ 1 2 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

<0,于是由②知 f(

x1 ? x2 ) 1 ? x1 x2

>0,从而 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在 x∈(-1,0)

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上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知 f(x)在 x∈(0,1)上仍是递 减函数,且 f(x)<0.
1 1 1 ( n ? 1)( n ? 2) ?f( 2 )? f[ ]? f[ ] 1 ( n ? 1)( n ? 2) ? 1 n ? 3n ? 1 1? ( n ? 1)( n ? 2) 1 1 ? 1 1 ? f ( n ?1 n ? 2 ) ? f ( )? f ( ) 1 1 n ?1 n?2 1? ? n ?1 n ? 2 1 1 1 ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( 2 ) 5 11 n ? 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( )? f ( )] ? f ( ) ? f ( ), 2 3 3 4 n ?1 n?2 2 n?2 1 1 ?0 ? ? 1时, 有f ( ) ? 0, n?2 n?2 1 1 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ), 故原结论成立. 2 n?2 2

7.解:(1)因污水处理水池的长为 x 米,则宽为

200 米,总造价 y=400(2x+2× x

200 200 324 )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件 x x x
?0 ? x ? 16, ? ? 200 0? ? 16 ? x ?

解得 12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5,16].
324 )+16000 在[12.5,16]上的单调性,对于任 x
1 1 ? )] x2 x1

(2)先研究函数 y=f(x)=800(x+

意的 x1,x2∈[12.5,16],不妨设 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=800[(x2-x1)+324(

=800(x2-x1)(1-

324 324 ),∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0<x1x2<162<324,∴ >1,即 1- x1 x 2 x1 x 2

324 <0.又 x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1),故函数 y=f(x)在[12.5,16]上 x1 x 2

是减函数.∴当 x=16 时, y 取得最小值, 此时, ymin=800(16+
200 200 =12.5( ? x 16

324 )+16000=45000(元), 16

综上, 当污水处理池的长为 16 米, 宽为 12.5 米时, 总造价最低, 最低为 45000

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元. 8.解:∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函 数. 又 f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,从而,当 f(x)<0 时,有 x<-1 或 0<x<1, 则集合 N={m|f[g(θ )]<θ = } ={m|g(θ )<-1 或 0<g(θ )<1 } , ∴ M ∩ N={m|g( θ ) <- 1 } . 由 g( θ ) <- 1, 得 cos2 θ >m(cos θ - 2)+2, θ ∈ [0,
? ] ,令 x=cosθ ,x∈ [0,1] 得: x2>m(x-2)+2,x∈ [0,1] , 令①: y1=x2,x∈ [0,1] 2

及②y2=m(m-2)+2,显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标 系内由 x∈[0,1]得 y1>y2.∴m>4-2 2 ,故 M∩N={m|m>4-2 2 }.

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