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直线与圆高考题解析版


直线与圆高考专题
一、选择题 1 . (2013 年高考重庆卷(文) )设 P 是圆 ( x ? 3)
2

? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ

( ) C.3 D.2 【答案】B 2 . (2013 年高考江西卷(文) )如图.已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为

的最小值为 zhangwlx A.6 B. 4

【答案】B 3 . (2013 年高考天津卷(文) )已知过点 P( 2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切 , 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂

直, 则 a ? A. ?
1 2

( B.1 C.2 D.
1 2



【答案】C 4 . (2013 年高考陕西卷(文) )已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系

是 A.相切

( B.相交 C.相离 D.不确定【答案】B



5 . ( 2013 年高考广东卷(文) ) 垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆

x2 ? y 2 ? 1 相切于第一象限的直线方程是
( )

A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 【答案】A

7. 【2012 高考安徽文 9】若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a)

2

? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是

(A) [-3,-1] (C) [ -3,1]

(B)[-1,3] (D) (- ? ,-3]U[ 1 ,+ ? ) 【答案】C
2

8.【2012 高考重庆文 3】设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x

? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |?

(A)1

(B) 2

(C) 3
2 2

(D)2【答案】D

9.【2012 高考辽宁文 7】将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是

(A)x+y-1=0

(B) x+y+3=0 (C)x-y+1=0 (D)x-y+3=0【答案】C
2 2

10. 【2012 高考湖北文 5】过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分,使.这两部分的面

积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0
二、填空题

【答案】A

11 . (201 3 年高考四川卷(文) )在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) , B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) 的距离之和最

小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 12 ( .2013 年高考江西卷 (文) ) 若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y= 1 相切,则圆 C 的方程是______ ___.
【答案】 ( x ? 2) ? ( y ?
2

3 2 25 ) ? 2 4

13 . (2013 年高考湖北卷 (文) ) 在平面直角坐标系中,若点 P( x, y ) 的坐标 x , y 均 为整数,则称点 P 为格点. 若

一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为 S ,其内部的格点数记 为 N ,边界上的格点数记为 L . 例如图中△ ABC 是格点三角形,对应的 S ? 1 , N ? 0 , L ? 4 . (Ⅰ)图中格点四边形 DEFG 对应的 S , N , L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为 S ? aN ? bL ? c , 其中 a,b,c 为常数 . 若某格点多边形对应的
N ? 71 , L ? 18 , 则 S ? __________(用数值作答).

(Ⅱ)79 2 2 14. (2013 年高考浙江卷(文) )直线 y=2x+3 被圆 x +y -6x-8y=0 所截得的弦长等于__________.
【答案】 4

【答案】(Ⅰ)3, 1, 6

5
2

15. (2013 年高考山东卷(文) )过点(3,1)作圆 ( x ? 2) 【答案】 2
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为__________

2
2 2

16.【2012高考浙江文17】定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:

y=x +a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______.

【答案】

7 4
0 ? ( ?4) 2 ? 2 2 ,故曲线

【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为: d ? C2到直线l:y=x的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 . 另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ? 2 x ? 0 ,得: x ?
1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 点为( , ? a ), d ? ? 2 ? ? 2 4 2 2
17.【2012 高考江西文 14】过直线 x+y-

1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离的 2

?

a?

7 . 4

=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°,

则点 P 的坐标是__________。

【答案】 ( 2 , 2 )

【解析】如图:

由题意可知 ?APB ? 60 ,由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,在直角三角形 OBP
0 0

中 , OP ? 2OB ? 2 , 又 点 P 在 直 线 x ? y ? 2 2 ? 0 上 , 所 以 不 妨 设 点 P ( x,2 2 ? x) , 则

OP ? x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 , 即 x2 ? (2 2 ? x)2 ? 4 ,整理得 x 2 ? 2 2 x ? 2 ? 0 ,即 ( x ? 2 )2 ? 0 , 所以

x ? 2 ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 。

法二:如图:

由题意可知 ?APB ? 60 ,由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,在直角三角形 OBP 中,
0

0

OP ? 2OB ? 2 , 又 点 P 在 直 线 x ? y ? 2 2 ? 0 上 , 所 以 不 妨 设 点 P ( x,2 2 ? x) , 则

OP ? x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 d ?

?2 2 2

? 2 , 所 以 OP 垂 直 于 直 线

? ?x ? y ? 2 2 ? 0 ?x ? 2 ,解得 ? ,即点点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 。 x ? y ? 2 2 ? 0 ,由 ? ? y ? 2 ?y ? x ?
18.【2012 高考江苏 12】在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少

存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 【答案】

4 。 3

19.【2012 高考天津文科 12】 设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B,且 l

与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为 【答案】3
三、解答题 20. (2013 年高考四川卷(文) )



已知圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且
【答案】解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x
2

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的函数. ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2
8k 1? k
2

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 5k 2 ? 3

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 ? , 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5


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