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高数一(上)试题B与答案


《高等数学Ⅰ》试题 B 与答案
一、单项选择题(选择正确答案的字母填入括号,每小题 3 分,共 18 分) 1.极限 lim x sin
x ??

e ?( x

) (C) 0 ) (D) ?

(A) 1

(B) e

2 ? ? x ? 1, x ? 0 2.函数 f ( x) ? ? x 在点 x ? 0 处( e , x ? 0 ? ?

(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导 (D)可导 3.若 f (2e x ) ? x ,则 f ?( x) ? ( (A) ) (C) ) (C) m ? n
m n

1 x

(B)

2 x

1 2x

(D)

1 x ln 2

4.设自然数 m, n 满足 m ? n ? 3 ,则( (A) m ? n
m n

(B) m ? n
n

m

(D) m ? n
n

m

5.设函数 f ( x ) 连续, ?( x) ?

?

ln x

1 x

f ( x)dt ,则 ??( x) ? (



1 1 1 1 f (ln x) ? 2 f ( ) (B) f (ln x) ? f ( ) x x x x 1 1 1 1 (C) f (ln x ) ? 2 f ( ) (D) f (ln x) ? f ( ) x x x x x 6.设 f ( x ) ? 在 (??, ??) 连续,且 lim f ( x) ? 0 ,则必有( x ??? a ? ebx
(A) (A) a ? 0, b ? 0 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1.曲线 y ? x ? x 在拐点处的切线方程是___________ .
3



(B) a ? 0, b ? 0 (C) a ? 0, b ? 0 (D) a ? 0, b ? 0

2.函数 f ( x) ? 2 的 n 阶麦克劳林展开式中,项 x 的系数是_________ .
x
n

3.定积分

?

1

?1

( x ? x)e? x dx ?
x 2x

2



4.通解为 y ? C1e ? C2e

? 1 的二阶线性常系数非齐次微分方程是_______ ___ .

5.设一质量为 M 的匀质细棒位于 x 轴的区间 [?1,1] 上,另有单位质点位于 x ? 2 点处.则细棒对单 位质点的引力的大小为__________. 三、计算题(每小题 7 分,共 42 分)

sin 3 x 1.求极限 lim . x ?0 x ? arctan x
《高等数学Ⅰ》试题 B 与答案第 1 页(共 3 页)

2.设参数方程 ?

? x ? sin t ? t cos t d2y ,求二阶导数 2 . dx ? y ? cos t ? t sin t

3.设函数 y ? y ( x) 由 2 y ? xy 2 ? ex ? 5 所确定,求 y? 及 dy x ?0 .

4.求广义积分

?

??

1

1 dx . x (1 ? x)

5.设函数 f ( x ) 的一个原函数为 ln x ,求定积分

2

?

e

1

xf ?( x)dx .

6.求微分方程 y? ? y cos x ? e?sin x 满足 y (? ) ? ? 的特解.

四、综合题(每小题 9 分,共 18 分) 1. 设 f ( x) ? nx(1 ? x)n (其中 n 为正整数)在 [0,1] 上的最大值为 M (n) , 求 lim M ( n) .
n ??

2.设曲线 y ? x , y ? ax (0 ? a ? 1) 所围成的平面图形 D 的面积为
2 3

2 . (1)求 a ; (2)求图形 D 绕 3

x 轴旋转而成的体积.

五、证明题(按规定专业选做 1 小题,共 7 分) 1. (计算机、电信、软件、电气、电科专业做) 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 可导,且满足 f (1) ? 2 求证:存在 ? ? (0,1) ,使得 f ?(? ) ? ?

?

1 2 0

xf ( x) dx .

1

?

f (? ) .

2. (非计算机、电信、软件、电气、电科的专业做)
《高等数学Ⅰ》试题 B 与答案第 2 页(共 3 页)

设 f ( x ) 在 [0, 2] 上连续,在 (0, 2) 可导,且满足 f (1) ? 1, f (2) ? ?1 . 求证:存在 ? ? (0, 2) ,使得 ? f ?(? ) ? f (? ) ? 0 .

答案: 一、单项选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.B. 2.C. 3.A. 4.B. 5.A. 6.D. 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1. y ? x . 2.

1 (ln 2) n ?1 . 3. 1 ? e . 4. y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2 . 5. GM . 3 n!

三、计算题(每小题 7 分,共 42 分) 1. 3 . 2.

3 ? ? csc2 t y2 ? ex . 3. y? ? ; dy x ?0 ? dx . 4. . 2 2 t sin t 2(1 ? xy)

5. 1 .

6. y ? xe? sin x .

四、综合题(每小题 9 分,共 18 分) 1. e . 2 . (1) a ?
?1

1 64 ?. ; (2) 2 35

五、证明题(按规定专业选做 1 小题,共 7 分) 1. (计算机、电信、软件、电气、电科专业做) 提示:先利用积分中值定理,后利用罗尔定理. 2. (非计算机、电信、软件、电气、电科的专业做) 提示:先利用零点定理,后利用罗尔定理.

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