9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

抛物线定义及标准方程



个性化学案

拋物线及其标准方程
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 全国 拋物线的定义 拋物线的标准方程及其推导 拋物线标准方程中 p 的几何意义

适用年级
课时时长(分钟)

高二 60

教学目标

1.理解拋物线的定义,掌握拋物

线的标准方程及其推导。明确拋物线标准 方程中 p 的几何意义,能解决简单的求拋物线标准方程问题。 2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较,体会三种圆锥曲线内在的 区别和联系。 3、熟练掌握求曲线方程的基本方法,通过四种不同形式标准方程的对比, 培养学生分析、归纳的能力。

教学重点 教学难点

拋物线的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方 程的讨论选择突出重点 拋物线概念的形成。通过条件 e ? 1 的画法设计,标准方程与二次函数的比 较突破难点

个性化学案

一、 复习预习
复习双曲线的基本性质,标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解
(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线—— 抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.

请大家思考两个问题:

问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识?

在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图 象?

问题 2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征?

在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情 形.

引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴,那么就不能作为二次函数 的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线.

(二)抛物线的定义

1.回顾

个性化学案

平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线?

2.简单实验

如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条直角边紧 靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A, 截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F;用一支铅笔扣着绳子, 紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧, 然后使三角板紧靠着直尺左右滑动, 这样铅笔就描 出一条曲线, 这条曲线叫做抛物线. 反复演示后, 请同学们来归纳抛物线的定义, 教师总结.

3.定义

这样,可以把抛物线的定义概括成:

平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.

(三)抛物线的标准方程

个性化学案

设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0). 下面, 我们来求抛物线的方程. 怎 样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢?

让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案:

方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)

以 l 为 y 轴, 过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30). 设定点 F(p, 0), 动点 M 的坐标为(x, y), 过 M 作 MD⊥y 轴于 D, 抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0).

方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板)

以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为 (x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为:

p={M||MF|=|MD|}.

个性化学案

化简得:y2=2px+p2(p>0).

方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.)

取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

个性化学案

化简后得:y2=2px(p>0).

比较所得的各个方程,应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢?

引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不 仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍.

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):

个性化学案

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四 种情形中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为 y2;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右端为± 2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时, 取负号.

个性化学案

三、 例题精析
例、(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.

方程是

x2=-8y.

个性化学案

例 2、根据下列所给条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(3,0);

(3)焦点到准线的距离是 2.

答案是:(1)y2=12x;(2)y2=-x;(3)y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y.

个性化学案

四、课堂运用
【基础】 1. (2009 年高考四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是________

答案:2 解析:解析:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线 x=-1. ∴焦点到准线的距离为 2.

个性化学案

【巩固】 例题:分别求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

答案: 解析:解:(1)设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0),则将点(-3,2)代入方程得 2p= 4 9 4 9 或 2p= ,故抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 3 2 3 2 (2)①令 x=0,由方程 x-2y-4=0,得 y=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). p 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则由 =2,得 2p=8. ∴所求抛物线方程为 x2=-8y. 2 ②令 y=0,由方程 x-2y-4=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为 F(4,0). p 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则由 =4,得 2p=16.∴所求抛物线方程为 y2=16x. 2 2 综上,所求抛物线方程为 y =16x 或 x2=-8y.

个性化学案

【拔高】 例、已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点

的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), 则准线方 因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x. 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

个性化学案

课程小结
本节课用不同的活动环节涵盖整个教学的过程,设计理念务实、新颖。教学目标中的知 识与能力等目标的定位鲜明清晰。并能以此目标为主旋律,贯通教学全过程。教学重点与难 点的掌握比较准确;教学过程中的铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索,推导方程以 及等环节连接也基本流畅,与学生的认知起点与整体水平相吻合;学习内容丰富充实,教师 能较好地把握课堂的教学活动, 教学情境的设置也有利于启迪学生的思维。 计算机辅助课堂 教学使数形结合的数学思想得到传递; 信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的 理解和掌握。师生共同诠释和描述的抛物线的形成,使学生对知识的发生、发展以及延伸的 过程有更深刻的理解。

个性化学案

课后作业
【基础】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

答案: 4 解析: (1)设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0),则将点(-3,2)代入方程得 2p= 或 3 9 4 9 2p= ,故抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 2 3 2 (2)①令 x=0,由方程 x-2y-4=0,得 y=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). p 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则由 =2,得 2p=8. ∴所求抛物线方程为 x2=-8y. 2 ②令 y=0,由方程 x-2y-4=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为 F(4,0). p 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则由 =4,得 2p=16.∴所求抛物线方程为 y2=16x. 2 综上,所求抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-8y.

个性化学案

【巩固】若抛物线 y =-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求 抛物线方程和 M 点的坐标.
2

p p 解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点 F(- , 0). 则准线为 x= .设 M 到准线的距离为|MN|, 2 2 p 则|MN|=|MF|=10,即 -(-9)=10,∴p=2. 故抛物线方程为 y2=-4x. 2 将 M(-9,y),代入抛物线方程得 y=± 6. 故 M(-9,6)或 M(-9,-6).

个性化学案

3 【拔高】已知抛物线 C 的焦点 F 在 x 轴的正半轴上,点 A(2, )在抛物线内.若抛物线上一 2 动点 P 到 A、F 两点距离之和的最小值为 4,求抛物线 C 的方程.

p 解析: 解: 设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 其准线为 x=- , 过 P 点作抛物线准线的垂线, 2 垂足为 H(图略), 由定义知, |PH|=|PF|.∴|PA|+|PF|=|PA|+|PH|, 故当 H、 P、 A 三点共线时, p |PA|+|PF|最小. ∴|PA|+|PF|的最小值为 +2=4,p=4, 即抛物线 C 的方程为 y2=8x. 2

个性化学案

【拔高】动圆 M 经过点 A(3,0)且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

解:设圆 M 与直线 l 相切于点 N. ∵|MA|=|MN|,∴圆心 M 到定点 A(3,0)和定直线 x=-3 的距离相等.根据抛物线的定义,M 在以 A 为焦点,l 为准线的抛物线上. p ∵ =3,∴p=6. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x. 2



更多相关文章:
抛物线定义及其标准方程
抛物线定义及其标准方程》_数学_高中教育_教育专区。抛物线及其标准方程一、教学目标 1.知识目标:①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导;②掌握焦点、焦点 位置...
抛物线定义标准方程及几何性质
6 x ,求它的焦点坐标和准线方程; 抛物线定义标准方程及几何性质 〖学习目的〗1、掌握抛物线定义标准方程及性质; 2、会用定义、性质解决简单问题;会求...
抛物线标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学 复习 抛物线抛物线标准方程及性质 一、抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的...
抛物线定义及其标准方程教学设计
抛物线定义及其标准方程教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。抛物线定义及其标准方程【课题】 《抛物线及其标准方程》太白县太白中学 张鑫 北师大版选修 1-1 ...
抛物线定义标准方程
抛物线定义标准方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《抛物线定义标准方程》练习题(一)一、选择题 1、 抛物线 y 2 = x 的焦点坐标是( A (1,0)...
抛物线定义及其标准方程教案(公开课必用)
北京市垂杨柳中学特级教师进校园指导活动 研究课教学方案 (2015.11.16 周一) 课 题:抛物线及其标准方程 突破重点:抛物线定义及其标准方程。通过学生自主建系和 ...
抛物线定义及标准方程
圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线—— 抛物线,以及它的定义标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”. 请大家思考两个问题: 问题 1:同学们对抛物线已有了...
抛物线定义及标准方程 菁优网
抛物线定义及标准方程一.选择题(共 20 小题) 2 1. (2014 秋?延边州校级期末)AB 是抛物线 y =2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是(...
抛物线及其标准方程
2、 教学目标 (1) 知识目标 ①理解抛物线定义,掌握抛物线标准方程及其推导。 ②明确抛物线标准方程中 P 的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题。 (2)...
抛物线及标准方程
课题:抛物线及其标准方程 概念探究 与 课堂学案 学习目标:掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形. 重点难点: 重点:抛物线定义及标准方程 难点:抛物线的定义、标准 ...
更多相关标签:
抛物线的标准方程    抛物线标准方程    抛物线的标准方程ppt    抛物线及其标准方程    抛物线的标准方程教案    抛物线的四种标准方程    抛物线的标准方程公式    抛物线标准方程推导    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图