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复数四则运算的教学实录



2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 1 期

数学通报

复数四则运算的教学实录
蒋爱国
( 江苏兴化楚水实验学校 设计背景 2 2 5 7 0 ) 0

是集合中的 元素, 那么就说集合M对于运算f 是“ 封闭

在体      荟数系的 发展过程中, 理解复数意义的 基

r />础上, 实现让学生掌握复数代数形式的四则运算这 一教学 目 标是很容易实现的, 但新课程理念下的教 学要求远不止这些它更要学生在丰富、 现实的与他 们的经验紧密联系的背景中感受数学、 建立数学、 运用数学让学生在恰当的情景中观察、 操作、 探究、 运用、 感悟并获得数学知识与思想方法. 在知识的 发生、 发展与运用过程中, 培养学生的思维能力、 创 新能力、 应用意识. 本课进行了一些新的尝试.
教学描述

的 . " 已 知 集 合 M 一 { x } x 一 。 + b 涯 , 。 , b 任 Q } , 试 验
证M对于加法、 减法、 乘法和除法( 除数不为0 )运算是 封闭的. ( 教材前一节习题的思考、 运用) 在未作任何说明、      铺垫的情况下, 请 四位同学 板演分别就四种运算进行论证( 1 、 暴露问题: 学生 已习惯在教师的说明、 铺垫下理解题意, 独立面对 新问题束手无策; 2 、 为猜想复数运算法则作铺垫)

生1 设x      =a , +b ; 涯, y =内+认 在 ( a , , l b ,
a : , 瓦任Q ) 则x +y =( a , +内) +( 占 , +b Z ) 涯一
因为a : , b ; , 兔而 任Q , 所以a , +a : 任Q , l+瓦 e b Q , 所以x +yeM .

课题:      复数的四则运算

     目标要求: (      请同学 1 说明题意: 集合对于加法封闭性, 相 (      ) 理解复数代数形式的四则运算法则, 1 能进 当于对任意x , y eM, 验证x +y 任的 . 行复数代数形式的加、 减、 乘法运算. 归纳出“ 合并 ‘ 生2 设x      =a , +b l 万, y =a : +瓦 叔 ( a : , l b , 同类” 的思想. a Z , 瓦任Q ) 则x 一夕 二( a , 一a Z ) +( 阮一b Z ) 概 2) (      通过对问题的探究, 类 比猜想出复数的四 因为a , , b l , a : , 瓦 eQ , 所以a , 一a : 任Q , l一b b Z任 则运算的法则, 培养学生的思维能力、 推理能力. 提 Q , 所以x 一y任M . 高阅读理解和解决问题的能力. (      请学生 2 解释错误原因: 目标把握不够准确) 教学重点:     

复数的加、      减、 乘法运算法则及其运用.
     能力培养措施: (      ) 解决问题能力: 1 引导学生重视理解题意, 紧 扣目标, 解决问题. 2) (      思维能力: 让学生在已有知识的基础上, 通 过类比\ 联想建构数学, 应用数学.
教学过程

生3 设x      =a l +认 涯, y =a Z + 瓦 涯 ( a , , l b ,

a Z , 瓦 任Q ) 则

x          ? y 一( a , + 伪 万) ( 可+ 瓦 万)
=(          a , a : +2 吞 : Z b ) +( a ; 瓦+a Z l b ) 在
     因为a : , l, b a : , 瓦任Q , 所以a l a : 十Z l b 瓦 任Q , a l 瓦十几b l 任Q , 所以x? yeM .

生4 设x      二a l + b l 涯, y 二a Z +瓦 在 ( a , , l b ,
山, 瓦 任Q ) 则

一 二二二

     复数的四则运算 板书课题: 师:      看了课题, 能说说本节课的研究内容吗? 生:      在复数范围内进行加、 减、 乘、 除四则运算 师:      我们上节课了解了数系的扩充, 提到数集 相对于某种运算的“ 封闭性” , 我们一起看如下问 题: 设 M 是一个非空集合, f是一种运算. 如果对于 集合 M 中任意两个元素P 、 q , 实施运算 了的结果仍

a , +石 , 万
a Z +认万



一 了 坚 鱼 牛 立 返、 ’ … … 、    a : +b Z了 2 1

( 到此学生 4 无法继续下去) (      请学生 4 分析错误原因: 题意把握不清, 没有

x - y

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数学通报 师 生

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 1 期

理解题意, 另对于含字母的分母有理化不熟悉) 师 反思这个问题的解决过程,      我们获得什么 宝贵的经验? 生 认真阅读题 目,      理解题意, 紧紧盯住 目 标! ( 引导学生从挫折中汲取经验, 让失败更有价值)      师 很好! 解决问题就是要把握现有的, 咬定 目标并为之不懈的努力 !

请哪一位同学表述一下解决问题的依据. 只须证明等式两边实部与虚部分别相等. ( 即复数相等的充要条件, 锻炼学生进行提炼、 表达

‘ 的能力)
     师 为什么称减法是加法的逆运算? 因为我们 是这样定义减法:      若 x +b =a 称x为a与b 的差, 记作 a 一b , 能 这样定义复数的减法吗? (培养学生的理论修养) 生 若2      十跳=2 , , 则称 2 为2 1 与 跳的差, 记 作2 1 一碗.

     师 现有2 , =a +友 两 =‘ +凌, 请你猜想2      1+跳 =? 1一跳=? 2
生:      1+跳= ( 2 a 十c )+( b+d i, ) .
2          ; 一跳 今 ( a 一c ) +( b 一d ) 1 。

     师 这是一种什么样的推理? ( 引导学生有意 识地回顾、 应用已有的知识技能) 生 合情推理,      合情推理中的类比推理. 师 这种推理的最大作用是什么?      学生齐答:      猜测结论, 寻求方向 师 那么我们根据什么类比出这样的运算结     
果呢?

     师 若2 : =a +阮, 2=‘ +成, 设2 二x +少, 由2          +跳=2 1 得x +少+。 +凌=a +友 ,
所以x= a 一‘ , y“ b 一d ,

生 1 前一个问题中集合 M 中任两个元素的     

加 减 运 算 如 : M一{ x l x 一 a + b 涯, a , b 任 Q ) 中
任两个元素的加减法.

生2 向量的坐标运算如:      m“成 +b j, n =d +
j, d 则 m+n m一几

     生 3 多项式运算如: ( x +勿) a 士( 二+办) . 师 是的,      根据这些, 我们有理由 类比出两个 复数加减法的 运算法则, 大家能归纳一下这类运算
的共性吗? ( 引导学生学会及时的整理总结, 更好地 进行知识建构) 有点像合并同类项. 非常好! 这就是“ 合并同类” 的思想. 我们 知道类比推理最大的作用是猜测结论, 寻求方向,

         所以x 十少 = ( a一c )+( b一d )i 师 以后我们求两个复数的差可以用我们的      法则亦可以用以上的方法, 同学们知道以上方法叫 什么方法吗? 生 待定系数法      师 待定系数法在本章中是一种重要的方法,      特别是在复数集中解方程时, 作用很大, 是一种通 法( 让学生重视基本技能的应用) 例 1 计算(      1 一3 1 ) 一( 2 十5 艺 ) +( 一4 +9 1 ) ( 进 一步感受加减法的法则规律, 学生口答) 师 下面我们一起来研究一下复数集中任意      两个复数的乘法法则, 从多项式乘法的引例, 能否 猜测乘法法则. 生 能,      2 : =a +友, 跳=‘ +凌, 2 , 勾二 ( 二一
似) +( 心 + 份) 1

我们还有更有力的依据吗?
生     

     师 数系扩充遵循的法则之一是保持原有的 运算规律不变! 所以我们可以这样类比. 事实上复 数的加减法运算确实是这样规定的. 并且仍旧保持 了加法的运算规律, 减法依旧是加法的逆运算. 师 实数加法的运算规律有哪些?      生 交换律,      结合律. 师 能证明吗?      在复数集中, 加法亦满足交换 律, 结合律吗? 请同学们表述一下论证过程. 实物投
影.

生 师

     师 可以看出, 任意两个复数的乘积仍为复 数, 即复数集对乘法来说也是封闭的, 另外, 我们能 验证复数乘法同样具有实数乘法的运算法则吗? 生 2      , 跳=朴2 1, ( 1 2 碗) 5 =2 2 1( 跳 跳) , 1( 2 跳十

与 ) =2 1 碗 +孰 均 ( 请同 学们在课堂 作业上证明 乘法、
的结合律) 例 2 计算(      一2 一艺 ) ( 3 一2 1 ) ( 一2 +1 ) . 生 1 解:      原式 =卜 8 +1 ) 卜2 十1 )=1 5一1 . 1 0 生 2 解:      原式 = 5 ( 3 一2 1 ) =1 5 一1 0 1 .      师 反思: 比较两位同学的做法, 生 2明显简 洁, 使用了平方差公式, 正由于数系扩充运算规律

不变, 多项式乘法公式如: 平方差公式, 完全平方公 式, 立方和( 差) 公式都适用. 板书:
( a 十配) ( a 一友) =a Z +夕, ( a +阮) 2 ‘a Z +夕+2 咖

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2 0 0 7 年

第4 6 卷

第1 1 期

数学通报

节外生枝处

周金元

能有暗香来

研究性学习的一个案例

( 浙江省衙州第三中学

3 2 00) 4

1 问题的提出 在高三复习到点与圆、      直线与圆的位置关系 时, 笔者为学生出了一道全 日 制普通高级中学教科 书《 数学》 第二册( 上) (试验修订本 ? 必修) 上的例 题( P 7 5 例2 ) : 已知圆C      的 方程为尹+少=尸 , 求经过圆上一 定点M( 与, o) y 的切线方程. 由于是高三复习课 ,      强调的是知识的前后联 系, 使知识形成网络, 以完善学生的认知结构, 因此 提出如下问题: 师:      ( ) 课本上的解法为什么要分点 M 在坐标 1 轴上和不在坐标轴上? 有没有方法可避免分类讨论? 生1      : 因为要考虑到切线的斜率是否存在, 所以 要分类讨论, 若用向量处理, 可避免分类讨论. 师: 2) ( 若点 M不在圆上, 方程 两x +y oy =产      师 我们注意到这两个复数2 1=a 十反, 碗= a 一瓦具备一定的关系: 实部相等, 虚部互为相反 数, 我们将这样的两个复数称为共扼复数 2 =a +

表示的直线 1 与圆C的位置关系如何? 生2      : 若点M在圆外, 则利用点到直线距离公式可 判断直线1 与圆C 相交; 若点M在圆内且异于原点, 利 用点到直线距离公式可判断直线 1 与圆C 相离. 生3      : 我想知道直线 l : ox x +y oy二 产与点 M( o, x o) y 有何关系, 直线 1 的位置如何定位. 师:      请你讲一下, 你是如何想到这一问题的? 生3      : 因为我以前曾做过如下题目: 若点M ( 两, o) y 在圆C : 扩+犷=产之外, 由 点M向圆C 作两切线, 切点分别为A, B , 则过A, B两点的直线方程为x 。 x +y oy =尸, 显然这条直线与C 相交. 若点M( o, x o) y

在圆C : 扩+ 犷=产之内, 则直 线x o x 十 o y y =尸与
圆C相离, 但过点 M不能作圆C的切线, 此时直线 ox x +y oy=尸有何性质呢? 由此提出了如上问题.
2 课堂探究

阮的 共扼复数记作 妥 二a 一阮 联想一些根式:      a +b 涯 与a 一b 涯 另 外, 关于
“ 共辘” 两字以前涉及过吗? ( 引导学生前后联系, 通
观全局) 扩- 矿 Z夕



我们曾学过“ 共扼” 双曲线,

=士 1

合并同类的原则. 2) (      解决问题时要充分理解题意、 紧扣目 标. (      ) 本节课学习的虽说是新的内容, 3 但我们深 刻体会到所学知识都是在原有的知识基础上通过 我们认真的思考、 大胆的猜想、 合理的推理而获得 的. ( 鼓励学生积极探索, 主动求知) 作业      1      、 证明: 复数乘法的结合律 2      、 计算
(      1 ) ( 5 一3 1 ) +( 7 一5 诬 ) 一4 艺

互为共扼双曲线. 师 课后思考:      ) 在复数范围内扩+犷( 1 ’y x 任R ) 能因式分解吗? )扩+a 2      “0 (a >0 ) 在复数范围内有解吗? 解 为多少? (培养学生运用知识分析问题、 解决问题的 能力)
小结       

(      ) 首先我们掌握了复数的加法、 1 减法、 乘法的
运算法则, 如同多项式加、 减法、 乘法法则一样 —

   一

(      2 ) ( 一2 一4 1 ) 一( 一2 +1 ) +( 1 +7 1 )

3      、 计算
(      1 ) ( 2 一3 1 ) ( 一5 十1 ) (      2 ) ( 1 +1 ) ( 2 +1 ) ( 3 +1 )

4      、 求满足下列条件的复数2 :
(      1 ) 2 +( 3 一4 1 )二 1
(        2 ) ( 3 一1 ) 名二 4 +2 艺

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