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【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习:2.2.1 椭圆的标准方程(二)]



2.2.1
一、基础过关

椭圆的标准方程(二)

1.椭圆 25x2+16y2=1 的焦点坐标为__________. x2 2.椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交 4 点为 P,则 PF2=________. x2 y2 3.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的 a b 中点 P 的轨迹是________. x2 y2 x2 y2 4.曲线 + =1 与 + =1 (0<k<9)的关系说法正确的是________(填序号). 25 9 9-k 25-k ①有相等的焦距,相同的焦点; ②有相等的焦距,不同的焦点; ③有不相等的焦距,不同的焦点. 5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 ______________. π x2 y2 0, ?,方程 6.设 α∈? + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是 ? 2? sin α cos α ________. x2 y2 7.椭圆 2+ 2=1 (a,b>0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,PF1 a b 4 14 = ,PF2= .求椭圆 C 的方程. 3 3 8.△ABC 的三边 a,b,c 成等差数列,且 a>b>c,A,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求 顶点 B 的轨迹方程. 二、能力提升 x2 y2 → → 9.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,若点 P 在椭圆上,且PF1· PF2=0,则 16 7 → → |PF1+PF2|=________. 1 ? ? 1?2 2 10.已知 A? ?-2,0?,B 是圆 F:?x-2? +y =4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平 分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为______________. 11. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2 (a>1)的点的轨 迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上, 则△F1PF2 3,0),且 a=2b,则该椭圆的标准方程是

1 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是__________. x2 y2 12.已知点 M 在椭圆 + =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并 36 9 且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程. x2 y2 13.P 是椭圆 2+ 2 =1 (a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点, a b → → → OQ=PF1+PF2,求动点 Q 的轨迹方程. 三、探究与拓展 1 14.在面积为 1 的△PMN 中,tan∠PMN= ,tan∠MNP=-2,建立适当的平面直角坐 2 标系,求以 M,N 为焦点,且经过点 P 的椭圆的方程.

答案
3? 1.? 20? ?0,± 2. 7 2

3.椭圆 4.② 5. x2 y2 + =1 16 4

π π? 6.? ?4,2? 7.解 因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=PF1+PF2=6,a=3.
2 在 Rt△PF1F2 中,F1F2= PF2 2-PF1=2 5,

故椭圆的半焦距 c= 5, 从而 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4 8.解 由已知得 b=2, 又 a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b=4,即 AB+BC=4, ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4,由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆的一部分, 其中 a′=2,c′=1. ∴b′2=3.又 a>b>c, x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 + =1 (-2<x<0). 4 3 9.6 4 10.x2+ y2=1 3 11.②③ 12.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0). x2 y2 ∵点 M 在椭圆 + =1 上, 36 9
2 2 x0 y0 ∴ + =1. 36 9

x =x, ? ?0 ∵M 是线段 PP′的中点,∴? y ? ?y0=2.

x =x, ? ?0 x2 y2 0 0 把? 代入 + =1, y 36 9 ? ?y0=2 得 x2 y2 + =1, 36 36

即 x2+y2=36, ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36. → → → 13.解 由OQ=PF1+PF2, → → → → 又PF1+PF2=2PO=-2OP, 设 Q(x,y), 1→ 1 → 则OP=- OQ=- (x,y) 2 2 x y? =? ?-2,-2?, x y? 即 P 点坐标为? ?-2,-2?, 又 P 点在椭圆上,

∴ 即

?- x ? 2 ?- y ?2 ? 2? ? 2?
a2 + b2 x2 y2 =1, 2+ 4a 4b2

=1,

x2 y2 ∴Q 的轨迹方程为 2+ 2=1 (a>b>0). 4a 4b 14.解 如图所示,以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平分 线为 y 轴,建立平面直角坐标系. x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0). 1 由 tan∠PMN= , 2 tan∠PNx=tan(π-∠MNP)=2, 1 得直线 PM,PN 的方程分别是 y= (x+c),y=2(x-c). 2

?x =3c, 联立解得? 4 ?y =3c,
0 0

5

5 4 ? 即点 P? ?3c,3c?.

1 1 4 4 又∵S△PMN= MN· |y0|= ×2c× c= c2, 2 2 3 3 4 3 ∴ c2=1,即 c= , 3 2 ∴点 M?-

?

3 ? ? 3 ?, ,0 ,N 2 ? ? 2 ,0?

P?

5 3 2 3? . ? 6 , 3 ?

∴2a=PM+PN =

?5 3+ 3?2+?2 3?2+ 2? ? 3 ? ? 6 ?5 3- 3?2+?2 3?2= 15, 2? ? 3 ? ? 6

即 a=

15 . 2

15 3 ∴b2=a2-c2= - =3. 4 4 x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 3 4

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