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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,含答案)



2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数学试题
(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目的要求的. 1.已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2.已知集合 A ? ? , a? , B ? ? ,2,3? ,则 a ? 3” “A ? B” 是 的() “ 1 1 A.充分而不必要条件 也不必要条件 3.双曲线 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到渐进线的距离等于( 4
4 B. 5
C.



2 A. 5

2 5 5

D.

4 5 5

4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测 试成绩 分成 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] 加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名, 据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( A.588 B.480 C.450 D.120 )

2 5.满足 a, b ? ?? 1,0,1,2? ,且关于 x 的方程 ax ? 2 x ? b ? 0 有实数解的有序

数对的个数为( A. 14 B. 13

) C. 12 D. 10

6.阅读如图所示的程序框图,若编入的 k ? 10 ,则该算法的功能是 ( )

A. 计算数列 2n?1 的前 10 项和

? ?

B.计算数列 2n?1 的前 9 项和
1

? ?

C. 计算数列 2n - 1 的前 10 项和

? ?

D. 计算数列 2n - 1 的前 9 项和 )

? ?

7. 在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C.5 D.10 ks5u

8. 设函数 f (x) 的定义域为 R, x0 ?x0 ? 0 ? 是 f (x) 的极大值点,以下结论 一定正确的是() A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点 ks5u

C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点

9. 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 记 bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m ,

bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m , ?m, n ? N *? ,则以下结论一定正确的是(
A. 数列 ?bn ? 为等差数列,公差为 q m C. 数列 ?cn ? 为等比数列,公比为 q m
2



B. 数列 ?bn ? 为等比数列,公比为 q 2 m D. 数列 ?cn ? 为等比数列,公比为 q m
m

10. 设 S, T 是 R 的两个非空子集, 如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f (x) 满 足 : (i ) T ? ? f ( x) x ? S ? ; (ii ) 对 任 意 x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时 , 恒 有 那么称这两个集合 “保序同构” 以下集合对不是 , “保序同构” f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 的是( ) B.

A. A ? N *, B ? N C. A ? ?x 0 ? x ? 1?, B ? R

A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?8或0 ? x ? 10?

D. A ? Z , B ? Q 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11. 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件‘ 3a ? 1 ? 0 ’的概率为_________ 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球 的表面积是

2

13. 如图,在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , 3

AD ? 3 , 则 BD 的长为

14. 椭 圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 焦 距 为 2c , 若 直 线 a 2 b2

y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆的一个交点满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于_____

15. 当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式:

1 ? x ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ?

1 1? x
xdx ?

两边同时积分得:

?

1 1 2 1dx ? 2 0 0

?

?

1 2 0

x dx ? ? ? ?
2

?

1 2 0

x dx ? ? ?? ?
n

?

1 2 1 0 1? x

dx

从而得到如下等式:

1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ( ) 2 ? ? ( )3 ? ? ? ? ? ? ( ) n?1 ? ? ? ? ? ln 2. ks5u 2 2 2 3 2 n ?1 2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 n Cn ? ? Cn ? ( ) 2 ? Cn ? ( ) 3 ? ? ? ? ? Cn ? ( ) n?1 ? 2 2 2 3 2 n ?1 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案, 方案甲的中奖率为

2 2 , 中奖可以获得 2 分; 方案乙的中奖率为 , 3 5

中奖可以获得 3 分; 未中奖则不得分。 每人有且只有一次抽奖机 会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (1)若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的概 率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大? 17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程;
3

(2)求函数 f (x) 的极值 18.(本小题满分 13 分) 如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ?10,0 ? , 点 C 的坐标为 ?0,10? ,分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为

A1 , A2 ,? ? ?, A9 和 B1 , B2 ,? ? ?, B9 ,连接 OBi ,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi
交于点 Pi ?i ? N *,1 ? i ? 9 ? 。ks5u (1)求证:点 Pi ?i ? N *,1 ? i ? 9 ? 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M , N , 若 ?OCM 与 ?OCN 的面积之比为 4:1,求直线 l 的方程。 19.(本小题满分 13 分)ks5u 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABCD ,

AB // DC , AA1 ? 1, AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k , (k ? 0)
(1)求证: CD ? 平面 ADD1 A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值 7

(3)现将与四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个 四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小 完全相同, 则视为同一种拼接方案, 问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱 中,记其中最小的表面积为 f (k ) ,写出 f (k ) 的解析式。 (直接写出答案,不必说明理由) 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图

?? ? 象的一个对称中心为 ? ,0 ? ,将函数 f (x) 图象上所有点的横 ?4 ?
坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向右 平移个

?
2

单位长度后得到函数 g (x) 的图象。

(1)求函数 f (x) 与 g (x) 的解析式

4

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存 ?6 4?
在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点 21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分. (1). (本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换 已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ( (I)求实数 a, b 的值

1 2 ) 对应的变换作用下变为直线 l ': x ? by ? 1 0 1

? x0 ? ? x0 ? (II)若点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,且 A? ? ? ? ? ,求点 P 的坐标 ?y ? ?y ? ? 0? ? 0?
(2).(本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知

?? ? ? 点 A 的极坐标为 ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

? x ? 1 ? cos a, (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a
(3).(本小题满分 7 分) 选修 4-5:不等式选讲

3 1 设不等式 x ? 2 ? a (a ? N *) 的解集为 A,且 ? A, ? A 2 2
(Ⅰ)求 a 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值

5

6

7

8

9

10



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