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河南省中原名校2014-2015学年高二上学期第一次联考数学试卷(理科)【解析版】


河南省中原名校 2014-2015 学年高二上学期第一次联考数学试卷 (理科)
一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分)若△ ABC 的三角 A:B:C=1:2:3,则 A、B、C 分别所对边 a:b:c=( ) A.1:2:3 B . 1: : C.1: :2 D.1:2: 2. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角 C=( ) A. B. C. D.

3. (5 分) 若某人在点 A 测得金字塔顶端仰角为 30°, 此人往金字塔方向走了 80 米到达点 B, 测得金字塔顶端的仰角为 45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) (参考数据 ≈1.732) ( ) A.110 米 B.112 米 C.220 米 D.224 米 4. (5 分)在△ ABC 中,A= ( ) A. ,AB=3 ,AC=3,D 在边 BC 上,且 CD=2DB,则 AD=

B.

C. 5
2 2

D.
2

5. (5 分) 在△ ABC 中, 三边 a、 b、 c 与面积 S 的关系是 S= (a +b ﹣c ) , 则角 C 应为 ( A.30° B.45° C.60° D.90° )



6. (5 分)如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为( A.3 B. 4 C. 6 D.7

7. (5 分)△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边分别 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣11,a5+a6=﹣4,Sn 取得最小值时 n 的 值为( ) A.6 B. 7 C. 8 D.9 9. (5 分)等差数列的前 n 项和,前 2n 项和,前 3n 项的和分别为 S,T,R,则( 2 2 2 A.S +T =S(T+R) B.R=3(T﹣S) C.T =SR D.S+R=2T 10. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7+a9+a11=200,则 4a5﹣2a3 的值为( A.80 B.60 C.40 D.20 ) )

11. (5 分)己知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17= ( ) A.9 B.12 C.l6 D.36 12. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为( A.an=2n﹣1 B. C. D. )

2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,已知 2a=b+c,sin A=sinBsinC,则△ ABC 的形状为
* 2



14. (5 分)已知{an}为等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N ,若 a3=16,S20=20,则 S10 值为 .

15. (5 分)已知数列{an}为: , , , , , , , , , ,…,依它的前 10 项的 规律,则 a50= .

16.(5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣3,ak+1= ,Sk=﹣12,则正整数 k=

三、解答题(共 6 小题) n 17. (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 ,求 an; 2 (2)数列的前 n 项的和 Sn=2n +n,求数列的通项公式.

18.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c.

19.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a+c=

b.

(1)求证:B≤ (2)当 ?

; 时,求△ ABC 的面积.

=﹣2,b=2

20.已知 A,B,C 分别为△ ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向量 ,且 (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且 ,求边 c 的长. .



21.设数列{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 S3=7,且 a1+3, 3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna2n+1,n=1,2,3…,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn.

22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 (1)证明数列{
2

n+1



}是等差数列;
*

(2)若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 对 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

河南省中原名校 2014-2015 学年高二上学期第一次联考 数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分)若△ ABC 的三角 A:B:C=1:2:3,则 A、B、C 分别所对边 a:b:c=() A.1:2:3 B . 1: : C.1: :2 D.1:2: 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 通过三角形的内角和,以及三个内角的比,求出三个角的大小,利用正弦定理即可 求出结果. 解答: 解:因为△ ABC 的三角 A:B:C=1:2:3,A+B+C=180°; 所以△ ABC 的三角 A=30°,B=60°;C=90°, 由正弦定理可得 a:b:c=sinA:sinB:sinC= : :1=1: :2.

故选 C. 点评: 本题考查三角形的内角和,正弦定理的应用,考查计算能力. 2. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角 C=() A. B. C. D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理将 3sinA=5sinB 转化为 5b=3a,从而将 b、c 用 a 表示,代入余弦定理即 可求出 cosC,即可得出∠C. 解答: 解:∵b+c=2a, 由正弦定理知,5sinB=3sinA 可化为:5b=3a,解得 c= b,

由余弦定理得,cosC= ∴C= ,

=



故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题. 3. (5 分) 若某人在点 A 测得金字塔顶端仰角为 30°, 此人往金字塔方向走了 80 米到达点 B, 测得金字塔顶端的仰角为 45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) (参考数据 ≈1.732) () A.110 米 B.112 米 C.220 米 D.224 米 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形.

分析: 利用 CD 表示出 AD,BD,让 QD 减去 BD 等于 80,即可求得 CD 长. 解答: 解:设 CD=x, 在 Rt△ ACD 中,∠A=30°,∴AD=CDtan60°= x, 在 Rt△ CDB 中,∠CBD=45°,∴BD=x, ∵AB=80 米, ∵ x﹣x=80 ∴x=40( +1)≈110 米 故选:A.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题, 要求学生能借助仰角构造直角 三角形并解直角三角形.[来源:学科网] 4. (5 分)在△ ABC 中,A= () A. ,AB=3 ,AC=3,D 在边 BC 上,且 CD=2DB,则 AD=

B.

C. 5

D.

考点: 余弦定理. 专题: 三 角函数的求值. 分析: 在三角形 ABC 中,利用余弦定理求出 BC 的长,进而确定出 BD 与 CD 的长,再 三角形 ABD 与三角形 ACD 中分别利用余弦定理表示出 cos∠ADB 与 cos∠ADC, 根据两值 互为相反数求出 AD 的长即可. 解答: 解:在△ ABC 中,A=
2 2 2

,AB=3

,AC=3,

利用余弦定理得:BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cos∠BAC=27+9﹣27=9,即 BC=3, ∴BD=1,CD=2, 在△ ABD 中,由余弦定理得:cos∠ADB= ,

在△ ADC 中,由余弦定理得:cos∠ADC=



∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC,即 解得:AD= 故选:A. (负值舍去) ,

=﹣



点评: 此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 5. (5 分)在△ ABC 中,三边 a、b、c 与面 积 S 的关系是 S= (a +b ﹣c ) ,则角 C 应为() A.30° B.45° C.60° D.90°
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 用三角形面积公式表示出 S,利用题设等式建立等式,进而利用余弦定理求得 2abcosC=a +b ﹣c ,进而整理求得 sinC 和 cosC 的关系进而求得 C . 解答: 解:由三角形面积公式可知 S= absinC, ∵S= ∴ absinC= 由余弦定理可知 2abcosC=a +b ﹣c ∴sinC=cosC,即 tanC=1, ∴C=45°
2 2 2 2 2 2



故选 B 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式. 6. (5 分)如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数,那么最长边的长度为() A.3 B. 4 C. 6 D.7 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 设出三角形三边分别为 n﹣1,n,n+1,则 n+1 对的角 θ 为钝角,利用余弦定理表 示出 cosθ,根据 cosθ<0 求出 n 的范围,确定出 n 的值,找出最长边即可. 解答: 解:设三角形三边分别为 n﹣1,n,n+1,则 n+1 对的角 θ 为钝角, 由余弦定理得:cosθ= <0,即(n﹣1) +n <(n+1) ,
2 2 2

解得:0<n<4,即 n=2,3, 当 n=2 时,三边长为 1,2,3,此时 1+2=3,不合题意,舍去; 当 n=3 时,三边长为 2,3,4, 符合题意,即最长边为 4.

故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 7. (5 分)△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的 边分别 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于() A.30° B.60° C.90° D.120° 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式;正弦定理. 专题: 等差数列与等比数列;解三角形. 分析: 由题意可得 2b?cosB=a?cosC+c?cosA,再利用正弦定理、两角和差的正弦公式、 二倍角公式,化简可得 cosB= ,由此求得 B 的值. 解答: 解:由题意可得 2b?cosB=a?cosC+c?cosA,再利用正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA, ∴sin2B=sin(A+C) ,即 2sinBcosB=sinB. 由于 sinB≠0,∴cosB= ,∴B=60°, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公 式的应用,属于中档题. 8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣11,a5+a6=﹣4,Sn 取得最小值时 n 的 值为() A.6 B. 7 C. 8 D.9 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 【解法一】求出{an}的通项公式 an,在 an≤0 时,前 n 项和 Sn 取得最小值,可以求 出此时的 n; 【解法二】求出{an}的前 n 项和 Sn 的表达式,利用表达式是二次函数,有最小值时求对应 n 的值. 解答: 解: 【解法一】在等差数列{an}中,设公差为 d,[来源:学科网] ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4; ∴d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13, 由 2n﹣13≤0,得 n≤ ,

∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 【解法二】在等差数列{an}中,设公差为 d, ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4, ∴d=2,

∴前 n 项和 Sn =na1+

=﹣11n+

=n ﹣12n,

2

∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和综合应用问题,是基础题. 9. (5 分)等差数列的前 n 项和,前 2n 项和,前 3n 项的和分别为 S,T,R,则() A.S +T =S(T+R) B.R=3(T﹣S)
2 2

C.T =SR

2

D.S+R=2T

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的“片段和”仍成等差数列可得 S,T﹣S,R﹣T 成等差数列,由等差中 项可得. 解答: 解:由等差数列的“片段和”仍成等差数列, 可得:S,T﹣S,R﹣T 成等差数列, ∴2(T﹣S)=S+R﹣T 变形可得 R=3(T﹣S) , 故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质,得出“片段和”仍成等差数列是解决问题的关键,属基础 题. 10. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7+a9+a11=200,则 4a5﹣2a3 的值为() A.80 B.60 C.40 D.20 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a7 的值,而要求的式子可转化为 2a7,可得答案. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,a3+a5+a7+a9+a11=200, ∴5a7=200,解得 a7=40, 设等差数列的公差为 d, 则 4a5﹣2a3=4(a7﹣2d)﹣2(a7﹣4d)=2a7=80 故选:A 点评: 本题考查等差数列的性质,得出 a7 的值,并把要求的式子转化为 a7 是解决问题的 关键,属中档题.[来源:Zxxk.Com] 11. (5 分)己知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17= () A.9 B.12 C.l6 D.36 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 运用等差数列的性质,等比数列的性质求解. 2 解答: 解:∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0, 且 a8=b10,
2

∴a

=3a1+3a15=6a8,a8=6,a8=0(舍去) ,

b10=6 2 b3b17=b10 =36[来源:Z#xx#k.Com] 故选:D 点评: 本题综合考查了等差等比数列的定义,性质. 12. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为() A.an=2n﹣1 B. C. D.

考点: 等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 由 an+1=2an+1,可得 an+1+1=2(an+1) ,a1+1=2,从而可得{an+1}是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式可求所求. 解答: 解:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1) ,a1+1=2 ∴{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列 n﹣1 n 根据等比数列的通项公式可得,an+1=2?2 =2 n 即 an=2 ﹣1 故选 C. 点评: 本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式, 其中渗透了构造法, 同时考查了计 算能力,属于基础题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,已知 2a=b+c,sin A=sinBsinC,则△ ABC 的形状为等边三角形. 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题.[来源:学科网 ZXXK] 2 2 分析: 利用正弦定理化简 sin A=sinBsinC,得到 a =bc,与 2a=b+c 联立得到 a=b=c,可得 出三角形 ABC 为等边三角形. 2 2 解答: 解:由正弦定理化简 sin A=sinBsinC,得到 a =bc, 又 2a=b+c,即 a= ,
2

∴a =
2

2

=bc,即(b+c) =4bc,

2

∴(b﹣c) =0,即 b=c, ∴2a=b+c=b+b=2b,即 a=b, ∴a=b=c, 则△ ABC 为等边三角形. 故答案为:等边三角形 点评: 此题考查了三角形形状的判断, 涉及的知识有: 正弦定理, 以及等边三角形的判定, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

14. (5 分)已知{an}为等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N ,若 a3=16,S20=20,则 S10 值为 110. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 本题可根据等差数列的前 n 项和的一上性质{S(k+1)m﹣Skm}是以 m d 为公差的数 列,本题中令 m=5,每五项的和也组成一个等差数列,再由数列中项知识求出前五项的和, 由此建立方程求出公差,进而可求出 S10 的值 解答: 解:由题意 a3=16,故 S5=5×a3=80, 由数列的性质 S10﹣S5=80+25d,S15﹣S10=80+50d,S20﹣S15=80+75d, 故 S20=20=320+150d,解之得 d=﹣2 又 S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110 故答案为:110 点评: 本题考点是等差数列的性质, 考查等差数列前 n 项和的性质, 以及数列的中项的运 用,本题技巧性较强,属于等差数列的性质运用题,解答本题,要注意从题设条件中分析出 应该用那个性质来进行转化.
2

*

15. (5 分)已知数列{an}为: , , , , , , , , , ,…,依它的前 10 项的 规律,则 a50= .

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意,每个分数的分子与分母的和,等于 2 的有 1 个,等于 3 的 2 个,等于 4 的 3 个,等于 5 的 4 个,等于 6 的 5, 解答: 解: , , , , , , , , , , …, 依由观察可知,第 k 行分子分母之和为 k+1,且分母从 1 逐渐增大到 k 那么前 k 行共有的 项数 n= 易知,因为 故则 a50 一定在第 10 行, 当 k=9 时,n=45,a45= , <50< =55,

所以 n=46,a46= 故 a50= 故答案为:



点评: 本题主要考查了归纳推理的问题,关键是寻找规律,属于中档题.

16. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣3,ak+1= ,Sk=﹣12,则正整数 k=13.

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件,利用等差数列的前 n 项和公式得到 Sk+1= 此能求出结果. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=﹣3,ak+1= ,Sk=﹣12, ∴Sk+1= (﹣3+ )=﹣12+ , (﹣3+ )=﹣12+ ,由

解得 k=13. 故答案为:13. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式的合理运用,是基础题,解题时要认真审题,注 意等差数列的通项公式的合理运用. 三、解答题(共 6 小题) 17. (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 ,求 an; 2 (2)数列的前 n 项的和 Sn=2n +n,求数列的通项公式. 考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)在数列的前 n 项和中取 n=1 求得首项,再由 an=Sn﹣Sn﹣1 求 n≥2 时的通项公 式,验证首项后得答案; (2)在数列的前 n 项和中取 n=1 求得首项,再由 an=Sn﹣Sn﹣1 求 n≥2 时的通项公式,验证 首项后得答案. 解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=5; 当 n≥2 时, .
n





(2)当 n=1 时,



当 n≥2 时,

=4n﹣1.

验证 n=1 时上式成立. ∴an=4n﹣1. 点评: 本题考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式,注意验证 n=1 时通项是否成立, 是基础题. 18.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得 sinAcosC+ (A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求 A (2)由(1)所求 A 及 S=
2

sinAsinC=sinB+sinC=sin
2 2 2

可求 bc,然后由余弦定理,a =b +c ﹣2bccosA=(b+c)

﹣2bc﹣2bccosA 可求 b+c,进而可求 b,c 解答: 解: (1)∵acosC+ asinC﹣b﹣c=0 ∴sinAcosC+ sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0 ∴sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC ∵sinC≠0 ∴ sinA﹣cosA=1 ∴sin(A﹣30°)= ∴A﹣30°=30° ∴A=60° (2)由 由余弦定理可得,a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA 2 2 即 4=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12 ∴b+c=4 解得:b=c=2 点评: 本题综合考查了三角公式中的正弦定理、 余弦定理、 三角形的面积公式的综合应用, 诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础, 解题的关键是熟练掌握基本 公式 19.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a+c= (1)求证:B≤ (2)当 ? ; 时,求△ ABC 的面积. b.
2 2 2 2

=﹣2,b=2

考点: 平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理.

专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由余弦定理得 cosB≥0 得出 B≤ (2)由 ; ,得 accosB=2,再由 b =a +c ﹣2accosB=12 和已知
2 2 2

,将已知 a+c=

b 代入,然后配方得到



得出 ac=4,利用三角形的面积公式求出面积. 解答: (1)证明: (1)∵△ABC 中,a+c= ∴ ∴B≤ = ,

b,

; (当且仅当 a=c 时取得等号) .…(7 分) ,

(2)∵

∴accosB=2, 2 2 2 b =a +c ﹣2accosB=12, 2 2 ∴a +c =16,b=2 ,…(11 分) 又 , ∴ac=4, ∴ ∴ ∴ , , .…(14 分)

点评: 本题考查三角形中的余弦 定理、正弦定理的应用以及三角形的面积公式,是一道 中档题.

20. (14 分) 已知 A, B, C 分别为△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角, 向量 ,且 (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且 ,求边 c 的长. .



考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积 运算法则列出关系式,求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数;

(2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式 2sinC=sinA+sinB, 利用正弦定理化简得到 2c=a+b,已知等式利用平面向量的数量积运算化简,将 cosC 的值代 入求出 ab 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a+b 与 ab 的值代 入即可求出 c 的值. 解答: 解: (1)∵ =(sinA,sinB) , = (cosB,cosA) , ∴ ? =sin2C,即 sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C=2sinCcosC, ∵sinC≠0, ∴cosC= , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(2)∵sinA,sinC,sinB 成等差数列, ∴2sinC=sinA+sinB, 利用正弦定理化简得:2c=a+b, ∵ ? =18,

∴abcosC= ab=18,即 ab=36, 由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=(a+b) ﹣3ab, 2 2 2 将 a+b=2c,ab=36 代入得:c =4c ﹣108,即 c =36, 解得:c=6. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及等差数列的性质,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键. 21.设数列{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 S3=7,且 a1+3, 3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna2n+1,n=1,2,3…,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等比数列的公比,由已知列首项和公比的方程组,求解方程组得首项和 公比,然后代入等比数列的通项公式得答案; (2)把 a2n+1 代入 bn=lna2n+1,得到数列{bn}是等差数列,然后利用等差数列的前 n 项和公 式得答案. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q(q>1) ,
2 2 2 2 2 2

由已知得

,解得

.[来源:学科网 ZXXK]





(2)由 bn=lna2n+1,得 , bn+1﹣bn=2(n+1)ln2﹣2nln2=2ln2. ∴数列{bn}是等差数列, ∴ .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是中档题. 22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 (1)证明数列{
2 n+1



}是等差数列;
*

(2)若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 对 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围. 考点: 数列与不等式的综合;函数恒成立问题;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列.[来源:Z_xx_k.Com] 分析: (1)由已知推导出 a1=4, 为公差的等差数列. (2)由 ,得 an=(n+1)?2 ,2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 等价于 5﹣λ>
n 2

,由此能证明

是以 2 为首项,1

,记

,由此能求出 λ 的取值范围.

解答: (1)证明:当 n=1 时, , 当 n≥2 时, ∴ ,

,解得 a1=4,





=

=1,







是以 2 为首项,1 为公差的等差数列.

(2)解:由(1)知

,即 an=(n+1)?2 ,

n

∵an>0,∴2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 等价于 5﹣λ>

2





,n≥2 时,

=

,[来源:Zxxk.Com]

∴n≥3 时,

, (bn)max=b 3= , , .



点评: 本题考查等差数列的证明,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意 构造法的合理运用.


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