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等差数列


《等差数列 》 教学设计
教学目标 1.知识目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的 推导过程;能运用等差数列的通项公式解决一些问题。 2.能力目标:培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。通过强 化练习,培养学生分析问题解决问题的能力。 3.情感目标:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索的求索 精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 教学重难点 1.教学重点:等差数列的概念的理解,通项公式的推导及应用。 2.教学难点:对等差数列中“等差”两字的把握,通项公式的 推导。 教学过程 一.课题引入 ①数学家高斯八岁时计算 1+2+3+···+100=? 时,所用到的数 列:1,2,3,4,...,100 ②姚明刚在 NBA 一周里每天训练发 球的个数依次是: 6000, 6500, . 7000,7500,8000,8500,9000 ③双星女运动鞋的尺码(单位是 cm): 22 1 ,23,23 1 ,24,24 1 ,25,25 1 ,26
2 2 2 2

引导学生观察 ,发现这些数列有一个共同特点:从第二项起, 每一项与前一项的差等于同一个常数,我们把有这一特点的数 列叫做等差数列(板书课题)。 二、新课探究 (一)等差数列的定义 1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起, 每一项与前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用 字母 d 来表示。 上面三个数列都是等差数列,公差依次是 , , 。

你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么?强调: ①“从第二项起”(这是为了保证“每一项”都有“前一项”); ②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 (因为 “同一个常数” 体现了等差数列的基本特征); 在理解概念的基础上,思考将等差数列的文字语言转化为数学语言, 归纳出数学表达式:
, n ? N且n ? 2) 2、等差数列定义的数学表达式: an ? an?1 ? d (d是常数

练习 1: ① 9 ,8,7,6,5,4,??是等差数列吗? ②常数列3,3,?,3,?是等差数列吗? ③数列 1,4,7,11,15,19 是等差数列吗? 可见,公差 d 可以是正数、负数,也可以是 0;
当d ? 0, 是递增数列 ;当d ? 0, 是递减数列 ;当d ? 0, 是常数列 .

④若数列 ?a n ?满足: an?1 ? an ? d (d是常数 , n ? N且n ? 2) ,则数列 ?a n ?是 等差数列吗? (二)等差数列的通项公式 1、公式推导 如果等差数列 ?a n ?首项是 a 1 , 公差是 d , 那么这个等差数列 a2 , a3 , a4 如何表示? a n 呢? 根据等差数列的定义可得: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,?。 所以: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? ? a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d ,

?? 由此完成 an ? a1 ? ( )d 填空(学生易归纳填出),得 an ? a1 ? (n ? 1)d ?(*),这是等差数列的通项公式吗?(让学生回答) 当 n ? 1 时,对(*)式两边均为 a1 ,即等式也成立,说明(*)式对 n ? N * 都成立,因此等差数列的通项公式就是: an ? a1 ? (n ? 1)d ,
n? N *

上面求通项公式的方法叫不完全归纳法, 这种导出公式的方法不 严谨,因此我们有必要寻求更严谨的推导方法,学生思考: 根据等差数列的定义可得:
a1 ? a1
a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d

?? 将以上 n 个式子相加得 an ? a1 ? (n ?1)d (过程体现探索)。这种 求通项公式的方法叫叠加法。 2、公式理解 通项公式含有 a1 , d , n, an 这 4 个量,已知三个量,第 4 个量就是 未知数,通项公式就是方程,解方程就可以求出第 4 个量。即利用方 程的思想“知三可求一”。 三、应用例题 例1.已知等差数列18,15,12,9,?? ①请写出 a 20 , a n ②-279 是否是这个数列中的项,若是,则是第几项? 分析:要判断-279 是不是数列的项,关键是求出通项公式,并判断 是否存在正整数 n, 使得 an ? ?279 成立, 实质上是要求方程 an ? ?279 的 正整数解。 例 2.已知等差数列 ?a n ?中, a5 ? 10, a15 ? 25, 求 a25 的值。
?a1 ? 4 ? a5 ? a1 ? 4d ? ?? 解: ? 3 ? a25 ? 40 。 d? ?a15 ? a1 ? 14d ? ? 2

an ? an?1 ? d

解方程组比较麻烦,可否避免? 发现: a15 ? a5 ? 10d ? (15 ? 5)d — —是一种巧合,还是对任意的两项差都满足?

思考:在公差为 d 的等差数列 ?a n ?中, a n 与 am 有何关系? 分析:
n ? a1 ? ( n ?1 ) d {a am ? a1 ? ( m ?1 ) d ? a n ? a m ? ( n ? m )d ? a n ? a m ? ( n ? m )d

比较 an ? a1 ? (n ?1)d 与 am ? an ? ? m ? n? d 发现,前式是后式的特 例,后式是前式的推广。 为此我们不妨把 am ? an ? ? m ? n? d 叫做等差数列的变通式。 用变通式再解例 2。 练习 2: (1)在等差数列 ?a n ?中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,则 an ? (2)若 d ? ?2, a20 ? ?397,则 an ? (3) 在等差数列 ?a n ?中,已知 a1 ? 1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,则 n 的值
3





; 1.等差数列定义 2.等差数列通项公式推导及应用

四、 课堂小结

五、布置作业 P19

A组

2 3 5 7

教后反思:


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