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3.2.1《几个常用函数的导数》教案


3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数
一.三维目标
知识与技能:能由常数函数和幂函数的导数公式推导常见函数的导数 过程与方法:在教学过程中,注意培养学生归纳类比的能力;分析总结导数的加减运算法则 情感态度价值观:在单位圆中,根据导数的定义探索出正弦和余弦的导数公式,培养学生热 爱思考和探索的精神

二.重点难点分析
1 的导数公式及应用 x 1 2 教学难点: 四种常见函数 y = c 、 y = x 、 y = x 、 y = 的导数公式的推广 x 教学过程: 三.教学过程:
教学重点:四种常见函数 y = c 、 y = x 、 y = x 、 y =
2

1.创设情景 我们知道, 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率, 物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y = f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦, 有时甚至很困难, 为了能够较快地求出某些函 数的导数, 这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法, 下面我们求几个常用的函数的导 数. 2.新课讲授 一.函数 y = f ( x ) = c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x + ?x) ? f ( x) c ? c = = =0 ?x ?x ?x ?y 所以 y′ = lim = lim 0 = 0 ?x → 0 ?x ?x → 0
函数 导数

y=c

y′ = 0

y′ = 0 表示函数 y = c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0. y = c 表示路程关于时间的函 若
数,则 y ′ = 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态.

二.函数 y = f ( x ) = x 的导数 因为

?y f ( x + ?x) ? f ( x) x + ?x ? x = = =1 ?x ?x ?x ?y = lim 1 = 1 所以 y′ = lim ?x →0 ?x ?x → 0

函数

导数

y=x

y′ = 1

y′ = 1 表示函数 y = x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1. y = x 表示路程关于时间的函 若
数,则 y′ = 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 三.函数 y = f ( x) = x 的导数
2

因为

?y f ( x + ?x) ? f ( x) ( x + ?x) 2 ? x 2 = = ?x ?x ?x x 2 + 2 x?x + (?x)2 ? x 2 = = 2 x + ?x ?x

所以 y′ = lim

?y = lim (2 x + ?x) = 2 x ?x →0 ?x ?x → 0
函数 导数

y = x2

y′ = 2 x

y′ = 2 x 表示函数 y = x 2 图像上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2x ,说明随着 x 的变化,切
线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当 x < 0 时,随着 x 的增加,函数 y = x 2 减少得越来越慢;当 x > 0 时,随着 x 的增加,函数 y = x 2 增加得越来越快.若 y = x 2 表示路程关于时间的函数,则 y′ = 2 x 可以解释为某物体做变速 运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2x . 四.函数 y = f ( x ) =

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) x + ?x x 因为 = = ?x ?x ?x = x ? ( x + ?x ) 1 =? 2 x ( x + ?x ) ?x x + x ? ?x

所以 y′ = lim

?y 1 1 = lim (? 2 )=? 2 ?x →0 ?x ?x → 0 x + x ? ?x x
函数 导数

y=

1 x

y′ = ?

1 x2

(2)推广:若 y = f ( x) = x ( n ∈ Q ) ,则 f ′( x) = nx
n *

n ?1

3.公式应用 例 1 求下列函数的导数 (1) y = x3 三.课堂练习 1.课本 P13 探究 1 2.课本 P13 探究 2 四.小结 函数 导数 (2) y =

1 x2

(3) y =

x

y=c y=x y = x2

y' = 0 y' = 1 y' = 2x

1 y= x
y = f ( x) = x n (n ∈ Q )

y' = ?

1 x2

y ' = nx n ?1

五.作业


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