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东北育才学校2014-2015学年度高三联合考试数学试题



2014-2015 学年度高三联合考试 数学(理科)试卷
时间:120 分钟 满分:150 分
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的) 1. 设全集 U ? {0, 1, 2, 3, 4} ,集合 A ? {0, 1, 2} ,集合 B ? {2, 3

} ,则 (CU A) ? B ? A. ? B. {2, 3, 4} C. {1, 2, 3, 4} D. {0, 1, 2, 3, 4} 2. 已知集合 A ? ??1, 1? , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值 的集合为 A . ??1? B. ?1? C. ??1, 1? D. ??1,, 0 1?

?

?

3. 已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 A.64 4. 已知函数 f ( x) ? B.100 C.110 ,则 f ( x) 定义域为 D.120

1 log1 (2 x ? 1)
2

A. ( ?

1 ,0) 2

B. ( ?

1 ,0] 2
2

C. (?

1 ,?? ) 2

D. (0,??)

a 5. 已知 2 ? 3 , ( ) ? 1 , log 1 c ? 1 ,则
b

1 2

A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

π 6. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的部分图像 2 如右图所示,则 ? ?

A. ?

π 6

B.

π 6

C. ?

π 3

D.

π 3

高三年级数学理科试卷第 1 页 共 8 页

7. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 、N 分别 BC1 、CD1 的 中点,则下列判断错误 的是 .. A. MN 与 A1 B1 平行 C. MN 与 BD 平行 8. “ cos 2? ? ? B. MN 与 AC 垂直 D. MN 与 CC1 垂直

5? 3 , k ? Z ”的 ”是“ ? ? k? ? 12 2

A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 9. 已知 b ? a ? 1, t ? 0 , 若 a x ? a ? t ,则 b x 与 b ? t 的大小关系为 A. b x ? b ? t B. b x = b ? t C. b x ? b ? t D.不能确定

10. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? log2 x ,正实数 a, b, c 成公差为正的等差数列,且满足
x

1 3

f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 。若实数 d 是方程 f ( x) ? 0 的一个解,那么下列四个判断:
① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c 中有可能成立的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 a 2 b2

F ,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率是
A.

2 ?2

B.
2

5 ?1

C.

3 ?1

D.

2 ?1

12. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x(a ? R ) ,则下列说法不正确的是 A.当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点 B.若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 0 C.存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点 D.若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 1

高三年级数学理科试卷第 2 页 共 8 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若函数 f ( x) ? log a ( x ? 14.已知 sin(? ?

?

a ? 4) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 x
.

.

3 ) ? ,? 为钝角, 则sin? ? 4 5

? 1 ? ? 3, 15.已知函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ? ? x,

x ? (?1,0] x ? (0,1]

,且 g ( x) ? f ( x) ? m x ? m

在 (?1,1] 内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是

.

16. 在平面直角坐标系中,定义 P ( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) 两点之间的“直角距离”为

d (P, Q) = x1 - x2 + y1 - y2 .已知点 B (1,0) ,点 N 是直线 kx ? y ? k ? 3 ? 0
上的动点,则 d ( B, N ) 的最小值为 (k为大于0的常数) .

三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设全集是实数集 R , A ? {x | 2 x ? 7 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x ? a ? 0} .
2 2

(Ⅰ)当 a ? ?4 时,求 A ? B和A ? B ; (Ⅱ)若 (CR A) ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a, b, c ,且满足
c sin A ? 3a cos C ? 0 .
(Ⅰ)求 C 的值; (Ⅱ)若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

高三年级数学理科试卷第 3 页 共 8 页

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ?

1 2? 1 ? sin( 2 x ? ) ,将其图像向左平移 个单位,再向上平移 个单位 2 3 2 4
2

得到函数 f ( x) ? a cos ( x ? (Ⅰ)求实数 a、 b 的值;

?
3

) ? b 的图像.

(Ⅱ)设函数 ?(x) ? g ( x) ? 3 f ( x) ,求函数 ? ( x) 的单调增区间.

20. (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F2 , 2

且与椭圆 W 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求 ?ABF1 的周长; (Ⅱ)如果 ?AF 1 B ? 90? ,求直线 l 的斜率 k . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( 2 ? 3 x ) ?

3 2 x . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 在 [0,1] 上的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在 [0,2] 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取 值范围. 22. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x e
2 1? x

? a( x ?1) .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ( ,2) 上的单调区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? a( x ?1 ? e
1? x

3 4

) ,当 g ( x) 有两个极值点 x1、x2 ( x1 ? x2 ) 时,

总有 x2 g ( x1 ) ? ?f ?( x1 ) ,求实数 ? 的值.

高三年级数学理科试卷第 4 页 共 8 页

参考答案 一、选择题 二、填空题 B D B A C 13. (0, 1) ? (1, 4] D A A C C 14. D B

7 2 10

9 1 15. ? ? m ? ?2 或 0 ? m ? 4 2
三、解答题: 17. 解: (Ⅰ) A ? {x | ∴ A∩B= {x |

3 ? (k ? 1) ?2 ? 16. ? k ? ?2k ? 3 (0 ? k ? 1)

1 ? x ? 3} , 当 a ? ?4 时, B ? {x | ?2 ? x ? 2} , 2
??3 分

(Ⅱ) 当(?RA)∩B =B 时,B??RA,即 A∩B= ? . ①当 B= ? ,即 a ? 0 时,满足 B??RA;

1 ? x ? 2} , A∪B= {x | ?2 ? x ? 3} 2

??6 分

②当 B≠ ? ,即 a ? 0 时,B= {x | ? ? a ? x ? ? a} ,

1 1 ,解得 ? ? a ? 0 . 2 4 1 综上可得,a 的取值范围为 a ? - . 4
要使 B??RA,需 ? a ? 18.解: (Ⅰ)因为 c sin A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

??9 分 ??10 分

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0
所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;? C ? (Ⅱ)由 cos A ?

,由 sin A ? 0

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , 5 2 5

2? 3

??6 分

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10
??12 分

b c c sin B ,b ? ? ?3 3?4 sin B sin C sin C 1 1 ? 2? ] 19.解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? ? sin[ 2( x ? ) ? 2 2 4 3
高三年级数学理科试卷第 5 页 共 8 页

即 f ( x) ? ?

1 ? 1 sin( 2 x ? ) ? 2 6 2
2

??3 分

又 f ( x) ? a cos ( x ? 比较得: a ? 1, b ? 0

?

a ? a ) ? b ? ? sin( 2 x ? ) ? ? b 3 2 6 2
??6 分

(Ⅱ ) ? ( x) ? g ( x) ? 3 f ( x) ?

1 2? 3 2? 3 sin(2 x ? )? cos(2 x ? )? 2 3 2 3 2

3 ??9 分 3 2 ? ? ? 5? ? (k ? Z ) ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 3 2 12 12 5? ? , k? ? ] (k ? Z ) ∴ ? ( x) 的单调增区间为 [k? ? ??12 分 12 12 ? sin(2 x ? )?
20.(Ⅰ)解:椭圆 W 的长半轴长 a ?

?

2 ,左焦点 F1 (?1,0) ,右焦点 F2 (1,0) ,

由椭圆的定义,得 | AF 1 | ? | AF 2 |? 2a , | BF 1 | ? | BF 2 |? 2a , 所以 ?ABF1 的周长为 | AF .?? 4 分 1 | ? | AF 2 | ? | BF 1 | ? | BF 2 |? 4a ? 4 2 (Ⅱ)解: 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 由 ?2 ? y ? k ( x ? 1), ?
所以 x1 ? x2 ?

得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
o

?? 8 分

由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 , 因为 F 1 A ? ( x1 ? 1, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 1, y2 ) ,
2 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k ( x1 ?1)( x2 ?1)

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 4k 2 7 2 ? (1 ? k ) ? ? 1 ? k 2 ? 0 , 解得 k ? ? . ?? 12 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 7
3 ? 3( x ? 1)( 3x ? 1) 1 ? 3x ? ,令 f ?( x ) ? 0得x ? 或x ? ?1 (舍去) 2 ? 3x 3x ? 2 3
高三年级数学理科试卷第 6 页 共 8 页

21.(本小题满分 12 分) 解: (I) f ?( x) ?

1 1 ?当0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增; 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减 . . 3 3 1 1 ? f ( ) ? ln 3 ? 为函数 f ( x)在[0,1]上的极大值 ,无极小值. ?? 5 分 3 6 3 2 (Ⅱ)由f ( x) ? ?2 x ? b ? ln( 2 ? 3 x) ? x ? 2 x ? b ? 0. 2 3 7 ? 9x 2 令? ( x) ? ln(2 ? 3x) ? x 2 ? 2 x ? b, 则? ?( x) ? , 2 2 ? 3x 7 7 当 x ?[0, ]时,? ?( x) ? 0,? f ( x)在[0, ]上单调递增; 3 3 7 7 当 x ?[ , 2]时,? ?( x) ? 0,? f ( x)在[ , 2]上单调递减 . ?? 8 分 3 3 ? f ( x) ? ?2 x ? b在[0,2]恰有两个不同实根等价 于:

?? (0) ? ln 2 ? b ? 0 ? 7 7 2 7 ? ?b ? 0 ?? ( ) ? ln(2 ? 7 ) ? ? 6 3 ? 3 ? (2) ? ln 8 ? 2 ? b ? 0 ? ? ?? (2) ? ?(0)

? ln 2 ? b ? ln(2 ? 7 ) ?

4 7 ?7 . 6

?? 12 分

2 1? x 22. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x e ? ( x ? 1) ,

则 f ?( x) ?

2 x ? x 2 ? e x?1 2 x?1 x?1 ,令 h( x) ? 2x ? x ? e ,则 h?( x) ? 2 ? 2x ? e . x ?1 e
3 4

易知 h?( x) 在 ( ,2) 上单调递减,又 h?( ) ?

3 4

1 1 ? ? 0, ? h?( x) ? 0. 2 4e

所以 h( x) 在 ( ,2) 上单调递减,又因为 h(1) ? 0 , 所以当 x ? ( ,1) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递增, 当 x ? (1,2) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递减.

3 4

3 4

1), ( 1,2) 所以 f ( x) 在 ( ,2) 上的增区间是( , 减区间是
(Ⅱ)由题可知 g ( x) ? ( x ? a)e
2 1? x

3 4

3 4

?? 4 分
1? x

,则 g ?( x) ? (? x ? 2 x ? a)e
2

.

高三年级数学理科试卷第 7 页 共 8 页

根据题意方程 ? x ? 2 x ? a ? 0 有两个不等实数根 x1、x2 且 x1 ? x2 ,
2

令 ? ? 0 得 a ? ?1 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,所以 x1 ? 1. 由 x2 g ( x1 ) ? ?f ?( x1 ) ,其中 f ?( x) ? (2 x ? x 2 )e1? x ? a ,
2 得 x2 ( x1 ? a)e 1? x1

? ?[(2x1 ? x12 )e1?x1 ? a].将 x2 ? 2 ? x1 , a ? x12 ? 2x1 代入左式得:

2x1 (2 ? x1 )e1?x1 ? ?[(2x1 ? x12 )e1?x1 ? (2x1 ? x12 )],整理得 x1[2e1?x1 ? ? (e1?x1 ? 1)] ? 0 .
即不等式 x1[2e
1? x1

? ? (e1?x1 ? 1)] ? 0 对任意 x1 ? (??,1) 恒成立.
②当 x1 ? (0,1) 时,即 ? ?

??7 分

①当 x1 ? 0 时,得 ? ? R.

2e1? x1 e1? x1 ? 1

令 H ( x1 ) ?

2e1? x1 1 ? 2(1 ? 1? x1 ) ,易知 H ( x1 ) 是 (0,1) 上的减函数, 1? x1 e ?1 e ?1
2e 2e . ,所以 ? ? e ?1 e ?1

所以 H ( x1 ) ? H (0) ?

③当 x1 ? (??,0) 时,即 ? ?

2e1? x1 . e1? x1 ? 1
2e 2e . ,所以 ? ? e ?1 e ?1
?? 12 分

H ( x1 ) 在 (??,0) 上也是减函数, H ( x1 ) ? H (0) ?
综上所述 ? ?

2e . e ?1

高三年级数学理科试卷第 8 页 共 8 页



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