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1.2.2-2函数的表示及映射



1.2.2-2 函数的解析法及映射
要点精析 【知识梳理】 1.函数的解析法是函数的重要表示方法之一,而解析式是其重要表现形式,注意定义域的书写. 2.映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) .记作“ f : A ? B ”. 【难点释疑】 一、根据函数解析式求值 1、求分段函数的函数值是要注意自变量的范围,代入到相应的解析式中. 2、在一个式子中,x 的取值要保持一致.如若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x+2)=2(x+1)2+1=2x2+4x+3,即式子中的 x 都用 x+1 替代;f(3)=2×22+1=9,即式子中的 x 都用 2 替代. 一、求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 二、根据已知条件求解析式 1、换元法;2、配凑法;3、待定系数法;4.实际问题中函数的解析式. 例 1 已知 f(x+2)=x2+3x+3,求 f(x)的解析式. 解法一、换元法 令 t=x+2,则 x=t-2,故 f(t)=(t-2)2+3(t-2)+3=t2-t+1 ∴f(x)=x2+x+1 点评:只要经过换元 x 能被 t 表示出来,均可以使用换元法. 解法二、配凑法 ∵f(x+2)=(x+2)2-x-1=(x+2)2-(x+2)+1 ∴f(x)=x2+x+1 点评:配凑法的思想就是在 f(x+2)的表达式中的 x 都以(x+2)的形式出现. 解法三、待定系数法 由已知得 f(x)是二次函数,不妨设 f(x)=ax2+bx+c, 则 f(x+2)= a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a2+2b+c

?a ? 1 ?a ? 1 ? ? 又因为 f(x+2)=x +3x+3,所以 ?4a ? b ? 3 ,解得 ?b ? ?1 ?c ? 1 ?4a 2 ? 2b ? c ? 3 ? ?
2

∴f(x)=x2+x+1 例 2 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,求 f(x)的解析式. 解:如图,当 P 在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运动时,由 Rt△ABD ?可 得 PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ;当 P 点在 CD 上运动时,由 Rt△ADP 易得 PA= 1 ? (3 ? x ) 2 ; 当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为:

(0 ? x ? 1) ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 2) f(x)= ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3) ? ( 3 ? x ? 4) ?4 ? x
点评:求解实际问题中函数的解析式时注意定义域的书写. 三、关于函数的映射 1.判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. 2.映射的性质 (1)任意性:映射中的两个集合 A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; (2)有序性:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射; (3)存在性:映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象; (4)唯一性:映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的; (5)封闭性:映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素,不要求 B 中的每一个元素都有原象, 即 A 中元素的象集是 B 的子集. 3.映射三要素:集合 A、B 以及对应法则 f ,缺一不可. 4. 函数与映射的关系:函数是映射的一种特殊情况,函数要求两个集合都是非空数集,而映射没有这个规 定. 【拓展延伸】 1.若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x).

1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________. x 1 1 1 1 2 解析:由 f(x)+2f( )=3x 知 f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)= -x. x x x x x 2.若集合 A,B 都是有限集,且 card(A)=m,card(B)=n,则满足 f:A→B 的映射个数是 nm 个.
例 已知 f(x)+2f(



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