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广东省湛江一中2011-2012学年高一第一学期期中考试数学试题



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广东省湛江一中 2011-2012 学年高一第一学期期中考试

数学试卷
考试时间:120 分钟,满分:150 分
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.请把答案填写在答题卷中). 1 . 已 知 全 集 U ? R ,

集 合 A ? ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? , 那 么 集 合

A
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A. ?x | ?2 ? x ? 4? 2.设函数 f ( x) ? ? A. 1

?? B? 等于(
U

) B. ?x | x ? 3或x ? 4? C. ?x | ?2 ? x ? ?1 ? ) D. ?x | ?1 ? x ? 3?
[来

2 ? x ? 1, ?1 ? x , 则 f ? f (1) ? 的值为( 2 x ? x ? 2 , x ? 1 , ? ?

B. 0

C.

15 16
)

D. 18

3.函数 f ( x) ? A. (0,1)

1 ( x ? R )的值域是( 1 ? x2 B. ? 0,1?

C. [0,1)

D. ?0,1? )

4.若函数 f ( x) ? x ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( A.单调递减的奇函数 B.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 A. ? 3 6.函数 f ? x ? ? B. ??
x

5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (??) ? ( C. 1 D. 3



4 ?1 的图象是( ) 2x A.关于原点对称 B.关于直线 y ? x 对称 C. 关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称
7.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为( A. 0.7 ? log0.7 6 ? 6
6 0.7


0.7

B. 0.7 ? 6
6

? log0.7 6

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C. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7
[来源: http://wx.jtyjy.com/.Com]

D. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 )

8.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (4, 2) ,则幂函数 y ? f ( x) 的图象是(

1 ? 0 的根,则 x0 属于区间( ) x ,??) A. ?0,1? B. ?1,10? C. ?10,100? D. (100 1 1 a b 10.设 2 ? 5 ? m ,且 ? ? 2 ,则 m ? ( ) a b A. 10 B. ? 10 C. 10 D. 100
9.若 x0 是方程 lg x ? 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分).
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11.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为

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U? ?R R, AA ? ?x x x( x3 ?? 3) 12.设全集 U , ? x? ?00 , B ? x x ? ?1 ,
则右图中阴影部分表示的集合具体为

??

??

?

?

U A B

13.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数,且 f (4) ? 2 ,则 f ( x) ? 14. 已知 f ( x) ? x 3 ? 2 x ? 5 , f (2.5) ? 0 , 用 “二分法” 求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 (2,3)
3

内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一个有根的区间是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 若函数 y ? f ( x) 既是一次函数,又是奇函数,在 (??, ??) 上又是增函数, 且有 f [ f ( x)] ? 4 x ,求函数 y ? f ( x) 的解析式.

16. (本小题满分 12 分) 二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 。 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2x, x ???1,1? ,且不等式 g ( x) ? m 恒成立, 求 g ( x) 的值域和实数 m 的范围;

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
m

2 9 且 f (4) ? . x 2

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(I)求 m 的值; (II)判定 f ( x ) 的奇偶性;

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(III)证明 f ( x ) 在 [ 2, ??) 上是单调递增函数.

18. (本小题满分 14 分) 某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P (元)与时间 t (天)的函数关系是:

? ?t ? 20, P?? ? ??t ? 100,

0 ? t ? 24, t ? N ? 25 ? t ? 30, t ? N ?

,该商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)

的函数关系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ? ) , 求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的哪一天?

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1

(I)求 f (log2 3) 的值 (II)证明 f ( x) 的是奇函数;
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(III)求 f ( x) 的值域

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20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? ?1) ,是定义在 (?1,1) 上的奇函数. x ?1

(I)求 f (0) 的值和实数 m 的值; (II)当 m ? 1 时,判断函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上的单调性,并给出证明; (III)若 f ( ) ? 0 且 f (b ? 2) ? f (2b ? 2) ? 0 ,求实数 b 的取值范围。

1 2

高一级期中考试数学试卷参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 C 9 B 10 A

二. 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (0,1]
第 4 页 共 8 页

12.

? x ?3 ? x ? ?1?

13. log2 x

14. (2, 2.5)

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15. (本小题满分 12 分)

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .

解:∵函数 y ? f ( x) 是一次函数,∴可设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,????2 分 ∵函数 y ? f ( x) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 ∴b ? 0 ?????4 分

(或 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ ?ax ? b ? ? ax ? b ,∴ b ? 0 ) ∴ f ( x) ? ax (a ? 0) 则 f [ f ( x)] ? a(ax) ? a 2 x ,
2

??????????5 分 ???????????8 分

∵ f [ f ( x)] ? 4 x ,∴ a ? 4 ,解得 a ? 2或a ? ?2 ,??????????10 分 又 f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数, ∴ f ( x) ? 2 x 16. (本小题满分 12 分) 解:(I)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,则??????????2 分 ??????????12 分

f ( x ? 1) ? f ( x) ? [a( x ? 1)2 b( x ? 1) ? c] ? (ax 2 ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b
与已知条件比较得: ? ??????4 分

? 2a ? 2 ?a ? 1 ,又 f (0) ? c ? 1 , , 解之得, ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
??????????6 分
2

? f ( x) ? x2 ? x ? 1

(II)由(I)得: g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? x ? 3 x ? 1 ? ( x ? ) ?
2

3 2

5 , x ? ? ?1,1? ,……8 分 4

当 x ? 1 时, g ( x) 有最小值 ?1 , 当 x ? ?1 时, g ( x) 有最大值 5 ,

∴ g ( x) 的值域为 [?1,5] ; ∵ 不等式 g ( x) ? m 恒成立, ∴ m ? ?1 ∴ 实数 m 的范围是 (??, ?1)

………………………………10 分

??????????12 分

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18. (本小题满分 14 分) 解:设商品日销售额为 y 元,则

? t ? 20)(?t ? 40) 0 ? t ? 24 t ? N ? ?( y ? PQ ? ? ????????5 分 ? ( ? t ? 100)( ? t ? 40) 25 ? t ? 30 t ? N ? ?
2 ?? (t ? 10 ) ? 900 ? ?? 2 (t ? 70 ) ? 9000 ? ?

0 ? t ? 24 25 ? t ? 30

t?N t ? N?

?

????????????9 分 ????????10 分 ?????????12 分 ?????????13 分

若 0 ? t ? 24 ,则当 t ? 10 时, ymax ? 900 若 25 ? t ? 30 ,则当 t ? 25 时, ymax ? 1125 综上得当 t ? 25 ,日销售额有 y 最大值为 1125

答:商品日销售金额的最大值为 1125 元,第 25 天日销售金额最大。????14 分

19. (本小题满分 14 分)

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设t ?

1 ? x ?( x ? 1) ? 2 2 ? ? ?1 ? ,????????7 分 x ?1 x ?1 x ?1

设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 t1 ? t2 ?

2( x2 ? x1 ) 2 2 ??????8 分 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0

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∴ t1 ? t2 .

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???????????????9 分

当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数. ??????????????10 分
当 0 ? a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数. ?????????11 分
(III)由 f (b ? 2) ? f (2b ? 2) ? 0 得 f (b ? 2) ? ? f (2b ? 2) ,

∵ 函数 f ( x) 是奇函数∴ f (b ? 2) ? f (2 ? 2b)

??????12 分

1 1 f ( ) ? log a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 1 2 3
由(II)得 f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数

?????????13 分

?b ? 2 ? 2 ? 2b ? ∴ ? ?1 ? b ? 2 ? 1 ? ?1 ? 2b ? 2 ? 1 ?



4 3 ?b? 3 2
??????????14 分

4 3 ∴ b 的取值范围是 ( , ) 3 2

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