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同角三角函数的基本关系 公开课2课时



同角三角函数的基本关系

合肥光华学校

波利亚:“回到定义去!”

三角函数的定义

在角?的终边上任取点 ( x, y) P (端点除外),则

y ??R sin ? ? r x ??R cos ? ? r
y tan ? ? x

探究1:三者 有何联系? y

? {? ? ? k? ? , k ? Z } 2

O r

x P(x,y)
2 2

其中:r ? x ? y

平方关系和商数关系
y O r
r? x ?y
2 2

sin2?

x P(x,y)

x 2 y 2 ? ? (sin?) ? (cos?) r r ∵ y 2 ? x 2 ? r2 , ∴ sin2? ? cos2? ?1 ??R cos2?
y    sin ? r ? y ? tan ? ? x cos ? x r ? ? ? k ? ? ,k ? Z 2

y sin ? ? ; r x cos ? ? ; r y tan ? ? ; x

同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin ? ? cos ? ? 1, ? ? R
2 2

? sin ? ? tan ?, ? ? k? ? (k ? Z) 商数关系: 2 cos ?
探究2:平方关系和商数关系是反映同一个角的三角 函数之间的两个基本关系,它们都是恒等式,如何用 文字语言描述这两个关系?

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1

同一个角的正弦、余弦商等于这个角的正切.

游戏:判断对错

??? ??? ??? ??? ???

1 sin 27?+cos 63? ? 1
2 2

27

2 sin 4? ? cos 4? ? 1
2 2

3 sin2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) ? 1 4 cos? ? 1 ? sin ? 1 2 5 tan ? +1 ? 2 cos ?
2

±

sin2? ? cos2? ? 1

是否存在同时满足下列三个条件的角

3 (1) sin ? ? ? 5 5 ( 2) cos ? ? ? 13

??

不存在

(3) t an? ? 2

公式运用三类题型
? 已知一个角的一个三角函数值,求这个角 的其它几个三角函数值。
? 三角函数式的化简 ? 三角恒等式的证明
下节课再讲

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sin? tan?

cos?

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sin? tan?

cos?

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sin?
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

cos?

sin ? ? tan ? cos ?

tan?

例题(一) P19例6
3 ? 已知,sin ? ? ? 求 cos ? , tan ? 的值。 5 3 解: ? sin ? ? ? ? 0 ?? ? III 或? ? IV 5 (1)当 ? ? III 时 cos ? ? 0 sin ? 3 4 2 tan ? ? ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? cos ? 4 5

(2)当 ? ? IV
2



cos ? ? 0

4 cos ? ? 1 ? sin ? ? 5

sin ? 3 tan ? ? ?? cos ? 4

分类讨论

练习(一)
例1 已知:sin? ? ? 0.8,且? 为第三象限角, 求:cos?,tan? 的值.
解:∵ ? 为第三象限角,∴ cos? < 0 ,于是
cos? ? ? 1? sin ? ? ?0.6 sin ? 4 tan? ? ? cos ? 3
2

从而

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sin?
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? ? tan ? cos ?

cos?

?

tan?

?

cos ? ∴ ? ? tan ? )2 ? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1,即有cos 2 ? ? (cos

例2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? , cos ? 解:∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 tan ? ? sin ?

例题(二)

又∵ tan ? 为非零实数,∴

? 为象限角。

1 1 ? tan 2 ?

当? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而
1 1 ? tan 2 ? cos ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?



? 在第二、三象限时,即有cos ? ? 0,从而

tan ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? 1 ? tan 2 ?

1 1 ? tan 2 ? cos ? ? ? ?? 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?

tan ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? ? 1 ? tan 2 ?

公式运用之一
已知一个角的一个三角函数值,求这个 角的其它几个三角函数值。 sin?
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

cos?

sin ? ? ?

tan ? tan 2 ? ? 1

sin ? ? tan ? cos ?

cos ? ? ?

1 tan 2 ? ? 1

tan?

练习
已知:tan? ?2,填空:
sin ? ? cos ? ? ________ -3 (1) sin ? ? 3cos ?
分子分母同 除以cos? 2? 2sin2? ?2cos2?

7 sin ? 4 ? ________ (2) 2 2 ? 3cos ?
2

sin ? 2 ? ________ (3) 3 3 sin ? ? 3cos ?

sin? ? sin? ? (sin2? ?cos2? )

●归纳小结
1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系. 发现规律

2.同角三角函数关系的基本关系的应用 规律的应用
(1)已知角 ? 的某一三角函数值,求它的其它三角

函数值;

作业:
P20 练习:1,2,4,5. P21习题1.2A组:11,12.



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