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一题多解专题05:向量在平面几何中的应用



一题多解专题五:向量在平面几何中的应用
解三角形与向量知识综合问题的方法: (1)解三角形的问题中含有向量时,通常需要把边长与向量的模相联系,三角形的内角与向 量夹角相联系,注意向量夹角与三角形内角的相等关系或互补关系. (2)应用余弦定理求出未知的边长和角,从而易于求出向量的有关问题. 例:若等边△ ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

1 2 CB ? CA ,则 NA ? MB 6 3

=__________. 思路点拨:一种方法是建立平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方 法是将 MA, MB 用 CA, CB 表示,然后用数量积的定义计算. 方法一:以 BC 的中点为原点,BC 所在直线为 x 轴建立如图(1)所示的 平面直角坐标系,根据题设条件可知 A(0,3), B(? 3,0),C( 3,0) 设 M ( x, y ) ,则 CM ? ( x ? 3, y),CB ? (?2 3,0),CA ? (? 3,3) 由 CM ?

1 2 CB ? CA 得: 6 3 1 2 ( x ? 3 , y ) ? (?2 3 ,0) ? (? 3 ,3) ? (? 3 ,2) 6 3

图(1)

? x ? 0, y ? 2 , ? 点 M 的坐标为 (0,2) , ?MA ? (0,1), MB ? (? 3,?2) ? MA ? MB ? ?2 .
方法二:由于 MA ? CA ? CM ? CA ? ( CB ?

1 2 1 1 CA) ? CA ? CB 6 3 3 6 1 2 2 5 MB ? CB ? CM ? CB ? ( CB ? CA) ? ? CA ? CB 6 3 3 6 2 2 1 1 2 5 2 7 5 CB ? MA? MB ? ( CA ? CB ) ? (? CA ? CB ) ? ? CA ? CA ? CB ? 3 6 3 6 9 18 36
又 ?ABC 是边长为 2 3 的等边三角形,

2 2 2 7 5 ? CA ? CB ? 12, CA ? CB ? 6 ,? MA ? MB ? ? ?12 ? ? 6 ? ?12 ? ?2 9 18 36

特别提醒:用向量知识解决平面几何问题的两个关注点 (1)若可以建立平面直角坐标系,则建系后用向量的坐标运算较容易解决. (2)若不易建系,则先选取一组基底,基底中的向量最好可知模及两者之间的夹角,然后将 问题中出现的向量用基底表示,再用向量的运算法则、运算律等进行计算.针对性练习: 1.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 边上的点,AB=3,BD=1,则 AB ? AD =________. 解析:方法一:如图(2)所示,B=60°, 图(2)

由余弦定理得 AD =3 +1 -2×3×1×cos 60°=7, ∴AD= 7 ,
2 2 2

再由余弦定理得 cos ∠BAD=

32 ? ( 7)2 ? 12 5 7 , ? 14 2 ? 3? 7
5 7 15 . ? 14 2

所以 AB ? AD ? AB ? AD cos ?BAD ? 3 ? 7 ?

方法二:∵ AD ? AB ? BD , ?AB ? AD ? AB ? (AB ? BD) = AB ? AB ? BD ? AB ? AB ? BD cos 120? =9+3×1× ( ? ) ?
2 2

1 2

15 . 2

2.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________. 【解析】方法一:如图(3)所示,以 AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴 建立平面直角坐标系,设 E(t,0) , 0 ≤ t ≤ 1 ,则

D(0,1), B(1,0) , C(1,1), ? DE =(t,-1), CB =(0,-1),∴ DE CB =1.
方法二:选取{ AB , AD }作为基向量,设 AE ? t AB ,
2

图(3)

则 DE CB ? (t AB ? AD) (?AD) =-t AB AD ? AD =0+1=1. 3. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE . 证明:方法一:设 AB ? a, AD ? b, 则 AF ? a ?

1 1 b, ED ? b ? a, 2 2 1 1 1 2 1 2 3 b ∴ AF ED ? (a ? b) (b ? a) = b ? a ? a·. 2 2 2 2 4

2 2 又 AB ? AD 且 AB ? AD, ∴a =b ,a·b=0. ,

∴ AF ED =0,∴AF⊥DE. 方法二:以 AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,

图(2)

设 AB=2,则 A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),∴ AF =(2,1), DE =(1,-2). 又∵ AF DE =2×1+1×(-2)=0, ∴AF⊥DE.



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