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高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》1.1.2 四种命题


命题及其关系
1.1.2 命题的四种形式

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p ?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。 ?其中p和q可以是命题也可以不是命题. ?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨 别,缺点是太格式化且不灵活.

课前练习
将命题“当a>0时,函数y=ax+b的值随x值的增加 而增加.”改写成“若p则q”的形式,并判断命题的 真假。 解答:当a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的值也随 之增加。它是真命题.

在本题中,a>0是大前提,应单独给出, 不能把大前提也放在命题的条件部分内.

原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐p, ? 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p

下列四个命题中,命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么 关系?
1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

三个概念
1、互逆命题:如果第一个命题的条件(或题设)是第二个 命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那 么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的逆命题。 2、互否命题:如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题。如果 把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命 题。 3、互为逆否命题:如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做 互为逆否命题。

判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。

否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。 ? 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,即只否定结论不否定条件。 ? 对于原命题: 若 p , 则 q , 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ,则┐q 。
?

一.四种命题的概念

知识巩固
?根据要求分别写出下列命题。
A 原命题: 若a>b,则a+c>b+c .
逆命题: 若a+c>b+c,则a>b. 否命题: 若a≤b,则a+c≤b+c. 逆否命题: 若a+c≤b+c,则a≤b. C 原命题: 若p则q 逆命题: 若q则p 否命题: 若﹁ p则﹁ q 逆否命题:若﹁ q则﹁p

B 原命题: 若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。
逆命题: 若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 否命题: 若四边形不是正方形,则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。

一.四种命题的概念

知识巩固
?把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 若一个数是负数,则它的平方是正数。 原命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数。 逆命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数。 否命题: 若一个数的平方不是正数,则它不是负数。 逆否命题: 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:

若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形。 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形。

二.四种命题的关系

1.互逆命题的真假关系
?判断下列命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 真 逆命题:若a+c>b+c,则a>b 真
原命题与其逆 命题的真假是 否存在相关性 呢?

原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 真 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 假 原命题:若a>b,则ac2>bc2 假 逆命题:若ac2>bc2,则a>b 真

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形对角线相等。 假

结 论 1

原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。

二.四种命题的关系

2.互否命题的真假关系
?判断下列否命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 否命题:若a≤b,则a+c≤b+c

真 真

原命题与其否 命题的真假是 否存在相关性 呢?

真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 假 否命题:若四边形不是正方形,则四边形两对角线不垂直。
原命题:若a>b,则ac2>bc2 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2

假 真

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 假 否命题:若四边形对角线不相等,则四边形不是平行四边形。

结 论

2

原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。

二.四种命题的关系

3.互为逆否命题的真假关系
?判断下列逆否命题的真假,并总结规律。
原命题:若a>b,则a+c>b+c 逆否命题:若a+c≤b+c,则a≤b

真 真

原命题与其逆 否命题的真假 是否存在相关 性呢?

真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。
原命题:若a>b,则ac2>bc2 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b

假 假

假 原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 假 逆否命题:若四边形不是平行四边形,则四边形对角线不相等。

结 论 3

原命题和逆否命 题总是同真同假。

二.四种命题的关系

4.否命题和逆命题的真假关系
?观察下列命题的真假,并总结规律。
真 否命题:若a≤b,则a+c≤b+c 真 逆命题:若a+c>b+c,则a>b
否命题与其逆 命题的真假是 否存在相关性 呢?

假 否命题:若四边形是不正方形,则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 真 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2 真 逆命题:若ac2>bc2,则a>b 假 否命题:若四边形对角线不相等,则四边形不是平行四边形。 假 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形对角线相等。

结 论

4

逆命题和否命题总 是同真同假。


原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q


逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

例 : 设原命题是“当c >0 时,若a >b ,则ac >bc ”,写出 它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假。

解: 逆命题:当c >0 时,若ac >bc ,则a >b. 逆命题为真. 否命题:当c >0 时,若a ≤b ,则ac ≤ bc . 否命题为真. 逆否命题:当c >0 时,若ac ≤ bc ,则a ≤b . 逆否命题为真.

一般地,四种命题的真假性,有且仅有下 面四种情况:
原命题 真 真 逆命题 真 假 否命题 真 假 逆否命 题 真 真













准确地作出反设(即否定结论)是非常重要 的,下面是一些常见的结论的否定形式.
词语
是 都是 大于 小于

词语的否定
不是 不都是 不大于
大于或等于 (不小于)

词语
至少有一个 至多有一个

词语的否定
一个也没有 至少有两个

至少有n个 至多有(n-1)个 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立

练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x ? 2 x ? q ? 0 有实根。
2

(2)若ab=0,则a=0或b=0. (3)若 m ? 0 或n ? 0 ,则 m ? n ? 0 。 (4)若 x ? y ? 0 ,则x,y全为零。
2 2

总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

反证法:
? 要证明某一结论A是正确的,但不直接证 明,而是先去证明A的反面(非A)是错 误的,从而断定A是正确的。 ? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法。


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