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复数的概念是整个复数内容的基础


复数的概念是整个复数内容的基础. 复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开 的.虚数单位、实部、虚部的命名,复数相等的充要条件,以及虚数、纯虚数等概念的 理解,都应促进对复数实质的理解,即复数实际上是一有序实数对.类比实数可以用数 轴上的点表示,把复数在直角坐标系中表示出来,就得到了复数的几何表示.用复平面 内的点或平面向量表示复数,不仅使抽象的复数有了直观形象的表示,而且也使数和形 得到了有机的结合. 复数代数形式的四则运算,即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法,重点是加 法和乘法.复数加法和乘法的法则是规定的,其合理性表现在这种规定与实数加法、乘 法的法则是一致的. 二、重难点知识归纳 1、虚数单位 i 由于解方程的需要,人们引进了一个新数 i,叫做虚数单位. 并且规定: (1)它的平方等于-1,即 i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加、乘运算律,仍然成 立. 2、复数 形如 a+bi(a,b R)的数叫作复数,其中 a,b 分别叫作复数 a+bi 的实部、虚部,复 数常用字母 z 表示. 全体复数组成的集合叫作复数集,一般用字母 C 表示. 注意:(1)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集, 且 R {虚数}=C,R {虚 数}= .

(2)复数 z=a+bi(a,b R)的虚部是 b,而不是 bi. 3、复数相等的条件 如果 a,b,c,d R,那么

a+bi=c+di a+bi=0

a=c,b=d;

a=b=0.

4、复数的几何意义 任何一个复数 z=a+bi 与复平面内的一点 Z(a,b)对应,复平面内任意一点 Z(a,b) 又可以与以原点为起点,点 Z(a,b)为终点的向量 对应.这些对应都是一一对应.

向量 bi|=r=

的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|.容易看出|z|=|a+ .

可以得出如下结论:

(1)

;

(2)

;

(3) 5、复数的运算







(1)加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

(4)除法: 6、共轭复数



当两个复数实部相等、虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,虚部不 为 0 的两个共轭复数也叫作互为共轭虚数,复数 z 的共轭复数用 来表示. 共轭复数的有关性质:

(1)



(2)|z|=| |;

(3)

;

(4)

,且

z 为纯虚数;

(5)复平面内表示共轭复数的两个点 Z 与 三、典型例题剖析

关于实轴对称.

例 1、求当 m 为何实数时,复数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.



解:(1)当

,即 m=5 时,z 是实数.

(2)当

,即



时,z 是虚数.

(3)当

,即 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数

例 2、复数 (1)求证:复数 z 不能是纯虚数; (2)若点 Z 在第三象限内,求 x 的取值范围;

,设 z 在复平面上对应的点为 Z.

(3)若点 Z 在直线 x-2y+1=0 上,求 x 的值.

(1)证明:(反证法)若 z 为纯虚数,则有 解得 x=-1,或 x=4.



当 x=-1 时,

无意义,当 x=4 时,

=0,

复数 z 不能是纯虚数.

(2)解:由题意得

,解得



即当

时,点 Z 在第三象限内.

(3)由题意得



解得

,或

(舍去),

即当 例 4、计算:

时,点 Z 在直线 x-2y+1=0 上.

(1)(-2+3i)÷ (1+2i);

(2)(5-29

i)÷ (7-3

i);

(3)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i

(1)原式

.

(2)原式

. (3)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.

例 5、计算:

解析: 由此,原式得以化简.





原式

规律总结:利用某些特殊复数的运算结果,如









,i 的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处.

11、已知复数

(k R),且 z<0,则 k=_______.

12、(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=___________.

13、若 x,y

,且

,则 x=______,y=_________.

14、若复数 1,a+bi,b+ai(a,b R)成等比数列,则 a,b 的值分别为_________. 11、2 12、-11i 13、-1,-5

14、



例 1、(2009 年北京卷)在复平面内,复数 z=i(1+2i)对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 答案:B 解析: B.第二象限 D.第四象限



由 B.

可得,复数 z 对应的点为(-2,1)位于第二象限,故选

例 2、(2009 年四川卷)复数 A.-1 C.-i 答案:A 解析: B.1 D.i

的值是( )

.

例 3、(2009 年福建卷)若 答案:2 解析:

=a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b=_______.



,∴a=1,b=1, ∴a+b=2.

例 4、(全国新课程高考试题)

( )

A.

B.

C.

D.

解析:原式 答案:B



例 5、(江苏省高考试题)已知复数 z=1+i,求使得 az+2b = z 的共轭复数) 解析:

的实数 a,b. ( 为

把 z=1+i 代入等式,左、右两边都化为 x+yi 的形式,利用复数相等的条件建立关 于 a,b 的二元方程组. 解:

z=1+i,

az+2b =(a+2b)+(a-2b)i,



a,b R,

由 az+2b =





两式相加,整理得 a2+6a+8=0,解得 a1=-2,a2=-4, 对应得 b1=-1,b2=2,

所求实数为 a=-2,b=-1;或 a=-4,b=2.


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