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椭圆焦点三角形内角平分线的有趣性质


万 号


解 如图

所示 设

,

,

则 其余 各 棱 长


均为






,

中点

,

连结
,



,





的距 离为
,

厅 号

,

土面

平面 和

把四
。 。

说 明 我 们 发 现 今 年 高 考 理 科 试题 第 题 与 以上 三 例 实 际 上 是 一 致 的
二 求 截面 面 积 的 最 大 值

,


面 体 分 成 了两 部 分








卜。一

尸一






。,

。。
,




十玄


△八

。乙

用 一 个截 面 去截 给 定的 三棱锥




△‘” “

,

又七 七 十 万 乙 少


下 办 △ 月邢

使这三棱锥的相对棱和截 面平 行 求这
,

因为





一 ‘一

截 面取 什 么 位置 时 其 面积 最 大 解 如图
, ,


,



,

在平
尹 一

设截 面 为
,

因为 所以





,



内作


,











二 翌 一 粤一 旦 三

任 △

所以
?

丫 一二
一一

同理

,

丁一




所 以 四边 形

是平 行 四 边形



,

所 以、
,

设 异 面 直线


,





所 成的角为
?



一告




,











所以 中
,

次 不乎

了 一扩

在△尸





,


?

在 △尸





?

尸 一一

肌以




一习

一 一万 一一一


了 一



?

,

所以


“ 一丁万 一 了

丫 二乎 廿 二 万 一 万百 升甲
,

,









为定值

?

,

为定值 所 以
? ?

,

, 面

所以
,









井 架 兰、 奋 丝 犷
,



,



飞百


,



当且 仅 当

一 当且 仅 当 尹 一
,





“一

,









尸 时 取 等 号 即 当点





的 中 点 时 截面 当




丫生 万

时 取等 号 即
,

的面积 最大
三 求 几 何 体 体积 的 最 大 值
尸 , ,






丫竺 万

。 协 一、 二 , 小, 时 四 面 体的 体积 最大 最 大值为
,



‘二





客 亦


,

以 上 两 例 求 极 值 问 题 都应 用 了 均 值 不 等
,

式 应 用 这 种 方 法 时 分 出 定值 部 分 同 时 使 变 量 部分 的 和 或 积 出现 定 值 总之
, “

,

,

,

,

函 数极 值 法 在 立 几 中的 应 用 拓 宽
,



,

了 我 们 的想 象 空 间 给 了 我 们 空 间 观 念 的 一 个 有 益 启 示 使 我们感 觉 到 数 学 问 题真 奇 妙
, ,



一 个 四 面 体 的 一 条棱 长 为
,

其余各

棱长均为 体积最 大

试问 当

为 多少 时 该 四 面 体 的

,

姗 着杀 南

药 漏 窦如象缅矫嘲溥续 麟琴

最 大值 是 多 少

解 因为

一 一令 ‘

,



,

,





由定 理






,



,

由直 线 方 程 的 两 点 式 知

‘的 方 程 为

由椭 圆焦半 径公 式知

一。


一备
?

一一注匕 丫 犷 一 共弃 一 艺

矿 犷 一 矿扩
,


一 一 一万

了了

一 于 二即 一 一 于一














一 “一 一



了“






,

一晋

,

是椭 。

纂若
,





上除




,

是 椭 圆 护尹


去 左 右 顶 点 外的任 一 点 试 求△尸
的 内心

是左 右焦点


,

上 的一点 的 内心 若 △
,



是左 右焦点



是△尸

的 轨迹 方 程
,

与△尸

的面 积之 比 为

解 设 知





,

由 题 设 及 定理

试 求此椭 圆 的 离心 率 解 由题设 及 定理
△, △
£ 扩 ‘



下一




一一

一 几一

,







一一一


因为点


在椭 圆 奋
夕 一
,
e Z z -

一 买
口一
。。

上 故
少,
,

,

解得





为 所求


二 e奋
艺 a Z




三 二号 奋
b

即气
一,
一 a z



几 二六 号 乙 二 砂
z b

.



是 椭 固专 十 少 一

,

的左 右焦


因 为 点 尸 不 在 x 轴 上 故 y 并。 从 而 知 欲 P 2 . (l + e )2少2 : 八 小 从‘ , 、幻 、 x 一 . z 了 ) 求 的 轨 迹 方程 为 去 十 二气爹 乙 ~ e (y 并0 , aZ 八
,
,


,





.



~

v

~

一~
,









一 ‘



z b

点 经过 椭 圈上 一 点 尸

,

了万

作匕

的平

综 上 知 一 些 精 彩 有 趣 的 问 题 往 往 来 自探 索 和 研 究 故 在 教 与 学 中 要 善 于 对 问题 的研 . 究 大 胆 探索 这 样 才 能 培 养 创 新 意识
, ,
, ,

,

分线

,

试求

所在 直 线的 方 程

解 设




轴 于点

,

,

,

因为



,

一丁

了 万

,

Z p 由 定理 ( 3 知 匀 = e x )

3 4

,

奎 斗滩操蜘鞠编舞翻接琢筋晚解龄{

从而 知 点

. 张智亮


,

性 质 的 妙 用
~
, l




, 1

, 如 果复 数 扩 ~ 1 那 么 称 a 为 1 的 三 次方 . . 有 三 个 三 次 方根 它们 分 别是 1 一 下 十 ‘
. 、 _
一 2 2

子 联 一 1石 一


1

2 互
~ 。

i

,



有 如下性 质

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兰 I
2

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. 、。








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t 刀一万 乙

2 互




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,

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1 了 万 ‘ 叭~ 一 万 厄一 一
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,

= 圣

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