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专题4.1(1) 题型特点与命题规律-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点+题型全突破 Word版含解析


题型特点与命题规律
在高中数学教学中,数列教学是其中较为典型的离散函数代表知识之一,并在高中数学中占有 相当重要的地位,也是历年高考必考的内容。 【2017 年最新考试大纲】 导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景。②理解导数的几何意义。 (2)导数的运算
2 ①能根据导数定义,求函数 y ? c,y ? x,y ? x ,y ?

1 的导数。 x

②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 ·常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式: (C)′=0(C 为常数) ; (x )′=nx ,n∈N (sin x)?? ? cos x ; (cosx)? ? ? sin x ;
n n-1
+

(e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a(a ? 0且a ? 1) ; (ln x ) ? ?
·常用的导数运算法则: ·法则 1

1 1 ; (log a x)? ? log a e(a ? 0且a ? 1) x x

?u ( x) ? v( x)?? ? u ?( x) ? v ?( x)
?

·法则 2 ?u ( x )v ( x )? ? u ?( x )v ( x) ? u ( x)v?( x)

? ? u ( x) ? u ?( x)v( x) ? u ( x)v ?( x) ? (v( x) ? 0) ·法则 3 ? ? v 2 ( x) ? v( x) ?
(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多 项式函数一般不超过三次) 。 ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多 项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三 次) 。 (4)生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题。

五年高考考情分布 2012-2016 年全国高考数列试题分布表
分 年份 2016 年Ⅰ 题型 解答题第 21 考查角度 值 导数在函数中的应用 12 困难 难度



题 填空题第 16 导数的几何意义 5 困难

2016 年Ⅱ 卷

题 解答题第 21 导数在研究单调性与求最值中应用 题 填空题第 15 导数的几何意义 5 中等 12 困难

2016 年Ⅲ 卷

题 解答题第 21 题 选择题第 12 导数在函数中的应用 5 困难 导数在函数中的应用、导数在证明不等式中的应 12 用 困难

2015 年Ⅰ 卷

题 解答题第 21 导数的几何意义、导数在函数中的应用 题 选择题第 12 导数在函数中的应用 5 困难 12 困难

2015 年Ⅱ 卷

题 解答题第 21 导数的综合应用 题 选择题第 11 导数与极值的关系 5 中等 12 困难

2014 年Ⅰ 卷

题 解答题第 21 导数的几何意义、导数在证明不等式中的应用 题 选择题第 8 导数的几何意义 5 中等 12 困难

2014 年Ⅱ 卷

题 解答题第 21 导数在研究单调性与求最值中应用 题 填空题第 16 导数与函数最值的关系 5 困难 12 困难

2013 年Ⅰ 卷

题 解答题第 21 导数的几何意义、导数在证明不等式中的应用 题 12 困难

2013 年Ⅱ 卷

选择题第 10 导数与函数的关系 题 5 中等

选择题第 11 导数与函数的关系 题 解答题第 21 导数与函数的关系、导数在证明不等式中的应用 题 选择题第 10 导数与函数最值的关系 2012 年Ⅰ 卷 题 解答题第 21 题 选择题第 10 导数在求函数单调性与最值中的应用 2012 年Ⅱ 卷 题 解答题第 21 导数在求函数单调性与最值中的应用 题 【热门考点展示】 1. 2. 3. 4. 5. 6. 导数的几何意义 导数的运算 定积分的运算 含参数的函数导数问题 导数与不等式的交汇 恒成立问题求参数 困难 5 中等 利用导数研究函数的单调性、导数在证明不等式 12 中的应用 困难 5 中等 12 困难 5 中等

【命题预测】 本部分是高考重点考查内容,涉及的知识点多,综合性强,预计 2017 年的高考仍将突出导数的 工具性,重点是利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题,其中蕴含对转化与化归、分 类与讨论和数形结合等数学思想方程的考查,常与函数的单调性、方程的零点、不等式的证明 及恒成立问题交汇命题,难度较大.主要题型仍将有: (1)以小题形式考查导数与定积分的计 算及其几何意义; (2)以大题的形式出现,考查导数在函数的应用中(单调性,极值与最值) .

【典例 1】 【2016 高考新课标 3 理数】已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时,
f ( x) ? ln(? x) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, ?3) 处的切线方程是_______________.
【答案】 y ? ?2 x ? 1

考点:1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义. 【知识拓展】 本题题型可归纳为“已知当 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) ,则当 x ? 0 时,求函数的解析式” .有如 下结论:若函数 f ( x) 为偶函数,则当 x ? 0 时,函数的解析式为 y ? ? f ( x) ;若 f ( x) 为奇函 数,则函数的解析式为 y ? ? f (? x) .

【典例 2】 【2015 新课标 1 理 12】设函数 f ( x) = e x (2 x ?1) ? ax ? a ,其中 a1,若存在 唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) 0,则的取值范围是(
(A)-


3 ,1) 2e

3 3 3 ,1) (B), ) 2e 2e 4

(C)

3 3 , ) 2e 4

(D)

【答案】D
x 【解析】设 g ( x) = e (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在直线

y ? ax ? a 的下方.
因为 g ?( x) ? e (2 x ? 1) , 所以当 x ? ?
x
? 1 2

1 1 1 时, 当 x ? ? 时, 所以当 x ? ? g ?( x) <0, g ?( x) >0, 2 2 2

时, [ g ( x)]max = -2e



当 x ? 0 时,g (0) =-1,g (1) ? 3e ? 0 , 直线 y ? ax ? a 恒过 (1,0) 斜率且 a , 故 ?a ? g 0 ( ) 且 g (?1) ? ?3e ? ?a ? a ,解得
?1

? 1? ,

3 ≤ a <1,故选 D. 2e

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 【思路点拨】 对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函

数) ,则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合,利用导数先研 究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函数图像不易做, 常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解;思路 3:分类讨论,本题用的就是思 路.
x 【典例 3】 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? a ? x ? 1? 有两个零点. 2

(I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是 f ? x ? 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【答案】 (0, ??)

试题解析;(Ⅰ) f '( x) ? ( x ?1)e ? 2a( x ?1) ? ( x ?1)(e ? 2a) .
x x x (i)设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 2)e , f ( x ) 只有一个零点.

(ii)设 a ? 0 ,则当 x ? (??,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x ) 在

(??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增.
又 f (1) ? ?e , f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln

a ,则 2

f (b) ?

a 3 (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 , 2 2

故 f ( x ) 存在两个零点.

综上,的取值范围为 (0, ??) . (Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ,由(Ⅰ)知 x1 ? (??,1), x2 ? (1, ??) , 2 ? x2 ? (??,1) , f ( x ) 在 (??,1) 上 单调递减,所以 x1 ? x2 ? 2 等价于 f ( x 1) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . 由于 f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? a( x2 ?1)2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)ex2 ? a( x2 ?1)2 ? 0 ,所以

f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? ( x2 ? 2)ex2 .
设 g ( x) ? ? xe2? x ? ( x ? 2)e x ,则 g '( x) ? ( x ?1)(e2? x ? e x ) . 所以当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . 考点:导数及其应用

【思路点拨】 对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注 意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是构 造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解



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