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山东省烟台市2015届高三下学期一模诊断测试数学(文)试题



2. 已知集合 ? ? ? x ? x ? 3?? x ? 6 ? ? 0, x ? ?? , Q ? ?5,7? ,则下列结论成立的是( A. Q ? ? B. ? Q ? ? C. ? Q ? Q D. ? Q ? ?5?



3. 已知向量 a ? ?1, 2? , 则 ? ?( c ? ? 4, ?3? . 若 ? 为实数且 ?

a ? ?b ? ? c , b ? ?1,0? , A.
1 4



B.

1 2

C.

D. )

4. 若条件 p : x ? 2 , 条件 q : x ? a , 且是的充分不必要条件, 则的取值范围是 ( A. a ? 2 B. a ? 2 C. a ? ?2 D. a ? ?2

5. 某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均 为,则该几何体体积为( A. C.
32 ? 8 3 ? 3
4?3 3 ? 3



B. D.

32 ? 3 ? 3
4? 3 ? 3

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6. 已知点 ? ? x, y ? 的坐标满足 ? x ? y ? 0 ,点的坐标为 ?1, ?3? ,点 ? 为坐标原点, ?x ? 3 ?

则 ?? ??? 的最小值是( A. 12
?

) C. ?6 D. ? 21

B. 5
4?

?? 7. 将函数 y ? 2sin ? ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的图象分别向左. 向右各平

移 个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则的最小值为

? 4

( A.
1 2

) B. C. D.

8. 右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的 平均重量为( A. 13 ) B. 12 C. D. 10

9. 已知 ? ? x, y ? 是直线 kx ? y ? 4 ? 0 ( k ? 0 )上一动点, ?? 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的 一条切线,是切点,若线段 ?? 长度最小值为,则 k 的值为( A. 3 B.
21 2



C. 2 2

D.

? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 10. 已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a? ? f ? 2 a ? x? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立, ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

则实数的取值范围是( A. ? ??, ?2?

) C. ? 0, 2 ? D. ? ?2,0 ?

B. ? ??,0?

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. 函数 f ? x ? ?
1 的定义域为 log 2 ? x ? 2 ?

.

12. 某程序框图如图所示,现依次输入如下四个函数:
1 e x ? e? x ① f ? x ? ? cos x ;② f ? x ? ? ;③ f ? x ? ? lg x ;④ f ? x ? ? ,则可 x 2

以输出的函数的序号是

.

13. 已知曲线 y ? a sin x ? cos x 在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 则 实数的值为 .
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线 7 9

14. 已知抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与双曲线

与轴的交点为,点在抛物线上,且 ?? ? 2 ?F ,则 ??F? 的面积为
1
x

.

? 15. 关于方程 ? ? ? ? sin x ? 1 ? 0 ,给出下列四个命题:①该方程没有小于 0 的实数 ?2?

解;②该方程有无数个实数解;③该方程在 ? ??,0? 内有且只有一个实数根;④若
x0 是方程的实数根,则 x0 ? ?1 ,其中所有正确命题的序号是

.

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演 算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一, 某地规定, 从 2015 年开始, 将对二氧化碳排放量超过 130 g / km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单 位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单 位: g / km ).

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120 g / km .

?1? 求表中的值,并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;
? 2 ? 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超
过 130 g / km 的概率是多少?

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? a? b,其中 a ? ? 2cos x, ? 3 sin 2 x ? ,
b ? ? cos x,1? , x ? R .

?1? 求函数 y ? f ? x? 的单调递减区间;
? 2 ? 在 ???C 中,角 ..
C

所对的边分别为 . b . , f ? ?? ? ?1 , a ? 7 ,且向量

m ? ?3,sin ?? 与 n ? ? 2,sin C? 共线,求边长 b 和的值.

18. (本小题满分 12 分)如图, ?? CD 是正方形, D? ? 平面 ?? CD .

?1? 求证: ?C ? 平面 ? D ? ;

? 2 ? 若 ?F//D? ,D? ? 3?F ,点 ? 在线段 ? D 上,且 ?? ? 3 ?D ,
求证: ?? // 平面 ??F .

1

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 项 和 为 Sn , an . Sn 满 足

?t ?1? Sn ? t ? an ? 2? (为常数, t ? 0 且 t ? 1 ). ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 设 bn ? ? ?an ? ? log3 ?1? Sn ? ,当 t ? 3 时,求数列 ?bn ? 的前项和 ?n .
1

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ex , g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ).

?1? 若 f ? x ? 的图象与 g ? x ? 的图象所在两条曲线的一个公共点在轴上,且在该点处
两条曲线的切线互相垂直,求 b 和的值;

? 2 ? 若 a ? c ? 1 , b ? 0 ,试比较 f ? x ? 与 g ? x ? 的大小,并说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 焦点到直线 y ? x 的距离为 3 .

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,右 2 a b 2

?1? 求椭圆的方程;
? 2 ? 已知点 ? ? 2,1? ,斜率为 2 的直线 l 交椭圆于两个不同点.,设直线 ?? 与 ?? 的
斜率分别为 k1 ,k2 ,①若直线 l 过椭圆的左顶点,求此时 k1 ,k2 的值; ②试猜测 k1 ,
1

k2 的关系,并给出你的证明.

110 ?, 120 ?, 140 ?, 150 ?, 120 ?, 140 ?, ?80 , ?80 , ?80 , ?80 , ?110 , ?110 , 150 ?, 140 ?, 150 ?, 150 ? ,????10 分 ?110 , ?120 , ?120 , ?140 ,

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 g / km ”为事件, 则 P( A) ?
7 ? 0.7 , 10

所以至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 g / km 的概率是 0.7 . ???12 分 17. 解: (1) f ( x)=2 cos2 x ?
3
? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ,??3 3



令 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? ? ? ,解得 k ? ? ? ? x ? k ? ? ?(k ? Z) ,
6 3

? 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?k ? ? ?

?? ,k ? ? ? (k ? Z) . 6 3?

???6 分

?? ?? ? (2)∵ f ? A? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 A ? ? ? ?1 ,∴ cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,
? 3? ? 3?

又?

3

? 2A ?

?
3

?

7? 3

,∴ 2 A ? ?

3

??

,即 A ? ? ,????8 分
3
2

∵a ?

7 ,由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 3bc ? 7 .

??①

因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,所以 2sin B ? 3sin C , 由正弦定理得 2b ? 3c ,??②???11 分 解①②得 b ? 3 , c ? 2 . ????12 分 18. (1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AC . ?????2 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD ,又 BD DE =D , 从而 AC ? 平面 BDE . ?????5 分 (2)解:延长 EF、DA 交于点 G , 因为 AF // DE , DE ? 3 AF , 所以 GD ? DE ? 3 ,????7 分
1 BM 1 因为 BM ? BD ,所以 ? , 3 BD 3
G BM GA 1 所以 ? ? ,所以 AM // GB ,??10 分 BD GD 3
F
A E

GA

AF

1

D
M
B

C

又 AM ? 平面 BEF , GB ? 平面 BEF , 所以 AM // 平面 BEF . ????12 分 19. 解: (1)由 (t ? 1) Sn ? t (an ? 2) ,及 (t ? 1) Sn?1 ? t (an?1 ? 2) ,作差得 an?1 ? tan , 即数列 ?an ? 成等比数列, an ? a1t n?1 , 当 n ? 1 时, (t ? 1) S1 ? t (a1 ? 2) ,解得 a1 ? 2t ,故 an ? 2t n .?5 分
n ? ) (2)当 t ? 时, an ? 2 ( 1 ? Sn ? n , 3 3 3 ,

1

1

1

bn ? ? ?an ? ? log 3 ?1 ? Sn ? =
Tn ? 2 4 6 ? ? ? 3 32 33 ?

2n 3n ,???8 分

2n 3n ,

1 2 4 6 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 3 3 3
2 2 2

?
2

2n 3n +1 ,
2 ? 2 2n 1 2n 2n ? 3 ? n +1 ? 1 ? n ? n +1 ? 1 ? n +1 n , 3 3 3 3 3

作差得 3 Tn ? 3 + 32 ? 33 ? 34 ? 所以
Tn ?

3 2n ? 3 ???12 分 ? 2 2 ? 3n .

21. 解 : (1)设椭圆的右焦点 (c , 0) ,由右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 ,解得 c ? 6 , 又由椭圆的离心率为 所以椭圆的方程为
c 3 3 ,? ,解得 a 2 ? 8, b 2 ? 2 , a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 . ????4 分 8 2

(2)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ? x ? 2 ,
1 ? y ? x? 2 ? ? ? 2 ? x1 ? 0 ? x2 ? ?2 2 联立方程组 ? ,解得 , 或 ? 2 ? ? 2 ? y1 ? 2 ? ? y2 ? 0 ?x ? y ?1 ? ? 2 ?8

1 2

故 k1 ? ?

2 ?1 2 ?1 . ???7 分 , k2 ? 2 2

②猜测: k1 ? k2 ? 0 . 证明如下:???8 分 设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为 y ? x ? m .
1 ? y ? x?m ? ? 2 由 ? 2 2 ,得 x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 . ?x ? y ?1 ? 2 ?8
1 2

设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . ???10 分 又 k1 ?
y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2
y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) . ? ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2
1 2

故 k1 ? k2 ?
1 2

又 y1 ? x1 ? m , y2 ? x2 ? m , 所以 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2)
1 1 =( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2

? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0

故 k1 ? k2 ? 0 . ???14 分



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