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福建省师大附中2014届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案



福建师大附中 2013-2014 学年第一学期半期考试卷
一、选择题: 每小题 5 分,共 60 分;在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一项符合 ( 题目要求 ) 1. 复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ,则 z = ( *** ) A. ?2 ? i B. 2 ? i C . ?1 ? 2i D. 1 ? 2i 2. 命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是( *** ) A. 对任意实数 x , 都有 x > 1 B. 不存在实数 x ,使 x ? 1 C. 对任意实数 x , 都有 x ? 1 D. 存在实数 x ,使 x ? 1 3. 设 a ? log? 3, b ? 20.3 , c ? log3 sin1 ,则( *** ) A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a

4. 若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( *** ) A. a ? b ? 2 ab

B.

1 1 2 ? ? a b ab

C.

a b ? ?2 b a

D. a ? b ? 2ab
2 2

5. 若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x x ? ? 或x ? ? ,则 a ? b 的值为( *** )
2

? ?

1 2

1? 3?

A.-10

B.10

C. -14

D. 14

6. 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a5 ? a9 ? ? 则 cos(a2 ? a8 ) =( *** ) A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2
a b ? ,则 ?ABC 的形 cos B cos A

7. 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,满足 状是( *** ) A.正三角形 B.等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

8.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1)n (3n ? 2) ,设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和公式, 则 S100 ? ( *** ) A. -100 B.100 C. -150 D. 150

9.平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 夹角为 1200 ,OA 与 OC 的夹角为 30 0 , 且 OA ? 2, OB ? A. ? ? 4, ? ? 2 B O A

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 3 ???? , OC ? 2 3 ,若 OC ? ?OA ? ?OB , ? , ? ? R )则( ***) ( 2 3 4 3 4 B. ? ? 2, ? ? C. ? ? 2, ? ? D. ? ? , ? ? 2 3 2 3
C

10.函数 f ( x) ? cos x 的图象先向下移一个单位,再把纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 动)得到新函数 g ( x) ,则 g ( x) ? ( *** A. g ( x) ? cos 2 x ? 1 C. g ( x) ? cos 2 x ? 2 ) B. g ( x) ? 2cos x ? 1 D. g ( x) ? 2cos x ? 2

11.某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是两种不同颜色的羊毛,下表给出了生产 每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量. 羊毛颜色 红 绿 每匹需要 ( kg) 布料 A 4 6 布料 B 4 3 供应量(kg) 1400 1800

已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元. 那么公司每月应怎么安排生产两种 布料 A 和 B 的匹数,才能够产生最大的利润,最大利润为( *** )元. A. 38000 B. 32000 C. 28000 D. 48000 12.设 M 为平面向量组成的集合, 若对任意正实数 ? 和向量 a ? ( x, y) ? M , 都有 ? a ? M , 则称 M 为 “正则量域” .据此可以得出, 下列平面向量的集合为 “正则量域”的是 *** ) ( A. C.

?

?

?( x, y) y ? x ?
2

B. ?( x, y ) ?

? ?

?( x, y) ( x ? 1)
? ?
?

2

? y ? 1?
2

D.

?( x, y) xy ? 1 ? 0?
?

? x ? y ? 0? ? ? x ? y ? 0?

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2 ,且 (a ? b) ? b ? 5 ,则向量 a 与 b 的夹角为___***___; 14.已知正实数 a , b 满足 a ? b ? ab ? 3 ? 0 ,则 a ? b 的最小值是___***_____ 15.已知 ?ABC 的一个内角为 120 , 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, ?ABC 的面积 则
0

?

? ? ?

?

为_____***___ 16. 某种平面分形如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹 角为 120 ; 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来
0

0

1 3

的线段, 且这两条线段与原线段两两夹角为 120 ; ……;依此规律得到 n 级分形图, n 级 则 分形图中所有线段的长度之和为_____***_____.

一级分形图

二级分形图

三级分形图







三、解答题: (本大题共 6 题,满分 74 分)

17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ?

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值为

a3 ,求函数解析式.

18. (本小题满分 12 分) 设函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) ? cos 2 x ? 1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? k 在 [0,

?
2

] 内有零点,求实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ,其中 a 为常数. (Ⅰ)若 ?x ? (??,1) , f ' ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 x ? [0,1] ,函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围. .. 20.(本小题满分 12 分) 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图 中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱. (Ⅰ)若大网箱的面积为 108 平方米,每个小网箱的长 x ,宽 y 设计为多少米时,才能使围 成的网箱中筛网总长度最小; (Ⅱ)若大网箱的面积为 160 平方米,网衣的造价为 112 元/米,筛网的造价为 96 元/米, 且大网箱的长与宽都不超 15 米,则小网箱的长 x 、宽 y 分别为多少米时,可使网衣 和筛网的合计造价最低?

y

xY
X 21.(本小题满分 12 分) 过点 P(1, 0) 作曲线 C : y ? x ( x ? 0) 的切线,切点为 M 1 ,设点 M 1 在 x 轴上的投影是点
2

下去,得到点列 P , P , P ,..., 记它们的横坐标 a1 , a2 , a3 ,... 构成数列 ?an ? . 1 2 3

P1 ,又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 M 2 ,设点 M 2 在 x 轴上的投影是点 P2 ,?依此

(Ⅰ)求 an 与 an ?1 (n ? 2) 的关系式; (Ⅱ)令 bn ?

n , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an

22.(本小题满分 14 分)

? x 2 ? a ln x, x ? 0 已知函数 h( x ) ? ? , (a ? R) x2 , x ? 0 ? (Ⅰ)求函数 h( x) 的最小值.
(Ⅱ)当 a ? ?1 时,求证:

22 32 (n ? 1)2 ? 2 ? ... ? ? ln(n ? 1), (n ? N * ) 1 2 n2



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