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山东省实验中学2016届高三(上)第一次诊考数学试题(解析版)(理科)[1]



2015-2016 学年山东省实验中学高三(上)第一次诊考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 A. B.2
2

对应的点到直线 y=x+1 的距离是( D.



C.

2.不等式﹣x +|x|+2<0 的解集是( ) A.{x|﹣2<x<2} B.{x|x<﹣2 或 x>2} C.{x|﹣1<x<1} D.{x|x<﹣1 或 x>1} 3.函数 f(x)=lnx+e (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( A. B. C. (1,e) D. (e,+∞)
x



4.给出下列命题 ①若直线 l 与平面 α 内的一条直线平行,则 l∥α; ②若平面 α⊥平面 β,且 α∩β=l,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 β; ③?x0∈(3,+∞) ,x0?(2,+∞) ; 2 ④已知 a∈R,则“a<2”是“a <2a”的必要不充分条件. 其中正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为( 3 m. )

A.

B.

C.

D.

6.将函数

向右平移

个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 ,

坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)与 ,x 轴围成的图形面积为( A. B. C. D. )

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(0)=﹣1,且对任意 x∈R,有 f(x)=﹣ f(2﹣x)成立,则 f(2015)的值为( ) A.1 B.﹣1 C.0 D.2

8.若实数 x,y 满足不等式组

目标函数 t=x﹣2y 的最大值为 2,则实数 a 的

值是( ) A.﹣2 B.0

C.1
2

D.2
2 2

9.已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A. B. C. D.
2 2

10.已知直线 ax+by﹣1=0(a,b 不全为 0)与圆 x +y =50 有公共点,且公共点的横、纵坐 标均为整数,那么这样的直线有( ) A.66 条B.72 条 C.74 条 D.78 条

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.已知过双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为 45°的直线与双曲线右支有 . 的系数记为 an,则

两个交点,则双曲线的离心离 e 的取值范围是 12.将 = (n∈N+)的展开式中 x .
﹣4

13.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 λ 的值为 .

,则实数

14.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框中应填的语句是 .

15.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为 ; ②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是





三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (2012?射洪县校级模拟)设函数 f(x)= ,其中向量 . (1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f(A)=2,b=1,△ ABC 的 面积为 ,求△ ABC 外接圆半径 R.

17. (12 分) (2015?湖南模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1) . (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等 比数列,求 Tn. 18. (12 分) (2010?聊城二模)如图所示,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长均为 a,D 是侧棱 CC1 的中点. (1)求证:平面 AB1D⊥平面 ABB1A1; (2)求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值; (3)求平面 AB1D 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小.

19. (12 分) (2007?陕西)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者 进入下一轮考核,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别 为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望.

20. (13 分) (2012?长春模拟)如图,椭圆

经过点(0,1) ,离

心率



(l)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(A′与 B 不重 合) ,则直线 A′B 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若 不是,请说明理由.

21. (14 分) (2012?茂名一模)已知函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)为实数集 R 上的奇 函数,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1,1]上的减函数. (1)求 a 的值; 2 (2)若 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]及 λ 所在的取值范围上恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程 的根的个数.

x

2015-2016 学年山东省实验中学高三(上)第一次诊考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 A. B.2 C. 对应的点到直线 y=x+1 的距离是( D. )

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 化简复数,求出它在复平面内的点的坐标,再用点到直线距离公式求之. 解答: 解: 到直线的距离是 故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的运算,复数在复平面内对应点,点到直线距离公式,是中 档题. 2.不等式﹣x +|x|+2<0 的解集是( ) A.{x|﹣2<x<2} B.{x|x<﹣2 或 x>2} C.{x|﹣1<x<1} D.{x|x<﹣1 或 x>1} 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题. 2 2 分析: 把原不等式中的 x 变为|x| ,则不等式变为关于|x|的一元二次不等式,求出解集得 到关于 x 的绝对值不等式,解出绝对值不等式即可得到 x 的解集. 2 解答: 解:原不等式化为|x| ﹣|x|﹣2>0 因式分解得(|x|﹣2) (|x|+1)>0 因为|x|+1>0,所以|x|﹣2>0 即|x|>2 解得:x<﹣2 或 x>2. 故选 B. 2 2 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,解题的突破点是把原不等式中的 x 变为|x| ,是 一道中档题. 3.函数 f(x)=lnx+e (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( A. B. C. (1,e) D. (e,+∞)
x 2

,复数

对应复平面内的点(1,1) ,它



考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 函数 f (x) =lnx+e 在 (0, +∞) 上单调递增, 因此函数 f (x) 最多只有一个零点. 再 利用函数零点存在判定定理即可判断出.

解答: 解:函数 f(x)=lnx+e 在(0,+∞)上单调递增,因此函数 f(x)最多只有一个 零点. 当 x→0 时,f(x)→﹣∞;又
x +

x

=

+

=

﹣1>0, .

∴函数 f(x)=lnx+e (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是

故选:A. 点评: 本题考查了函数零点存在判定定理、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 4.给出下列命题 ①若直线 l 与平面 α 内的一条直线平行,则 l∥α; ②若平面 α⊥平面 β,且 α∩β=l,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 β; ③?x0∈(3,+∞) ,x0?(2,+∞) ; 2 ④已知 a∈R,则“a<2”是“a <2a”的必要不充分条件. 其中正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 对于①,考虑直线与平面平行的判定定理;对于②,考虑平面与平面垂直的性质 定理;对于③,考虑两个集合间的包含关系;对于④,考虑充要条件中条件与结论的互推 关系. 解答: 解:对于①,直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外,而本命题没 有,故错误; 对于②,符合平面与平面垂直的性质定理,故正确; 对于③,考虑两个集合间的包含关系(2,+∞)?(3,+∞) ,而 x0∈(3,+∞) ,比如 x=4, 则 4∈(2,+∞) ,故错误; 对于④,由 a <2a 可以得到:0<a<2,一定推出 a<2,反之不一定成立,故“a<2”是“a <2a”的必要不充分条件,此命题正确. 综上知②④中的命题正确, 故选 C. 点评: 本题考查直线与平面的平行关系的判定, 面面垂直的性质定理, 集合间的关系以及 充要条件概念等,抓住概念的内涵与外延,是解决本类综合题的关键. 5.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为( m.
3 2 2



A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知该几何体是由三个棱长为 1 的正方体和一个形状为正方体一半的三 棱柱构成,即体积为 3.5 个小正方体体积. 解答: 解: 由三视图可知该几何体是由三个棱长为 1 的正方体和一个形状为正方体一半的 三棱柱构成, 即体积为 3.5 个小正方体体积.即 V=

点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键

6.将函数

向右平移

个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 ,

坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)与 ,x 轴围成的图形面积为( A. B. C. D. )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;定积分. 专题: 常规题型;综合题. 分析: 将函数 向右平移 个单位,推出函数解析式,再将所

得的函数图象上的各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)的图象, 利用积分求函数 y=g(x)与 解答: 解:将函数 , ,x 轴围成的图形面积. 向右平移 个单位,得到函数

=sin(2x+π)=﹣sin2x,再将所得的函数图象上的各点 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)=﹣sinx 的图象,则函数 y=﹣sinx 与 , ,x 轴围成的图形面积:﹣ + (﹣sinx)dx=

﹣cosx

+cosx

= +1=

故选 B 点评: 本题是中档题,考查三角函数图象的平移伸缩变换,利用积分求面积,正确的变换 是基础,合理利用积分求面积是近年高考必考内容.

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(0)=﹣1,且对任意 x∈R,有 f(x)=﹣ f(2﹣x)成立,则 f(2015)的值为( ) A.1 B.﹣1 C.0 D.2 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 确定 f(x)是以 4 为周期的函数,结合 f(1)=0,即可求得 f(2015)的值. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,有 f(x)=﹣f(2﹣x) 成立, ∴f(x+4)=﹣f(2﹣x)=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的函数, ∴f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(1) . ∵f(1)=﹣f(1) ,∴f(1)=0, ∴f(2015)=0 故选:C. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,考查赋值法,求得 f(1)=0 是关键,考查函数的周 期性,属于中档题.

8.若实数 x,y 满足不等式组

目标函数 t=x﹣2y 的最大值为 2,则实数 a 的

值是( ) A.﹣2 B.0 C.1 D.2 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数 z=x﹣2y 的最大值为 2,确定约束 条件中 a 的值即可. 解答: 解:画出约束条件表示的可行域 由 ?A(2,0)是最优解,

直线 x+2y﹣a=0,过点 A(2,0) , 所以 a=2, 故选 D

点评: 本题考查简单的线性规划,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题. 9.已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A. B. C. D. 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标, 根据圆的方程求得圆心坐标, 根据抛物线的定义 可知 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,进而问题转化为求点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离 与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径. 解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) ,圆 x +(y﹣4) =1 的圆心为 C(0,4) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离, 进而推断出当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小 为: , 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想. 10.已知直线 ax+by﹣1=0(a,b 不全为 0)与圆 x +y =50 有公共点,且公共点的横、纵坐 标均为整数,那么这样的直线有( ) A.66 条B.72 条 C.74 条 D.78 条 考点: 直线与圆的位置关系;计数原理的应用. 专题: 数形结合. 分析: 先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有 3 个,依圆的对称性知,圆 上共有 3×4=12 个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有 12 个点任取 2 点确定 一条直线, 利用计数原理求出直线的总数, 过每一点的切线共有 12 条, 又考虑到直线 ax+by ﹣1=0 不经过原点,如图所示上述直线中经过原点的有 6 条,所以满足题意的直线利用总数 减去 12,再减去 6 即可得到满足题意直线的条数. 解答: 解:当 x≥0,y≥0 时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7) 、 (5,5) 、 (7,1) , 根据题意画出图形,如图所示:
2 2 2 2 2 2 2 2

根据圆的对称性得到圆上共有 3×4=12 个点横纵坐标均为整数, 经过其中任意两点的割线有 C12 =66 条,过每一点的切线共有 12 条, 上述直线中经过原点的有 6 条,如图所示, 则满足题意的直线共有 66+12﹣6=72 条. 故选 B 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系, 以及计数原理的运用. 根据对称性找出满足题意 的圆上的整数点的个数是解本题的关键. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.已知过双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为 45°的直线与双曲线右支有 ) .
2

两个交点,则双曲线的离心离 e 的取值范围是 (1,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 要使直线与双曲线的右支有两个交点, 需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于 直线的斜率,即 <1,求得 a 和 b 的不等式关系,进而根据 b= 转化成 a 和 c 的不

等式关系,求得离心率的一个范围,最后根据双曲线的离心率大于 1,综合可得求得 e 的范 围. 解答: 解: 要使直线与双曲线的右支有两个交点, 需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率 小于直线的斜率, 即 <tan45°=1 即 b<a ∵b= ∴ 整理得 c< ∴e= < <a, a

∵双曲线中 e>1 故 e 的范围是(1, ) 故答案为(1, ) 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质. 在求离心率的范围时, 注意双曲线的离心率大 于 1. 12.将 . (n∈N+)的展开式中 x
﹣4

的系数记为 an,则

=

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 由题意根据二项展开式的通项公式求得 an= =2[1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
﹣4

= ]的值.

, 再用裂项法求和求得

解答: 解: 将

(n∈N+) 的展开式中 x =2[1﹣ + ﹣ +…+ . ﹣

的系数记为 an, 则 an= ]= ,

=



∴ 故答案为:

点评: 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 属于基础题.

13.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 λ 的值为 ﹣2 . 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将已知向量的等式变形,利用向量加法的平行四边形法则得到 出λ 解答: 解:∵ ∴ ∴ ∴ ,

,则实数

的关系,求

∵ ∴λ=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题考查向量的运算法则:三角形法则、平行四边形法则. 14.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框中应填的语句是 n≤9 或 n<10 .

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 通过观察程序框图, 分析为填判断框内判断条件, n 的值在执行运算之后还需加 1, 故判断框内数字应减 1,按照题意填入判断框即可. 解答: 解:通过分析,本程序框图为“当型“循环结构 判断框内为满足循环的条件 第 1 次循环,s=1+1=2 n=1+1=2 第 2 次循环,s=2+2=4 n=2+1=3 ? ? 当执行第 10 项时,n=11 n 的值为执行之后加 1 的值, 所以,判断条件应为进入之前的值 故答案为:n≤9 或 n<10 点评: 本题考查程序框图,通过对程序框图的分析对判断框进行判断,属于基础题.

15.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为 ﹣1 ; ②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是



≤a<1 或 a≥2 .

考点: 函数的零点;分段函数的应用.

专题: 创新题型;函数的性质及应用. 分析: ①分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值; ②分别设 h(x)=2 ﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) ,分两种情况讨论,即可求出 a 的范围. 解答: 解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2 ﹣1 为增函数,f(x)>﹣1, 当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1) (x﹣2)=4(x ﹣3x+2)=4(x﹣ ) ﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2 ﹣a,g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2 ﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a) (x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去) , 当 h(1)=2﹣a≤时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2. 点评: 本题考查了分段函数的问题, 以及函数的零点问题, 培养了学生的转化能力和运算 能力以及分类能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分) (2012?射洪县校级模拟)设函数 f(x)= ,其中向量 . (1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f(A)=2,b=1,△ ABC 的 面积为 ,求△ ABC 外接圆半径 R.
x x 2 2 x x



考点: 正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法;余弦定理. 专题: 计算题;综合题.

分析: (1)直接把向量代入函数 f(x)= 化为求

,利用二倍角公式以及两角和的正弦函数

,利用正弦函数的单调减区间求函数的单调递减区间;

利用周期公式求出函数 f(x)的最小正周期. (2)已知 f(A)=2,求出 A 的值,通过 b=1,△ ABC 的面积为 推出△ ABC 为直角三角形,然后求△ ABC 外接圆半径 R. 解答: 解: (1)由题意得 . 所以,函数 f(x)的最小正周期为 T=π,由 函数 f(x)的单调递减区间是 (2)∵ ,∴ .得
2 2 2 2

求出 c,再用余弦定理

得 (6 分) ,解得 , . ∴c =a +b ,即△ ABC 为直角三角

又∵△ABC 的面积为
2 2

再由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,解得 形.∴ (l2 分)

点评: 本题是基础题,考查二倍角公式,两角和的正弦函数,三角函数的最值,周期,以 及三角形的知识,是综合题,考查计算能力,常考题型. 17. (12 分) (2015?湖南模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1) . (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等 比数列,求 Tn. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由题意可得:an=2Sn﹣1+1(n≥2) ,所以 an+1﹣an=2an,即 an+1=3an(n≥2) ,又 因为 a2=3a1,故{an}是等比数列,进而得到答案. (2)根据题意可得 b2=5,故可设 b1=5﹣d,b3=5+d,所以结合题意可得(5﹣d+1) (5+d+9) 2 =(5+3) ,进而求出公差得到等差数列的前 n 项和为 Tn. 解答: 解: (1)因为 an+1=2Sn+1,…① 所以 an=2Sn﹣1+1(n≥2) ,…② 所以①②两式相减得 an+1﹣an=2an,即 an+1=3an(n≥2) 又因为 a2=2S1+1=3, 所以 a2=3a1, 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列 n﹣1 ∴an=3 .

(2)设{bn}的公差为 d,由 T3=15 得,可得 b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可设 b1=5﹣d,b3=5+d, 又因为 a1=1,a2=3,a3=9,并且 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列, 2 所以可得(5﹣d+1) (5+d+9)=(5+3) , 解得 d1=2,d2=﹣10 ∵等差数列{bn}的各项为正, ∴d>0, ∴d=2, ∴ .

点评: 本题主要考查求数列通项公式的方法,以及等比数列与等差数列的有关性质与求 和. 18. (12 分) (2010?聊城二模)如图所示,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各条棱长均为 a,D 是侧棱 CC1 的中点. (1)求证:平面 AB1D⊥平面 ABB1A1; (2)求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值; (3)求平面 AB1D 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小.

考点: 平面与平面垂直的判定; 异面直线及其所成的角; 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: (1)取 AB1 的中点 E,AB 的中点 F.连接 DE、EF、CF.证明 DE 的平行线 CF 垂直平面 ABB1A1,内的相交直线 AB,BB1,即可证明平面 AB1D⊥平面 ABB1A1; (2)建立空间直角坐标系,求出 中的相关向量,直接求异面直线

AB1 与 BC 所成角的余弦值; (3)求平面 AB1D 的一个法向量,以及平面 ABC 的一个法向量,利用向量的数量积求平 面 AB1D 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小. 解答: 解: (1)证明:取 AB1 的中点 E,AB 的中点 F.连接 DE、EF、CF. 故 .又 .

∴四边形 CDEF 为平行四边形,∴DE∥CF.又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱. △ ABC 为正三角形.CF?平面 ABC,

∴CF⊥BB1,CF⊥AB,而 AB∩BB1=B,∴CF⊥平面 ABB1A1, 又 DE∥CF,∴DE⊥平面 ABB1A1. 又 DE?平面 AB1D.所以平面 AB1D⊥平面 ABB1A1. (4 分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系,则

设异面直线 AB1 与 BC 所成的角为 θ,则



故异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值为



(3)由(2)得 设 n=(1,x,y)为平面 AB1D 的一个法向量.





得,





(6 分)

显然平面 ABC 的一个法向量为 m(0,0,1) .



,故



即所求二面角的大小为

. (14 分)

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,二面角及其度量,考查 空间想象能力,计算能力,是中档题.

19. (12 分) (2007?陕西)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者 进入下一轮考核,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别 为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰, 即三轮都答对的 概率; (Ⅱ)ξ 的可能值为 1,2,3,ξ=i 表示前 i﹣1 轮均答对问题,而第 i 次答错,利用独立事件 求概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3) , 则 , , .

∴该选手被淘汰的概率 = = = . , = P(ξ=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= ∴ξ 的分布列为 ξ 1 P ∴ = . . ,

(Ⅱ)ξ 的可能值为 1,2,3.

2

3

点评: 本题考查互斥、对立、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识, 同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力.

20. (13 分) (2012?长春模拟)如图,椭圆

经过点(0,1) ,离

心率



(l)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(A′与 B 不重 合) ,则直线 A′B 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若 不是,请说明理由.

考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)把点(0,1)代入椭圆方程求得 a 和 b 的关系,利用离心率求得 a 和 c 的关 系,进而联立方程求得 a 和 b,则椭圆的方程可得 (2)把直线方程与椭圆方程联立消去 y,设出 A,B 的坐标,则 A′的坐标可推断出,利用 韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2, 进而可表示出 A′B 的直线方程, 把 y=0 代入求得 x 的表达式, 把 x1=my1+1,x2=my2+1 代入求得 x=4,进而可推断出直线 A′B 与 x 轴交于定点(4,0) .

解答: 解: (1)依题意可得

,解得 a=2,b=1.

所以,椭圆 C 的方程是



(2)由
2 2 2 2

得(my+1) +4y =4,即(m +4)y +2my﹣3=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 A′(x1,﹣y1) . 且 经过点 A′(x1,﹣y1) , B(x2,y2)的直线方程为 . .

令 y=0,则

又∵x1=my1+1,x2=my2+1.∴当 y=0 时,

这说明,直线 A′B 与 x 轴交于定点(4,0) . 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系. 考查了学生基础知识的 综合运用. 21. (14 分) (2012?茂名一模)已知函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)为实数集 R 上的奇 函数,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1,1]上的减函数. (1)求 a 的值; 2 (2)若 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]及 λ 所在的取值范围上恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程 的根的个数.
x

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)因为定义域是实数集 R,直接利用奇函数定义域内有 0,则 f(﹣0)=﹣f(0) 即 f(0)=0,即可求 a 的值; (2)先利用函数 g(x)的导函数 g'(x)=λ+cosx≤0 在[﹣1,1]上恒成立,求出 λ 的取值范 围以及得到 g(x)的最大值 g(﹣1)=﹣1﹣sin1;然后把 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]上 2 2 恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t +λt+1(λ≤﹣1) ,整理得(t+1)λ+t +sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立, 再利用一次函数的思想方法求解即可. (3)先把方程转化为 =x ﹣2ex+m,令 F(x)=
2 2

(x>0) ,G(x)=x ﹣2ex+m (x

2

>0) ,再利用导函数分别求出两个函数的单调区间,进而得到两个函数的最值,比较其最值 即可得出结论. x 解答: 解: (1)因为函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数, 所以 f(﹣0)=﹣f(0)即 f(0)=0, 0 则 ln(e +a)=0 解得 a=0, a=0 时,f(x)=x 是实数集 R 上的奇函数; (2)由(1)得 f(x)=x 所以 g(x)=λx+sinx,g'(x)=λ+cosx, 因为 g(x) 在[﹣1,1]上单调递减,∴g'(x)=λ+cosx≤0 在[﹣1,1]上恒成立, ∴λ≤﹣1,g(x)max=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1, 2 只需﹣λ﹣sin1≤t +λt+1(λ≤﹣1) , 2 ∴(t+1)λ+t +sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立, 2 令 h(λ)=(t+1)+t +sin1+1(λ≤﹣1) 则 (3)由(1)得 f(x)=x ,解得 t≤﹣1

∴方程转化为 分) ∵F'(x)=

=x ﹣2ex+m,令 F(x)=

2

(x>0) ,G(x)=x ﹣2ex+m (x>0) , (8

2

,令 F'(x)=0,即

=0,得 x=e

当 x∈(0,e)时,F'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上为增函数; 当 x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)在(e,+∞)上为减函数; (9 分) 当 x=e 时,F(x)max=F(e)= (10 分) 而 G(x)=(x﹣e) +m﹣e (x>0) ∴G(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数; (11 分) 当 x=e 时,G(x)min=m﹣e (12 分) ∴当 m﹣e2> ,即 m>e2+ 时,方程无解; 当 m﹣e2= ,即 m=e2+ 时,方程有一个根; 当 m﹣e2< ,即 m<e2+ 时,方程有两个根; (14 分) 点评: 本题主要考查函数奇偶性的性质, 函数恒成立问题以及导数在最大值、 最小值问题 中的应用,是对知识的综合考查,属于难题.在涉及到奇函数定义域内有 0 时,一般利用结 论 f(0)=0 来作题.
2 2 2



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