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浙江省衢州市江山实验中学2014-2015学年高二上学期11月月考数学(理)试卷 Word版含解析



2014-2015 学年浙江省衢州市江山实验中学高二 (上) 11 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列命题中正确的是( ) A. 一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 与两相交平面的交线平行的直线

必平行于这两个相交平面 D. 两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行 2.下列命题错误的是(
2


2

A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 2 B. 命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” C. “ ? =0”是“ = 或 = ”的必要不充分条件
2 2

D. “若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真 3.正方体的外接球与其内切球的体积之比为 A. B. 3:1 C. ( )

D. 9:1 )

4.已知两个平面α、β,直线 a? α,则“α∥β”是“直线 a∥β”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.一个四面体的顶点在空间直角坐系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,0) , (0,0,1) , (0, 1,0) , (1,1,1) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOy 平面为投影面,则得到的正视 图可为( )

A.

B.

C.

D. )

6.对于命题 p 和命题 q,则“p 且 q 为真命题”的必要不充分条件是( A. ¬p 或¬q 为假命题 B. ¬p 且¬q 为真命题 C. p 或 q 为假命题 D. p 或 q 为真命题

7.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l? α,l? β,则( )

A. α∥β且 l∥α B. α⊥β且 l⊥β C. α与β相交,且交线垂直于 l D. α与β相交,且交线平行于 l 8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将 AD 折起,使二面角 D ﹣AE﹣B 为 60°,则异面直线 BC 与 AD 所成的角余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

9. 已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1=2AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( A. B. C. D.



10.已知点 E、F 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB、AA1 的中点,点 M、N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有( )

A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条

二、 (填空题:本大题共 7 小题每小题 4 分,共 28 分) 11. =(4,﹣2,﹣4) , =(6,﹣3,2) ,则(2 ﹣3 ) ?( +2 )= .

12.轴截面是边长等于 2 的等边三角形的圆锥,它的表面积等于



13.已知 p: 数 a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实 . ,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,

14.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为 .

15.A 是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点,AB⊥β于点 B,AB= 面角α﹣l﹣β的平面角大小为 .
0

,A 到 l 的距离为 2,则二

16.四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心,G 是△ABC 的重心,若 AH=4,AB=AC,则 GH= . 17.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所 有正确命题的编号) . ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; ②当 CQ= 时,S 不为等腰梯形; ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 .

三、解答题(本大题 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.设命题 p:函数 f(x)=lg 的定义域是 R;命题 q:不等式 3 ﹣9 <
x x

a 对一切正实数 x 均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19.在△ABC 中∠C=90°,AC=8,BC=6,以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一 周,求所得到的几何体的表面积. 20. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 且 PA=AD=1, AB=2, ∠PAB=120°, ∠PBC=90° (Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

21.在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠APB=90°,点 M 是线段 AB 上的一点,且 PM⊥ CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM. (1)证明:面 PAB⊥面 ABCD; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值.

22.若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a (如图) . (Ⅰ)若 ,求证:AB∥平面 CDE; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°.

2014-2015 学年浙江省衢州市江山实验中学高二 (上) 11 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下列命题中正确的是( ) A. 一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D. 两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A 根据直线与平面平行的性质定理,判断该命题是正确的; B、C、D 通过举例说明命题是否成立即可. 解答: 解:对于 A,如果一条直线与一平面平行,那么过该条直线作平面与已知平面相交, 则该直线与交线平行, ∴这个平面内有无数条直线与该直线平行,A 正确; 对于 B,平行于同一直线的两个平面平行,也可能相交,∴B 错误; 对于 C, 与两相交平面的交线平行的直线, 平行于这两个相交平面, 也可能在这两个平面内, ∴C 错误; 对于 D,两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也可能在这个平面内,也可能与 这个平面平行,∴D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查了空间中的线线平行、线面平行与的判断与性质的应用问题,解题时应对 每一个命题进行分析与判断,是基础题. 2.下列命题错误的是(
2


2

A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 2 B. 命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” C. “ ? =0”是“ = 或 = ”的必要不充分条件
2 2

D. “若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A,利用命题及其逆否命题的概念判断即可; B,利用特称命题与全称命题间的关系可判断②的正误; C,利用充分必要的概念可判断③; D,利用不等式的性质可判断④的正误.

解答: 解:A,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” , 正确; B,命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” ,正确; C, “ ? =0”? ⊥ ,不一定是 = 或 = ,即充分性不成立, =0,即必要性成立,故“ ? =0”是“ = 或 = ”的必要
2 2

2

2

反之,若 = 或 = ,则 ? 不充分条件,正确;

是“ = 或 = ”的必要不充分条件 D, “若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为“若 a<b” ,则“am <bm ”是假命题,当 m=0 时, 2 2 am =bm =0,故 D 错误. 故选:D. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查命题间的关系及特称命题与全称命题、 充分必要的概念的理解与应用,属于中档题. 3.正方体的外接球与其内切球的体积之比为 A. B. 3:1 C. ( )
2 2 2 2

D. 9:1

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设出正方体的棱长,分别求出正方体的内切球与其外接球的半径,然后求出体积比. 解答: 解:设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为 a,它的外接球的半径为 故所求的比为 3 :1, 故选 C 点评: 本题考查正方体的内切球和外接球的体积,是基础题. 4.已知两个平面α、β,直线 a? α,则“α∥β”是“直线 a∥β”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ) ,

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 根据面面平行的定义可知“α∥β”? “直线 a∥β”是真命题,而“直线 a∥β” ?“α∥β”是假命题,根据若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分 不必要条件进行判断即可. 解答: 解:根据面面平行的定义可知α与β无公共点,而 a? α,则 a 与β无公共点,则 直线 a∥β 即“α∥β”? “直线 a∥β”是真命题; 直线 a? α,直线 a∥β? 两个平面α、β可能平行也可能相交, 即“直线 a∥β”? “α∥β”是假命题; 根据充要条件的判定可知“α∥β”是“直线 a∥β”的充分不必要条件, 故选:A.

点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,以及充要条件的判定,同时考 查了推理能力,属于基础题. 5.一个四面体的顶点在空间直角坐系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,0) , (0,0,1) , (0, 1,0) , (1,1,1) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOy 平面为投影面,则得到的正视 图可为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图即可. 解答: 解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(1,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (1,1,1) ,几何体的直观图是正方体的顶点为顶点的一个正四面 体,所以以 zOy 平面为投影面,则得到正视图为 A. 故选 A. 点评: 本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考 查空间想象能力. 6.对于命题 p 和命题 q,则“p 且 q 为真命题”的必要不充分条件是( A. ¬p 或¬q 为假命题 B. ¬p 且¬q 为真命题 C. p 或 q 为假命题 D. p 或 q 为真命题 )

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据必要不充分条件的概念,以及 p 且 q,p 或 q,¬p,¬q 的真假和 p,q 真假的 关系,即可找出正确选项. 解答: 解:p 且 q 为真命题,则 p 真 q 真; A.¬p 或¬q 为假命题,则¬p,¬q 都为假,所以 p,q 都为真,∴¬p 或¬q 为假命题是 p 且 q 为真命题的充要条件,∴该选项错误; B.¬p 且¬q 为真命题,则 p,q 都为假命题,∴由 p 且 q 为真命题得不出 p 且 q 为真命题, 即该命题不是 p 且 q 为真命题的必要条件,∴该选项错误; C.p 或 q 为假命题,则 p,q 都是假命题,由 B 知该选项错误; D.p 或 q 为真命题,则 p,q 中至少一个为真命题,∴p 且 q 为真命题能得到 p 或 q 为真命 题, 而 p 或 q 为真命题得不到 p 且 q 为真命题, 即 p 或 q 为真命题是 p 且 q 为真命题的必要 不充分条件,即该选项正确. 故选 D. 点评: 考查充分条件,必要条件,必要不充分条件的概念,以及 p 且 q,p 或 q,¬p,¬q 的真假和 p,q 真假的关系.

7.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l? α,l? β,则( ) A. α∥β且 l∥α B. α⊥β且 l⊥β C. α与β相交,且交线垂直于 l D. α与β相交,且交线平行于 l 考点: 平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正 确的结论. 解答: 解:由 m⊥平面α,直线 l 满足 l⊥m,且 l? α,所以 l∥α, 又 n⊥平面β,l⊥n,l? β,所以 l∥β. 由直线 m,n 为异面直线,且 m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推 出 m∥n, 与 m,n 异面矛盾. 故α与β相交,且交线平行于 l. 故选 D. 点评: 本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线 面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题. 8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将 AD 折起,使二面角 D ﹣AE﹣B 为 60°,则异面直线 BC 与 AD 所成的角余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 分析: 如图所示,求出 DG、AG、FH、DG、HF、HE 的值,根据 =( ) ?( + ) ,

利用两个向量的数量积的定义,求出异面直线 BC 与 AD 所成的角余弦值. 解答: 解:如图所示:取 AB 的中点 F,连接 EF,则 EF 平行且等于 BC. 作 DG⊥AE,G 为垂足,G∈AE,则 DG= AG= = , = + . = . + + + . , = ,

作 FH⊥AE,H 为垂足,H∈AE,则 FH= EH= ∴ =( = , ) ?( = + = +

)=

由二面角 D﹣AE﹣B 为 60°,以及作图过程可得, 和 的夹角为 120°, ⊥ ,







方向相同,

设面直线 BC 与 AD 所成的角为θ,则 3×3×cosθ=0+ 求得 cosθ= ,即异面直线 BC 与 AD 所成的角余弦值为

? .

+

?

cos120°+0,

点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定 义,用向量表示二面角的平面角,属于中档题. 9. 已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1=2AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( A. B. C. D. )

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;压轴题;空间角;空间向量及应用. 分析: 设 AB=1,则 AA1=2,分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方

向建立空间直角坐标系,设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,CD 与平面 BDC1 所成 角为θ, 则 sinθ=| |,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.

解答: 解:设 AB=1,则 AA1=2,分别以 正方向建立空间直角坐标系, 如下图所示:

的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的

则 D(0,0,2) ,C1(1,0,0) ,B(1,1,2) ,C(1,0,2) , =(1,1,0) , =(1,0,﹣2) , =(1,0,0) ,

设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,则 2,1) , 设 CD 与平面 BDC1 所成角为θ,则 sinθ=| |= ,

,即

,取 =(2,﹣

故选 A. 点评: 本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直 线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键. 10.已知点 E、F 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB、AA1 的中点,点 M、N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有( )

A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 取 BB1 的中点 H,连接 FH,在 D1E 上任取一点 M,过 M 在面 D1HE 中,作 MG 平行于 HO, 其中 O 为线段 D1E 的中点,交 D1H 于 G,再过 G 作 GN∥FH,交 C1F 于 N,连接 MN,根据线面 平行的判定定理,得到 GM∥平面 ABCD,NG∥平面 ABCD,再根据面面平行的判断定理得到平 面 MNG∥平面 ABCD,由面面平行的性质得到则 MN∥平面 ABCD,由于 M 是任意的,故 MN 有无 数条. 解答: 解:取 BB1 的中点 H,连接 FH,则 FH∥C1D, 连接 HE,在 D1E 上任取一点 M, 过 M 在面 D1HE 中,作 MG 平行于 HO, 其中 O 为线段 D1E 的中点,交 D1H 于 G, 再过 G 作 GN∥FH,交 C1F 于 N,连接 MN, O 在平面 ABCD 的正投影为 K,连接 KB,则 OH∥KB, 由于 GM∥HO,HO∥KB,KB? 平面 ABCD, GM? 平面 ABCD, 所以 GM∥平面 ABCD, 同理由 NG∥FH,可推得 NG∥平面 ABCD, 由面面平行的判定定理得,平面 MNG∥平面 ABCD, 则 MN∥平面 ABCD.

由于 M 为 D1E 上任一点,故这样的直线 MN 有无数条. 故选:D.

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,主要是直线与平面平行的判断和面面平行的 判定与性质,考查空间想象能力和简单推理能力. 二、 (填空题:本大题共 7 小题每小题 4 分,共 28 分) 11. =(4,﹣2,﹣4) , =(6,﹣3,2) ,则(2 ﹣3 ) ?( +2 )= ﹣200 .

考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的坐标运算、数量积运算即可得出. 解答: 解:∵ =2(4,﹣2,﹣4)﹣3(6,﹣3,2)=(﹣10,5,﹣14) ,

=(4,﹣2,﹣4)+2(6,﹣3,2)=(16,﹣8,0) , ∴(2 ﹣3 ) ?( +2 )=﹣160﹣40=﹣200. 故答案为:﹣200. 点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算,属于基础题. 12.轴截面是边长等于 2 的等边三角形的圆锥,它的表面积等于 3π . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由轴截面是边长等于 2 的等边三角形,求出圆锥的底面半径,母线长,进而求出圆 锥的底面周长,代入圆锥表面积公式,即可求出圆锥的表面积. 解答: 解:一个圆锥的轴截面(过旋转轴的截面)是边长为 2 的等边三角形, 所以圆锥的母线为 l=2;底面半径为 r=1; 圆锥的底面周长为 C=2πr=2π. 所以圆锥的表面积为: ×2π×2+π? 1 =3π 故答案为:3π 点评: 本题是基础题,考查圆锥的轴截面知识,圆锥的表面积的求法,实际上这个圆锥又 叫等边圆锥,需要同学注意它的边角关系,常考题目.
2

13.已知 p: 数 a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实 .

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的解法. 分析: 由已知可得:p: ,q:x<a,或 x>a+1,再由求命题否定的方法求出 q,
?

结合充要条件的判定方法,不难给出答案. 解答: 解:∵p: ,

q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0, ∴q:x<a,或 x>a+1 ∴ q:a≤x≤a+1 ? 又∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴
?

解得: 则实数 a 的取值范围是 故答案为: 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系. 14.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为 . ,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,

考点: 多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 空间位置关系与距离.

分析:先将直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿棱 BB1 展开成平面连接 AC1, 与 BB1 的交点即为满足 AM+MC1 最小时的点 M, 由此可以求得△AMC1 的三边长,再由余弦定理求出其中一角,由面积公式求出面积 解答:解: 将直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿棱 BB1 展开成平面连接 AC1, 与 BB1 的交点即为满足 AM+MC1 最小时的点 M, 由于 AB=1,BC=2,AA1=3,再结合棱柱的性质,可得 BM= AA1=1,故 B1M=2 由图形及棱柱的性质,可得 AM= 故 sin∠AMC1= 故答案为: ,AC1= × ,MC1=2 ×2 × ,cos∠AMC1= = , =﹣ .

,△AMC1 的面积为

点评: 本题考查棱柱的特征,求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角 形的边长,再由面积公式求面积,本题代数与几何相结合,综合性强,解题时要注意运算准 确,正确认识图形中的位置关系. 15.A 是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点,AB⊥β于点 B,AB= 面角α﹣l﹣β的平面角大小为 60° . ,A 到 l 的距离为 2,则二

考点: 用空间向量求平面间的夹角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 由题意画出图形,说明∠AOB 是二面角α﹣l﹣β的平面角,或补角,然后求出二面 角的大小. 解答: 解:由题意可知 A 是二面角α﹣l﹣β的面α内一点,AB⊥平面β于点 B,AB= , A 到 l 的距离为 2, 如图:AO⊥l 于 O,因为 AB⊥平面β于点 B,连结 OB,所以∠AOB 是二面角α﹣l﹣β的平面 角,或补角,所以 sin∠AOB= ,

∴∠AOB=60°或 120°. ∵α﹣l﹣β是锐二面角, ∴二面角α﹣l﹣β的平面角大小为 60°. 故答案为:60°

点评: 本题考查空间几何体中点、线、面的关系,正确作出所求距离是解题的关键,考查 计算能力. 16.四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心,G 是△ABC 的重心,若 AH=4,AB=AC,则 GH= .
0

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,把 GH 放在三角形中,借助于三角形的边角关系, 即可求出它的大小来. 解答: 解:连结 AG,并延长交 BC 于 M,连结 DM,如图所示; 则 AM 是△ABC 的中线, ∵AB=AC,∴AM⊥BC, 连结 HM,则 HM 是 AM 在平面 BCD 上的射影; ∴根据三垂线逆定理,BC⊥HM, ∵H 是△BCD 的垂心, ∴GM 在 BC 边上的高线 DH 上,即 DM 是 BC 边上的高, ∴DM 是 BC 的垂直平分线,DB=DC, ∴∠AMD 是二面角 A﹣BC﹣D 的平面角, ∴∠AMD=60°, =sin60°, AM= MH= = , ,

在△AMH 上作 GN∥AH,交 MH 于 N, 根据三角形平行比例线段性质, = , = ,

根据三角形重心的性质, ∵△MNG∽△MHA, ∴ = ,

∴GN= , 同理, ∴MN= ? ∴NH=MH﹣MN= = , = , ﹣ = ,

在 Rt△GNH 中根据勾股定理, GH =GN +NH , ∴GH =
2 2 2 2

+

=

∴GH= 故答案为:

. .

点评: 本题考查了空间中的两点间的距离的求法问题,解题时应画出图形,结合图形,把 两点间的距离放在三角形中,利用边角关系进行解答,是难题. 17.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 ①③⑤ (写出所有 正确命题的编号) . ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; ②当 CQ= 时,S 不为等腰梯形; ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 .

考点: 平行投影及平行投影作图法. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: 由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误. 解答: 解:如图 当 CQ= 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ∥AD1,AP=QD1= 故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故②不正确; 由上图当点 Q 向 C 移动时,满足 0<CQ< ,只需在 DD1 上取点 M 满足 AM∥PQ, 即可得截面为四边形 APQM,故①正确; ③当 CQ= 时,如图, 延长 DD1 至 N,使 D1N= ,连接 AN 交 A1D1 于 S,连接 NQ 交 C1D1 于 R,连接 SR, 可证 AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得 C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得 C1R= ,故正确; ④由③可知当 <CQ<1 时,只需点 Q 上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS, 显然为五边形,故错误; ⑤当 CQ=1 时,Q 与 C1 重合,取 A1D1 的中点 F,连接 AF,可证 PC1∥AF,且 PC1=AF, 可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 AC1? PF= 故答案为:①③⑤ ,故正确. = ,

点评: 本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题.

三、解答题(本大题 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.设命题 p:函数 f(x)=lg 的定义域是 R;命题 q:不等式 3 ﹣9 <
x x

a 对一切正实数 x 均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意,若 p 是真命题,则 求出 p 是真命题时,实数 a 的取值范围. (2)若命题 q 为真命题时,则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.由 ∈(﹣∞,0) ,
x x

对任意实数都成立,由此能够

知 q 是真命题时,a≥0.再由 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,知 能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意,若 p 是真命题, 则 对任意实数都成立,





若 a=0,显然不成立; 若 a≠0,解得 a>2 故如果 p 是真命题时, 实数 a 的取值范围是(2,+∞) (2)若命题 q 为真命题时, 则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.
x x

∵x>0 ∴3 >1 x x ∴3 ﹣9 ∈(﹣∞,0) 所以如果 q 是真命题时,a≥0. 又 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题 所以命题 p 与 q 一真一假 ∴ 或
x

解得 0≤a≤2 综上所述,实数 a 的取值范围是[0,2] 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,解题时要注意公式的灵活运用.

19.在△ABC 中∠C=90°,AC=8,BC=6,以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一 周,求所得到的几何体的表面积. 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以三条边分别为轴旋转,得到不同的圆锥或者圆锥的组合体,分别计算表面积. 解答: 解: (1)当以 AC 边所在的直线为轴旋转一周时,得到的几何体是一个圆锥,它的母 线长为 AB,底面圆半径为 BC=6.由勾股定理,得 AB= =10.
2

∴这时圆锥的表面积=π×6×10+π×6 =60π+36π=96π. (2) 当以 BC 边所在直线为轴旋转一周时, 得到的几何体也是一个圆锥, 它的母线长为 AB=10, 底面圆半径为 AC=8. ∴圆锥表面积=π×8×10+π×8 =80π+64π=144π. (3)当以 AB 边所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体是底面是同圆,母线长分别是 AC 和 BC 的两个圆锥. 作 CD⊥AB 于 D.则 CD= =4.8. π, π, π.
2

∵以 AC 为母线的圆锥的侧面积=π×4.8×8= 以 BC 为母线的圆锥的侧面积=π×4.8×6= ∴所求几何体的表面积= π+ π=

点评: 本题考查了三角形绕一边旋转得到的几何体表面积的计算,实质是圆锥的表面积的 计算;关键是明确圆锥的母线长以及底面半径. 20. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 且 PA=AD=1, AB=2, ∠PAB=120°, ∠PBC=90° (Ⅰ)平面 PAD 与平面 PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (I)由 ABCD 为矩形,∠PBC=90°可证 DA⊥平面 PAB,再利用面面垂直的判定定理 即可证得平面 PAD⊥平面 PAB;

(II)过点 P 作平面 ABCD 的垂线,垂足为 H,连接 CH,可证得∠PCH 为 PC 与底面 ABCD 所 成的角,在直角三角形 PAH,直角三角形 BCH, 直角三角形 PCH 中分别求得 PH,CH,PC 的长, 即可求得直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .

解答: 解: (Ⅰ)平面 PAD⊥平面 PAB ∵∠PBC=90°∴BC⊥PB ∵四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形∴BC⊥AB ∵PB? 平面 PAB,AB? 平面 PAB,且 PB∩AB=B ∴BC⊥平面 PAB ∵AD∥BC ∴AD⊥平面 PAB ∵AD? 平面 PAD ∴平面 PAD⊥平面 PAB. (Ⅱ)如图,过点 P 作 BA 延长线的垂线 PH,垂足为 H,连接 CH. 由(Ⅰ)可知 AD⊥平面 PAB ∵AD? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD ∵PH? 平面 PAB,平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB ∴PH⊥平面 ABCD ∴CH 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. ∴∠PCH 为 PC 与底面 ABCD 所成的角. ∵∠PAB=120° ∴∠PAH=60° ∵PA=1 ∴在直角三角形 PAH 中,PH=PA×sin60°= ,AH=PA×cos60°=

在直角三角形 HBC 中,BH=AH+AB= +2= ,BC=AD=1 故 CH= = =2

在直角三角形 PHC 中,PC= ∴sin∠PCH= =

故直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

点评: 本题主要考查了两个平面垂直的判定定理、性质定理及直线与平面所成的角概念和 求法,培养了空间想象能力及问题的等价转换的能力.

21.在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠APB=90°,点 M 是线段 AB 上的一点,且 PM⊥ CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM. (1)证明:面 PAB⊥面 ABCD; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析:(1) 由已知条件推导出 PM⊥AB, 从而得到 PM⊥面 ABCD, 由此能证明面 PAB⊥面 ABCD. (2)延长 AB 与 CD 交于一点 H,作 AN⊥PH,连接 ND,则∠AND 就是平面 PAB 与平面 PCD 的 二面角的平面角,由此能求出平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值. 解答: (1)证明:∵AB=2PB=4BM,∴PM⊥AB, 又∵PM⊥CD,且 AB∩CD, ∴PM⊥面 ABCD,…(5 分) ∵PM? 面 PAB.∴面 PAB⊥面 ABCD.…(7 分) (2)解:由(1)知:面 DA⊥面 PAB, 延长 BA 与 CD 交于一点 H, 作 AN⊥PH,连接 ND, 则∠AND 就是平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的平面角,…(10 分) 在△AND 中, ∴ , .…(15 分) ,AD=2t,

∴平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值是

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 22.若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE=a (如图) . (Ⅰ)若 ,求证:AB∥平面 CDE; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°.

考点: 直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)建立空间直角坐标系,确定平面 CDE 的一个法向量 用数量积为 0,即可证得 AB∥平面 CDE; (Ⅱ)确定平面 CDE 的一个法向量 ,平面 AEC 的一个法向量为 ,利

,利用二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°,结合向量的夹角公式,即可 求求实数 a 的值. 解答: (Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(1,1, ) ,D(0,2,0) ,E(0,0, ∴ 设平面 CDE 的一个法向量为 则有 取 ∴ 时, , (4 分) ,

) , (2 分)

,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB∥平面 CDE; (7 分) ) ,D

(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(1,1, (0,2,0) ,E(0,0,a) ,∴ 设平面 CDE 的一个法向量为 取 z=2 时, ,则有 (9 分) , ,

又平面 AEC 的一个法向量为

, (10 分)

∵二面角 A﹣EC﹣D 的大小为 60°,∴



即 又 a>0,所以

,解得 .

(13 分) (14 分)

点评: 本题考查线面平行,考查面面角,考查利用空间向量解决立体几何问题,确定平面 的法向量是关键,属于中档题.



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