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M09JA03第三讲:一元二次方程根的判别式 2


第三讲:一元二次方程根的判别式
【知识要点】
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况:

?b? ? 2a 若△>0,则方程有两个不相等的实数根:X1=
?b 若△=0, 则方程有两个相等实数根:x1=x2= 2 a
若△<0, 则方程无实数根。

?b? ? 2a x2=

2.根据根的情况,也可以逆推出Δ 的情况,这方面的知识主要用来求方程中参数取值范围问题.

【经典例题】
例 1、不解方程,判别下列方程根的情况. (1) x(5 x ? 21) ? 20 (2) x ? 9 ? 6 x
2

(3) x ? x ? ?1
2

例 2、已知关于 x 的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0 (1) 当 m 为何值时,方程只有一个实数根;

(2) 当 m 为何值时,方程有两个相等的实数根;

(3) 当 m 为何值时,方程有两个不等的实数根.

例 3、已知关于 x 的方程

1 2 x ? ( m ? 2) x ? m 2 ? 0 . 4

(1)有两个不相等的实根,求 m 的范围;

(2)有实根,求 m 的最大整数值.

(3)有两个相等的实根,求 m 的值,并求出此时方程的根;

例 4.已知关于 x 的方程 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0?m ? 0? . 求证:方程有两个实数根;
2

例 5、a,b,c,是△ ABC 的三边长,且关于 x 的方程 b( x -1)-2ax+c( x +1)=0 有两个相等的实根, 求证:这个三角形是直角三角形。

2

2

【随堂练习】
1.下列方程中有两个不同实数根的是( A、 x ? 9 x ? 100 ? 0
2 2

) C、 16y ? 24y ? 9 ? 0
2

B、 5x ? 7 x ? 5 ? 0

D、 2 x ? 3x ? 4 ? 0
2

2.如果关于 x 的方程 x ? 2 x ? k ? 0 没有实数根,那么 k 的取值范围是(
2

) D、 k ? ?1 ) D、无法确定 )

A、 k ? ?1

B、 k ? 1

C、 k ? 1

3.在一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中,若 a与c 异号,则方程( A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根

C、没有实数根

4.关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? 2mx ? m ? 0 有两个实数根, 那么m 的取值范围是( A、 m ? 0 (1)有两个相等实根; B、 m ? 0
2

C、 m ? 0且m ? 1
2

D、 m ? 0且m ? 1

5.当 m 取什么值时,关于 x 的方程 x ? 2(2m ? 1) x ? (2m ? 2) ? 0 ;

(2)有两个不相等的实根;

(3)没有实根

6.求证:无论 m 取何值,方程 9 x 2 ? (m ? 7) x ? m ? 3 ? 0 都有两个不相等的实根;

【课后强化】
1.下列方程有实数根的是(
2 A. 2 x ? x ? 1 ? 0

) 。
2 B. x ? x ? 1 ? 0
2 C. x ? 6 x ? 10 ? 0

D. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

2.一元二次方程 x ? 4 x ? c ? 0 有两个相等实根,那么 c 为(
2

) D、其他值

A、 c ? 4

B、 c ? 4
2

C、 c ? 4 )

3.不解方程,判定方程 16x ? 9 ? 24x 的根的情况是( A、有两个不相等实根 C、没有实数根

B、有两个相等实根 D、有一个根为 1 )

4.关于 x 的一元二次方程 3x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A、 k ?

4 3

B、 k ?

4 , 且k ? 1 3

C、 k ?

4 3

D、 k ?

4 3
) 。

2 5.已知,关于 x 的方程 x ? mx ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,则 m 的值等于(

A. 2 2
2

B. ?2 2
2

C. ?2 2 或 2 2

D.8 或-8

6.如果关于 x 的一元二次方程 2x(kx-4)-x +6=0 没有实数根,那么 k 的最小整数值是__________. 7.如果关于 x 的方程 4mx -mx+1=0 有两个相等实数根,那么它的根是_______. 8.已知关于 x 的方程 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 3 ? 0 .当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?


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