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C1-2 数列与函数的极限



第二节 数列与函数的极限
一、数列极限的定义

第一章

二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则

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一 、数列极限的定义

>引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知

?

n

r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,

数学语言描述: ? ? ? 0 , ?正整数 N , 当 n > N 时, 总有

An ? S ? ?
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :

若数列

当 n > N 时, 总有
则称该数列
n ??

的极限为 a , 记作

lim xn ? a 或 xn ? a (n ? ?)

此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a ? ? ? xn ? a ? ?
几何解释 :
( )

a ? ? x N ?1

x N ?2 a ? ?

(n ? N ) 即 xn ? ? ( a , ? ) (n ? N )
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1 2 3 n ,? 例如, , , , ?, 2 3 4 n ?1 n xn ? ? 1 ( n ? ?) n ?1

收 敛

n ? (?1) n?1 xn ? ? 1 ( n ? ?) n 2 , 4 , 8 , ? , 2n , ? xn ? 2n ? ? (n ? ?) 发

xn ? (?1) n?1 趋势不定
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例. 设

q ? 1 , 证明等比数列

的极限为 0 . 证:

xn ? 0
欲使 只要 即

ln ? . 亦即 n ? 1 ? ln q ? 1 ? ln ? ? , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ? ? ln q ? ? ?

q n?1 ? 0 ? ?

n ??

lim q n?1 ? 0

P15. 例5求极限
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n ??



且 a ? b.

因 lim xn ? a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn ? a ?b 2

同理, 因 lim xn ? b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n ??

从而 xn ? a ?b 2

取 N ? max? N1 , N 2 ?, 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a ?b ? 3a ?b? x x ?? b? a ? b?a ? xn ? b ? b?a a b2 a ? n n 3 a ?b 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取

? ? 1 , 则 ? N , 当 n ? N 时, 有
? xn ? a ? a ? 1 ? a

xn ? a ? 1, 从而有


M ? max ? x1 , x2 , ? , xN , 1 ? a xn ? M ( n ? 1 , 2 , ? ) .

?

则有

由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (?1 ) n?1 虽有界但不收敛 .
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?

?

3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且

(? 0) ,

(? 0) .

证: 对 a > 0 , 取

推论: 若数列从某项起

(? 0)
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(? 0) . (用反证法证明)

第二节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:

第一章

本节内容 :

一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. 时函数极限的定义 面积为A )

引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 直接观测值 边长
确定直接观测值精度 ? :

x ? x0 ? ?
任给精度 ? , 要求 x 2 ? A ? ?

间接观测值 面积

A x0
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定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
x ? x0

在点


的某去心邻域内有定义 ,
时的极限, 记作

若 ?? ? 0 , ?? ? 0 , 当 0 ? x ? x0 ? ? 时, 有 f ( x) ? A ? ?

lim f ( x) ? A 或
当 时, 有


几何解释: y A?? A A??

y ? f (x)

这表明: 极限存在 函数局部有界

x0 x0 ? ? x
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例1. 证明
证:

f ( x) ? A
时,

故 ? ? ? 0 , 对任意的 ? ? 0 , 当 总有 因此 P16.例6-7

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2. 保号性定理 定理1 . 若

且 A > 0 , 则存在 (A<0)

f ( x) ? 0. (P37定理3) ( f ( x) ? 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) (? ? ? A) 则在对应的邻域 即?? ? 0 , 当



(? 0)
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3. 左极限与右极限
? f ( x0 ) ? lim ? f ( x) ? A 左极限 :
x? x0

? ? ? 0 , ?? ? 0 , 当 x ? ( x0 ? ? , x0 )
时, 有
? 右极限 : f ( x0 ) ? lim f ( x) ? A ?
x? x0

? ? ? 0 , ?? ? 0 , 当 x ? ( x0 , x0 ? ? )
时, 有

定理 3 .

x? x0

lim f ( x) ? A

x? x0

lim ? f ( x) ? lim ? f ( x) ? A
x? x0
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( P38 题8 )
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例5. 设函数

y

? x ? 1, x ? 0 1 ? f ( x) ? ? 0 , x ? 0 o ?1 ?x ?1 , x ? 0 y ? x ?1 ? 讨论 x ? 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
x? 0 x? 0

y ? x ?1

x

lim ? f ( x) ? lim ? ( x ? 1) ? ?1
x?0

lim ? f ( x) ? lim ? ( x ? 1) ? 1
x? 0 x? 0

显然 f (0? ) ? f (0? ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数

大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作

?? ? 0 , ? X ? 0 ,
A 为函数
x ??

lim f ( x) ? A

x ? ?X 或x ? X
几何解释:
y
A A??

A ? ? ? f ( x) ? A ? ?
y ? f (x)
X

A??

?X

o

x

直线 y = A 为曲线

的水平渐近线
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P18.例9
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第二节 极限运算法则

第一章

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极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 则有 证: 因 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 则有

f ( x) ? A ? ? , g ( x) ? B ? ? (其中? , ? 为无穷小)
于是

f ( x) ? g ( x) ? ( A ? ? ) ? ( B ? ? ) ? ( A ? B) ? (? ? ? )

由定理 1 可知 ? ? ? 也是无穷小, 再利用极限与无穷小

的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B, 且 f ( x) ? g ( x),
则 A? B . 提示: 令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x)

说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .

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定理 4 . 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] ? C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x) ] n 例2. 设 n 次多项式
x ? x0

( C 为常数 ) ( n 为正整数 )

试证

lim Pn ( x) ? Pn ( x0 ).
证: lim Pn ( x) ?
x ? x0

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定理 5 . 若 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 且 B≠0 , 则有

证: 因 lim f ( x) ? A , lim g ( x) ? B , 有

f ( x) ? A ? ? , g ( x) ? B ? ? , 其中? , ? 为无穷小


A ?? A 1 ? ? ? ( B? ? A? ) B ? ? B B( B ? ? ) 无穷小
有界
?

? 为无穷小, f ( x) ? A ? ? 因此

g ( x) 1 B 1 2 ? ? 由极限与无穷小关系定理 , 得 g ( x) B?? B
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x ? ?( x0 )
(详见P44)
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定理6 . 若 lim xn ? A , lim yn ? B , 则有
n ?? n ??

(1) lim ( xn ? yn ) ? A ? B
n ??

(2) lim xn yn ? AB
n ??

xn A (3) 当 yn ? 0 且 B ? 0时, lim ? n ?? y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .

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例3. 设有分式函数
多项式 , 若 试证:
x ? x0 x ? x0

其中

都是

证:

x ? x0

lim R( x) ?

lim P ( x)

lim Q( x)
不能直接用商的运算法则 .故应 该先判断分母有理式是否为0。 ( x ? 3)( x ? 1) x ?1 ? lim ? lim x ?3 ( x ? 3)( x ? 3) x ?3 x ? 3

说明: 若 特例4.

x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求

解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因

x 2 ? 5 x ? 4 12 ? 5 ?1 ? 4 ? ?0 lim 2 ?1 ? 3 x?1 2 x ? 3

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例6 . 求

解:

时, 分母
分子分母同除以 x 2 , 则 原式 ? lim

分子
“ 抓大头”

4 ?31 ? 9 x 5? 21 ? x

x ??

1 x2 1 x2

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一般有如下结果:

a0 x ? a1 x ? ? ? am lim x ?? b x n ? b x n ?1 ? ? ? b 0 1 n
m

m ?1

为非负常数 )

?

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第二节 极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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二、 两个重要极限
证: 当 x ? ( 0 , ? ) 时, 2

BD

1 x A o C

△AOB 的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2

?

? 1 tan x 2
(0 ? x ? ? ) 2 (0 ? x ? ? ) 2

sin x ? x ? tan x
sin x cos x ? ?1 x




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例2. 求

tan x ? sin x 1 ? 解: lim ? lim ? ? x ?0 x x ?0? x cos x ? sin x 1 ? lim ?1 ? lim x ?0 x x ?0 cos x
例3. 求

解: 令 t ? arcsin x , 则 x ? sin t , 因此

t 原式 ? lim t ? 0 sin t

sin t t

?1

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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用

(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 法1 找一个数列? xn ? : xn ? x0 , 且 xn ? x0 ( n ? ? )
使 lim f ( xn ) 不存在 .

? 法2 找两个趋于 x0 的不同数列 ? xn ?及 ?xn ?, 使
n ??

n ??

? lim f ( xn ) ? lim f ( xn )
n ??

(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限


注: 代表相同的表达式

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思考与练习
填空题 ( 1~4 ) sin x 1. lim ? _____ ; x ?? x 1 3. lim x sin ? ____ ; x ?0 x
答案: ; ; 1 ;e ?1 0 0

1 2. lim x sin ? ____ ; x ?? x 1 n 4. lim (1 ? ) ? ____ ; n ?? n

第七节 目录

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第二节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大

第一章

三 、 无穷小与无穷大的关系

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一、 无穷小
定义1 . 若

(或x ? ?)

时 , 函数

则称函数



(或x ? ?)
例如 :

时的无穷小 .

函数 函数



时为无穷小;


函数

时为无穷小;
当 时为无穷小.

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定义1. 若

(或

x ? ? ) 时 , 函数
(或



则称函数



x ? ? ) 时的无穷小 .

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当

时, C

显然 C 只能是 0 !
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二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数

( x ? X ) 的 x , 总有



( x ? ? ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) ? ? )
x ??

若在定义中将 ①式改为
则记作
x ? x0 ( x ?? )

( f ( x) ? ? M ) ,

( lim f ( x) ? ? ?)

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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.

2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数




所以

时,

不是无穷大 !

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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,




1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) ? 0 , 则 f ( x) (自证)

说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.

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