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人教A版选修【4-4】2.1.1《参数方程的概念》习题及答案



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数学· 选修 4-4(人教 A 版)

2.1

曲线的参数方程

2.1.1

参数方程的概念

一 层 练 习 1.当参数 θ 变化时,由点 P(2cos θ,3sin θ)所确 定的曲线过点 ( )
[来源:学科网

ZXXK]

A.(2,3)
? π? C.?0,2? ? ?

B.(1,5)

[来源:学科网]

D.(2,0)

答案:D

2 ? ?x=2+sin θ, 2. 将参数方程? (θ 为参数)化为普通 方程是( 2 ?y=sin θ ?

)

A.y=x-2 B.y =x+2 C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1)
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答案:C

? ?x=1+2cos θ, 3 .将参数方程 ? (θ 为参数 ) 化为普通方程是 ?y=2sin θ ?

____________. 答案:(x-1)2+y2=4

?x=1+cos θ, ? ?3 ? 4.曲线? (θ 为 参 数 ) 经 过 点 ?2,a? , 则 a = ? ? ? ?y=2sin θ

____________.

答案:± 3
[来源:Z.xx.k.Com]

二 层 练 习

2 ? ?x=sin θ, 5. 在方程? (θ 为参数)所表示的曲线上其中一个点的 ?y=cos 2θ ?

坐标是(

)
?1 2? B.?3,3? ? ?

A.(2,7)

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?1 1? C.?2,2? ? ?

D.(1,-1)

答案:D
[来源 :Z,xx,k.Com] [来源 :Zxxk.Com]

?x=x +2t, 6.若一直线的参数方程为? 3 ? y= y - 2 t
0 0

1

(t 为参数),则此直线

的倾斜角为( A.60° C.30°

) B.120° D.150°

答案:B

2 ? ?x=cos θ, 7.参数方程? (θ 为参数)表示的曲线是( 2 ?y=sin θ ?

)

A.直线 C.线段

B.圆 D.射线

答案:C

?x=1-1, t 8.曲线的参数方程是? ?y=1-t2

(t 是参数,t≠0),它的普通

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方程是(

)

A.(x-1)2(y-1)=1 B.y= x?x-2? ?1-x?2

1 C.y= -1 ?1-x?2 x D.y= 1-x2

答案:B

?x= t2+1, ? 9. 点 P(3, b)在曲线? (t 为参数)上, 则 b=________. ? ?y=-2t-1
[来源 :学。科。网 Z。 X。 X。 K]

答案:-5 或 3

2 ? ?x=t , 10 . (2013· 陕西卷 )圆锥曲线 ? (t 为参数 ) 的焦点坐标是 ?y=2t ?

________.

答案:(1,0)

11.(2013· 重庆卷)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ρcos θ=4 的直线

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备课大师:免费备课第一站! 2 ? ?x=t , 与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 3 ?y=t ?

答案:16

?x=t, ? 12.(2013· 江西卷)设曲线 C 的参数方程为? (t 为参数), 2 ? ?y=t

若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立即坐标系, 则曲线 C 的极坐标方程为___________ _________. 答案:ρcos2θ-sin θ=0
[来源 :学科网 ZXXK]

13 . (2013· 新课标全国 Ⅱ 卷 ) 已知动点 P , Q 都在曲线 C :
? ?x=2cos β, ? (β 为参数)上,对应参数分别为 β=α 与 β=2α(0<α< ? ?y=2sin β

2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨 迹是否过坐标原点.
[来源:Z+xx+k.Com]

解析:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因 此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
[来源 :学 ,科 ,网 ]

? ?x=cos α+cos 2α, M 的轨迹的参数方程为? (α 为参数,0<α< ?y=sin α+sin 2α ?

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2π).

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π). 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

14. 边长为 a 的等边三 角形 ABC 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动,顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧,记∠CAx= α,求顶点 C 的轨迹 的参数方程.

解析: 如图,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,设点 C 的坐标为(x, y).

?x=OA+AD, ? 则 由? 得 ? ?y=DC,

2π ? ?x=acos? ? -α?+acos α, ?3 ? ? ?y=asin α

(α 为参数),

即为顶点 C 的轨迹方程 .2.1.2 圆的参数方程及参数方程

[来源 :Z*xx*k.Com]

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1.求曲线参数方程的主要步骤. 第一步 设点:画出轨迹草图.设 M(x,y)为轨迹上任意一点的

坐标,画图时注意根据几 何条件选择点的位置,以利于发现变量之 间的关系. 第二步 选参:选择适当的参数.参数的选择要 考虑以下两点:

一是曲线上每一 点的坐标(x,y)与参数的关系比较明显,容易列出方 程.二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时, 通常选时间为 参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此 外,离某一定点的“有向距离”,直线的倾斜角、斜率、截距等也常 常被选为参数. 第三步 表示、结论:根据已知条件、图形的几何性质、问题的

物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式.证明可以省略.

2.将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法. (1)代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表 示),再代入另一个方程. (2)利用代数或三角函数中的恒 等式消去参数,例如对于参数方
? 1? ? ?t+ ?cos θ, x = a ? t? ? 程? ? 1? ?t- ?sin θ, ? y = a ? t? ?

如果 t 是常数,θ 是参数, 那么可以利用公式

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sin 2θ+cos 2θ=1 消 参;如果 θ 是常数,t 是参数,那么适当变形后 可以利用(m+n)2-(m-n)2=4mn 消参

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